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杨家坪中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题


秘密★启用前 重庆市杨家坪中学高 2018 级 2015-2016 学年高一上期第一次月考 数学试题 2015.10 命题:代宗川 审题:况林 李军

数学试题共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑

,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题 卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一.选择题.(每小题 5 分,共 60 分) 1.若集合 A ? {1, 3} , B ? {2, 3, 4} ,则 A ? B ? ( A. {1} B. {2} C. {3} ) D. {1, 2, 3, 4} ) B.f(x)=x 与 g ( x) ? D. f ( x) ?

2.下列各组函数中,f(x)与 g(x)表示同一函数的是( A. f ( x) ?

? x ? 与 g(x) ?
2

x2

x2 x

C.f(x)=x 与 g ( x) ? 3 x 3

x2 ? 4 与 g(x)=x+2 x?2

3.若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 在 (??,0] 上是减函数, 且 f (2) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 A. (??,2) C. (??,?2) ? (2,??) D. (-2,2) 4.给定映射 f:(x,y)→(x+2y,2x-y),在映射 f 下(4,3)的原象为( A. (2,1) 5.函数 f ( x ) ? B. (4,3) C. (3,4) ) D. (10,5) B. (2,??) ( )

1 的值域是 ( 1? x2
B. (0,1] )

) C. (0,1) D. [1,??)

(-?,1] A.

6.下列函数中是奇函数的是(

-1-

A. f ( x) ? x2

B. f ( x) ? - x3

C. f ( x)= x

D. f ( x) ? x+1 )

7.设集合 M ? {1, 2} ,则满足条件 M ? N ? {1, 2,3, 4} 的集合 N 的个数是( A.1 8.函数 f ( x) ? A. [ 0, )
3

B.3

C.2

D.4 )

x?4 的定义域为 R,那么实数 a 的取值范围是( ax ? 4ax ? 3
2

3 4

B.(0,

3 ) 4

C. (-

3 ,+∞) 4

D. (-∞,+∞)

9.设 A,B 是两个非空集合,定义集合 A?B ? {x | x ? A, 且x ? B} 依据上述题意规定,集合

A? ( A?B) 等于
A. A ? B B. A ? B C. A D. B.





10.已知函数错误!未找到引用源。在 ? ??, ?? ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围为( A.错误!未找到引用源。 引用源。 11.设函数 f ( x ) ? ? A.a B.错误!未找到引用源。



C.错误!未找到

D.错误!未找到引用源。

?? 1, x ? 0 (a ? b ) ? (a ? b ) ? f (a ? b ) (a ? b) 的值为 , 则 2 ?1, x ? 0
B.b





C.a, b 中较小的数 D.a, b 中较大的数

12.设 f ? x ? ? x ?1 ? x ? 1? ? x, 若关于 x 的方程 f ? x ? ? k 有三个不同的实数解,则 实数 k 的 取值范围是 ( A. 1 ? k ? ) B. ? 1 ? k ?

5 4

5 4

C. 0 ? k ? 1

D. ?1 ? k ? 1

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 I ? {1, 2,3, 4,5,6}, A ?{1,3, 4} ,则 CI A = 14.函数 f ( x) ? .

2x ? 3 的定义域是____________. x ?1
.

2 15.已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? 2 ,则 f ( x) 的解析式为

16.已知集合 A ? x x ? 5 x ? 6 ? 0 ,B x mx ? 1 ? 0 ,且 A ? B ? A ,则实数 m 的值组成的
2

?

? ?

?

集合

。 解答题要写出必要的 文字说明和解答

三.解答题(17 题 10 分,18-21 每题 12 分,共 70 分 过程)
-2-

17 . 已知集合 A ? x 3 ? x ? 10 ,集合 B ? x 2 x ? 8 ? 0 . (1)求 A ? B ;(2)求 CR ( A ? B ) .

?

?

?

?

18.设 A ? {x | -2 ? x ? 5}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ,若 A ? B =B . 求实数 m 的取值范围.

19.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数。 (1)现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象(抛物线的一部分) ,如图所示,请补出完整函 数 f(x)的图象,并根据图象写出函数 f(x)的增区间; (2)求函数 f(x)的解析式和值域。

20.已知函数 f ( x ) ?

1 2 ax ? b f( ) ? . 2 是定义在(–1,1)上的奇函数,且 1? x 2 5

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(–1,1)上的单调性并用定义证明;

-3-

21.已知定义在正实数 R ? 上的函数 f ( x) 同时满足下列三个条件:① f (3) ? ?1 ;② 对任意

x、y ? R? 都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ;③ x ? 1时, f ( x) ? 0 .
(Ⅰ)求 f (9) 、 f ( 3 ) 的值; (Ⅱ)证明:函数 f ( x) 在 R ? 上为减函数; (Ⅲ)解关于 x 的不等式 f (6 x) ? f ( x ? 1) ? 2 。

22.已知函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g (a ) . (1)设 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围; (2)求 g (a ) .

