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高考数学选择题的解题方法和答题技巧

时间:2017-08-31


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高考数学选择题的解题方法和答题技巧
高考数学选择题共 12 道,试题多,考察面广。不仅要求准,而且更要快,为此,需要研究解答选择 题的一些特殊技巧。总的说来,选择题属小题,解题的基本原则是:“小题不能大做”。解题的基本策略 是:要充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断。一般说来,能定

性判定的,就不再使用复杂 的定量计算;能使用特殊值判定的,也不必采用常规解法;能使用间接解法的,也不必采用直接解法;对 于明显可以否定的选择支,应及早排除,以缩小选择的范围;对于具有多种解题思路的,宜于选择最简解 法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初选后认真检验,确保准确。 总之,解答选择题的基本要求是四个字——准确、迅速. 在解答选择题时,除了按部就班的解题方法外,还需要注意一些解题策略: 首先,要认真审题。做题时忌讳的就是不认真读题,埋头苦算,结果不但浪费了大量的时间,甚至有 时候还选错,结果事倍功半。所以一定要读透题,由题迅速联想到涉及到的概念,公式,定理以及知识点 中要注意的问题。发掘题目中的隐含条件,要去伪存真,领会题目的真正含义。 其次,要注意解题方法。解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选 择题最基本、最常用的方法;但高考的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间不允许,甚 至有些题目根本无法解答.因此,我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法. 有关选择题的解法的研究,可谓是仁者见仁,智者见智。其中不乏真知灼见,现选择部分实用性较强 的方法,供参考: 一、直接求解法——直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严 密的推理和准确的运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选 择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. 例 1.若 sin x>cos x,则 x 的取值范围是( (A){x|2k ? -
2 2



? 5? <x<2k ? + ,k ?Z} 4 4 ? ? ? 3? (C) {x|k ? - <x<k ? + ,k ?Z } (D) {x|k ? + <x<k ? + ,k ?Z} 4 4 4 4 3? ? 2 2 2 2 解:由 sin x>cos x 得 cos x-sin x<0,即 cos2x<0,所以: +kπ <2x< +kπ ,选 D. 2 2
(B) {x|2k ? + 例 2.设 f(x)是(-∞,∞)是的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于( (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5 )

? 3? <x<2k ? + ,k ?Z} 4 4

解: f(x+2)=-f(x)得 f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5), f(x)是奇函数, f(-0.5)=-f(0.5) 由 由 得 =-0.5,所以选 B. 也可由 f(x+2)=-f(x),得到周期 T=4,所以 f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 例 3.七人并排站成一行,如果甲、乙两人必需不相邻,那么不同的排法的种数是( (A) 1440 (B) 3600 (C) 4320 (D) 4800 )

7 6 解一: (用排除法)七人并排站成一行,总的排法有 A7 种,其中甲、乙两人相邻的排法有 2× A6 种. 7 6 因此,甲、乙两人必需不相邻的排法种数有: A7 -2× A6 =3600,对照后应选 B;

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5 2 解二: (用插空法) A5 × A6 =3600.

二、直接判断法——凡涉及数学概念的判断题或信息题,一般根据对概念的全面、正确、深刻的理解 和对有关信息的提取、分析和加工而作出判断和选择,这种方法称之为直接判断法。 例 4 有三个命题:其中正确命题的个数为( ①垂直于同一个平面的两条直线平行; ②过平面α 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与α 垂直; ③异面直线 a、b 不垂直,那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直。 A.0 B.1 C.2 D.3 )

解:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选 D。 直接法是解答选择题最常用的基本方法,低档选择题可用此法迅速求解.直接法适用的范围很广,只要 运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力,准确地把握中档题目的“个性” ,用简便方法 巧解选择题,是建在扎实掌握“三基”的基础上,否则一味求快则会快中出错. 三、图解法——据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性作出正确的判 断。习惯上也叫数形结合法. 例 5.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围是( (A) ( )

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4

(B) (

?
4

,? )

(C) (

? 5?
4 , 4

)

(D) (

?
4

,? ) ? (

5? 3? , ) 4 2

解: (图解法)在同一直角坐标系中分别作出 y=sinx 与 y=cosx 的图象,便可观察选 C. 另解: (直接法)由 sin x ? cos x 得 sin(x-
2 2

? ? )>0,即 2 kπ<x- <2kπ+π,取 k=0 即知选 C. 4 4
) (C)(-
2 2

例 6.在圆 x +y =4 上与直线 4x+3y-12=0 距离最小的点的坐标是( (A) (

8 6 , ) 5 5

(B)(

6 8 ,- ) 5 5

8 6 , ) 5 5

(D)(-

6 8 ,- ) 5 5

解: (图解法)在同一直角坐标系中作出圆 x +y =4 和直线 4x+3y-12=0 后,由图可知距离最小的 点在第一象限内,所以选 A.直接法先求得过原点的垂线,再与已知直线相交而得.

?2 ? x ? 1 x ? 0 例 7.设函数 f ( x) ? ? 1 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是( ? 2 x?0 ?x ?
解: (图解法)在同一直角坐标系中,作出函数 y ? f ( x) 的图象 和直线 y ? 1 ,它们相交于(-1,1)和(1,1)两点,由 f ( x0 ) ? 1 , 得 x0 ? ?1 或 x0 ? 1 .严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,而是一种 数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时非常简便有效.不过 运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较 熟悉,否则错误的图象反而会导致错误的选择.
-1



A. ? 1 ,1) B. ? 1 , ? ? ) C. ? ? , ? 2 ) ? (0, ? ? ) D. ? ? , ? 1 ) ? (1, ? ? ) ( ( ( (
y

1

O

1

x

四、代入法——将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断.即将各选择 支分别作为条件,去验证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案. 例 8.函数 y=sin(

? -2x)+sin2x 的最小正周期是( 3



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(A)

? 2

(B)

?

(C) 2 ?

(D) 4 ?

解: (代入法)f(x+ f(x+π )=sin[

另解: (直接法)y=

? -2(x+π )]+sin[2(x+π )]=f(x).所以应选 B; 3 1 ? 3
2
cos2x-

? ? ? ? )=sin[ -2(x+ )]+sin[2(x+ )]=-f(x),而 2 3 2 2

例 9.函数 y=sin(2x+ (A)x=-

? 2

5? )的图象的一条对称轴的方程是( 2

2

sin2x+sin2x=sin(2x+

3

),T=π ,选 B. )

(B)x=-

? 4

(C)x=

解: (代入法)把选择支逐次代入,当 x=- 规定“只有一项是符合要求的” ,故选 A. 另解: (直接法) ∵函数 y=sin(2x+ x=

? ? 时,y=-1,可见 x=- 是对称轴,又因为统一前提 2 2

? 8

(D)x=

5? 4

? k? -π,当 k=1 时,x=- ,选 A. 2 2

? 5? 5? )的图象的对称轴方程为 2x+ =kπ+ ,即 2 2 2

代入法适应于题设复杂,结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。 五、特例法——从题干或选择支出发,通过选取特殊值代入、将问题特殊化或构造满足题设条件的特 殊函数、特殊数列或图形特殊位置,特殊法是“小题小作”的重要策略。 例 10.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 )

解: (特殊值法)取 m=1,依题意 a1 =30, a1 + a2 =100,则 a2 =70,又{an}是等差数列,进而 a3= 110,故 S3=210,选(C). 例 11 如果等比数列{ an }的首项是正数,公比大于 1,那么数列{ log1 an }( A.是递增的等比数列 B.是递减的等比数列 C.是递增的等差数列
3



D.是递减的等差数列

解:取 an=3n,易知选 D。 例12 如图,在棱柱的侧棱 A1 A 和 B1 B 上各一动点 P,Q 满足 A1 P=BQ, 过 P、Q、C 三点的截面把棱 ) A.3∶1 B.2∶1 C.4∶1 D。 3 ∶1

柱分成两部分,则其体积之比为(

解:将 P,Q 置于特殊位置:P→ A1 ,Q→B,此时仍满足条件 A1 P=BQ(=0) ,且易有 VC ? AA1B = 选 B。
2 2 2 2 2 2

V ,故 3

例 13 双曲线 b x ? a y ? a b (a ? b ? 0) 的渐近线夹角为 2 ? ,离心率为 e ,则 cos ? 等于( ) A. e B. e
2

C. 1

D. 1

e

e2

解:本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ,易得离心率 e = 5 4 1 2

,cos ? =

2 5

,故选 C。

当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,
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从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答本类选择题的最佳 策略. 六、排除法(又称筛选法)——它是充分运用选择题中单选的特征,即有且只有一个正确选择支这一 信息,通过分析、推理、计算、判断,逐一排除错误支,最终达到选出正确支的目的的一种解法。 例 14.过抛物线 y =4x 的焦点,作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q,那么线段 PQ 中点的轨迹方 程是( ) (A) y =2x-1
2 2

(B) y =2x-2

2

(C) y =-2x+1

2

(D) y =-2x+2

2

解: (筛选法)由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0),开口向右,由此排除答案 A、C、D,所以选 B;
2 ? y ? 4x ? x1 ? x 2 k 2 ? 2 ? ?x ? ? 2 k2 2 2 2 2 2 k x -2(k +2)x+k =0,中点坐标有 ? ,消 k 得 y =2x-2,选 B. 2 ? y ? k ( k ? 2 ? 1) ? 2 ? k k2 ?

另解: (直接法)设过焦点的直线 y=k(x-1),则 ?

? y ? kx ? 1

,消 y 得:

筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选择支 中找出明显与之矛盾的, 予以否定, 再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾, 这样逐步筛选, 直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法。 总结提炼 数学选择题的解题方法还有很多,但做题时也不要拘泥于固定思维,有时候一道题可采用多种特殊方 法综合运用。还有,在做选择题的过程中,遇到关键性的词语可用笔做个记号,以引起自己的注意,第一 遍没做的题也要做个记号,但要注意与其它记号区分开来,这样不容易遗漏。 从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的.所以人 , 称可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因,另外,在解答一 道选择题时,往往需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自身提 供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真正做到准确和快速. .. .. 总之,解答选择题既要看到各类常规题的解题思想,但更应该充分挖掘题目的“个性” ,寻求简便解 法,充分利用选择支的暗示作用,迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案,还 可以提高解题速度,为后续解题节省时间. 最后,提醒同学们几点:做完题后要仔细检查,有没有遗漏的,有没有涂错的,全面认真的再做一遍, 可用不同的方法做一下,验证答案。另外遇到真不会做的,也不要空着不做,一定要选个答案。

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