-4-

-5-

2015 重庆市杨家坪中学高 2018 级高一上期月考 数学试题答案: 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 A 5 B 6 B 7 D 8 A 9 A 10 C 11 D 12 B

二、填空题: 13、 {2,5,6} 14、 [?

3 ,?1) ? (?1,?? ) 2

15、f(x)=x +1 三、解答题

2

16、 ?0,?

? ?

1 1? ,? ? 2 3?

17.解:(1) B ? {x | x ? 4} (2) A ? B ? {x | 4 ? x ? 10} 18.①当 B ? ? 时, 2m ? 1 ? m ? 1

∴ A ? B ? {x | x ? 3}

CR ( A ? B) ? {x | x ? 4或x ? 10}
则m ? 2

? 2m ? 1 ? m ? 1 ? m ? 2 ? ? ? ?m ? ?3 ? 2 ? m ? 3 ②当 B ? ? 时, ?m ? 1 ? ?2 ? 2m ? 1 ? 5 ?m ? 3 ? ?
综上所述

m?3

19.因为函数为偶函数,故图象关于 y 轴对称,补出完整函数图象如有图: 所以 f(x)的递增区间 是(﹣1,0) , (1,+∞) . (2)设 x>0,则﹣x<0,所以 f(﹣x)=x2﹣2x,因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所 以 f(﹣x)=f(x) ,所以 x>0 时,f(x)=x2﹣2x, 故 f(x)的解析式为 值域为{y|y≥﹣1}

-6-

? f (0) ? 0 ?a ? 1 ? 20.解:(1)由 ? 1 2?? f( )? ?b ? 0 ? ? 2 5
(2)函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递增 证明:令 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ∵ ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

∴ f ( x) ?

x 1 ? x2

x1 x ( x ? x )(1 ? x1 x2 ) ? 2 2 ? 1 22 2 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
∴ x1 ? x2 ? 0
2 1 ? x1x2 ? 0, 1 ? x12 ? 0, 1 ? x2 ?0

即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

∴函数 f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递增

(3)由已知: f ( x2 ) ? ? f ( x ?1) ? f (1 ? x) 由(2)知 f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递增

? x2 ? 1 ? x ?1 ? 5 ? 2 ∴ ??1 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ??1 ? 1 ? x ? 1 ?

∴解集为 {x | 0 ? x ?

?1 ? 5 } 2

f(9) ? f(3 ? 3) ? f(3) ? f(3) ? ?2
21、 (1)解:

f( 3) ? f( 3) ? f(3) ? ?1? f( 3) ??

1 2

-7-

(2) 证明:设x 〈 ,x2 ? R ? 1 x2,x1 f(x2) ? f( x2 x x1) ? f( 2 ) ? f(x1) ? f ( x1 ) x1 x1

? f(x1) ? f ( x2 ) ? f ( x)在R ?上为减函数 .
?6 x ? 9( x ? 1) ? (3)不等式等价于 ?6 x ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 . ?x ? 1 ? 0 ?
22.解:(1)令 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,要使 t 有意义,必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 即 ?1 ? x ? 1 ∴ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ?[2, 4] 又∵ t ? 0

∴ t 的取值范围 [ 2, 2]

1 2 t ?1 2 1 2 由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) ? at ? t ? a t ? [ 2, 2] 的最大值. 2 1 注意到直线 t ? ? 是函数 m(t ) 的对称轴,分以下几种情况讨论. a
(2)由(1)知 1 ? x ?
2

①当 a ? 0 时, y ? m(t ) 在 t ?[ 2, 2] 上单调递增. ∴ g (a) ? m(2) ? a ? 2 ②当 a ? 0 时 ③当 a ? 0 时 i)若 t ? ?

m(t ) ? t t ?[ 2, 2] ∴ g (a) ? 2
函数 y ? m(t ), t ?[ 2,2] 的图象开口向下的抛物线的一段.

1 ? (0, 2] ,即 a ? ? 2 ,则 g (a) ? m( 2) ? 2 a 2 1 1 1 ? ( 2, 2] ,即 ? 2 ? a ? ? 1 时,则 g (a ) ? m(? ) ? ? a ? a a 2a 2 2
1 1 ? (2, ??) ,而 ? ? a ? 0 时,则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2

ii)若 t ? ?

iii)若 t ? ?

1 ? ?a ? 2 (a ? ? 2 ) ? 1 2 1 ? (? ?a?? ) 综上:有 g (a) ? ??a ? 2 a 2 2 ? ? 2 ) ? 2 (a ? ? 2 ?

-8-

-9-


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