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高中数学必修一函数的性质单调性

时间:2013-12-08


单调性

1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A.y=2x+1
2

( C.y=



B.y=3x +1

2

2 x

D.y=2x +x+1

2

2.函数 f(x)=4

x -mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则 f(1)等于 ( ) A.-7 B.1 C.17 D.25 3.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 ( ) A.(3,8) B.(-7,-2) C.(-2,3) D.(0,5) 4.函数 f(x)=

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ( ) x?2 1 1 A.(0, ) B.( ,+∞) C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 2
) A.至少有一实根
2

5.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内( B.至多有一实根
2

C.没有实根

D.必有唯一的实根 ( )

6.已知函数 f(x)=8+2x-x ,如果 g(x)=f( 2-x ),那么函数 g(x) A.在区间(-1,0)上是减函数 C.在区间(-2,0)上是增函数 B.在区间(0,1)上是减函数 D.在区间(0,2)上是增函数

7.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式|f(x+1)|<1 的解集 的补集是 A.(-1,2) B.(1,4) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1)∪[2,+∞)

8.定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t)=f(5-t),下列式子 一定成立的是 A. f(-1)<f(9)<f(13) B. f(13)<f(9)<f(-1) C. f(9)<f(-1)<f(13) D. f(13)<f(-1)<f(9) ( )

9.函数 f ( x) ?| x | 和g ( x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是 A. (??,0], (??,1] B. (??,0], [1,??) C. [0,??), (??,1] D [0,??), [1,??)

10.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数a 的取值范围是( A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3



11.已知 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R 且 a+b≤0,则下列不等式中正确的是( A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) (



12.定义在R 上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且y=f(x+2)图象的对称轴是x=0,则 A.f(-1)<f(3)
-2



B.f (0)>f(3)

C.f (-1)=f (-3) _. ___.

D.f(2)<f(3)

13.函数 y=(x-1) 的减区间是___ 14.函数 y=x-2 1 ? x +2 的值域为__ 15、设 y ? f ? x ? 是 R 上的减函数,则 y ? f
2

? x ? 3 ? 的单调递减区间为
x ) = f(x)-f(y) y

. .

16、函数 f(x) = ax +4(a+1)x-3 在[2,+∞]上递减,则 a 的取值范围是__ 17.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f(

(1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(
3

1 ) <2 . x

18.函数 f(x)=-x +1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还是减函数?试证明你 的结论. 19.试讨论函数 f(x)= 1 ? x 2 在区间[-1,1]上的单调性. 20.设函数 f(x)= x 2 ? 1 -ax,(a>0),试确定:当 a 取什么值时,函数 f(x)在 0,+∞)上为单调函数. 21.已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取值范围. 22.已知函数 f(x)= (1)当 a= 取值范围.

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞] x

1 时,求函数 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的 2

参考答案 一、选择题: CDBBD ADCCA BA 二、填空题:13. (1,+∞), 14. (-∞,3),15.

?3, ?? ? ,

1? ? ? ? ?,? ? 2? ?

三 、 解 答 题 : 17. 解 析 : ① 在 等 式 中

令x ? y ? 0

, 则 f(1)=0 . ② 在 等 式 中 令 x=36 , y=6 则

f(

1 36 ) ? f (36) ? f (6),? f (36) ? 2 f (6) ? 2. 故原丌等式为: f ( x ? 3) ? f ( ) ? f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36),又 f(x)在(0, x 6

?x ? 3 ? 0 ?1 153 ? 3 ? ?0? x? . +∞)上为增函数,故丌等式等价于: ? ? 0 2 ?x ?0 ? x( x ? 3) ? 36 ?
18.解析: f(x)在 R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下:设 x1、x2∈(-∞,+∞), x1<x2 ,则 f(x1)=-x13+1, f(x2)= -x23+1.f(x1)-f(x2)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+

x2 2 3 2 ) + x2 ] x1<x2,∴x2-x1>0 而(x1+ .∵ 4 2

x2 2 3 2 ) + x2 >0,∴f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上是减函数. 4 2
19. 解 析 : 设 x1 、 x2 ∈ - 1 , 1 ] 且 x1 < x2 , 即 - 1 ≤ x1 < x2 ≤ 1 . f(x1) - f(x2)=
2 2

1 ? x1

2



1 ? x2 =
2

(1 ? x1 ) ? (1 ? x 2 ) 1 ? x1 ? 1 ? x 2
2 2

=

( x 2 ? x1 )( x 2 ? x1 ) 1 ? x1 ? 1 ? x 2
2 2

,∵x2-x1>0, 1 ? x1 ? 1 ? x 2 >0,∴当 x1>0,x2>0
2 2

时,x1+x2>0,那么 f(x1)>f(x2).当 x1<0,x2<0 时,x1+x2<0,那么 f(x1)<f(x2). 故 f(x)=

1 ? x 2 在区间[-1,0]上是增函数,f(x)= 1 ? x 2 在区间[0,1]上是减函数.

20.解析:任取 x1、x2∈0,+ ? 且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=

?

x1 ? 1 - x 2 ? 1 -a(x1-x2)=
2 2

x1 ? x 2
2 2

2 2

x1 ? 1 ? x 2 ? 1

-a(x1

-x2)=(x1-x2)(

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

-a),(1)当 a≥1 时,∵

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
2 2

<1,又∵x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)

>0,即 f(x1)>f(x2),∴a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.

2a ,满足 f(x1)=f(x2)=1,∴0<a<1 时,f(x)在[0,+ ? ? 1? a2 x1 ? x 2 2 上丌是单调函数。注: ①判断单调性常规思路为定义法;②变形过程中 <1 利用了 x1 ? 1 >|x1|≥ 2 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
(2)当 0<a<1 时,在区间[0,+∞]上存在 x1=0,x2=

x1;

x 2 ? 1 >x2;③从 a 的范围看还须讨论 0<a<1 时 f(x)的单调性,这也是数学严谨性的体现.
2

21.解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函数,∴由 f(m-1)-f(1-2m)>0,得 f(m-1)>f(1-2m)

? ?? 1 ? m ? 3 ?? 2 ? m ? 1 ? 2 ? 1 2 3 1 2 ? ? 1 ∴ ? ? 2 ? 1 ? 2m ? 2,即? ? ? m ? 解得 ? ? m ? ,∴m 的取值范围是(- , ) 2 2 3 2 3 ?m ? 1 ? 1 ? 2 m ? 2 ? 2 ? ?m ? 3 ? 1 1 1 1 22.解析: (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2,x∈1,+∞),设 x2>x1≥1,则 f(x2)-f(x1)=x2+ =(x2-x1)+ ? x1 ? 2 x2 2 x1 2 2x x1 ? x2 1 1 =(x2-x1)(1- ),∵x2>x1≥1,? ∴ 2-x1>0,1- x >0,则 f(x2)>f(x1),可知 f(x)在[1,+∞)上是增 2 x1 x2 2 x1 x 2 2 x1 x 2
函数.∴f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)=

7 x2 ? 2x ? a 。(2)在区间[1,+∞ ) 上,f(x)= >0 恒成立 ? x2+2x+a x 2

>0 恒成立。设 y=x2+2x+a,x∈1,+∞),由 y=(x+1)2+a-1 可知其在[1,+∞)上是增函数,当 x=1 时,ymin=3+a,于 是当且仅当 ymin=3+a>0 时函数 f(x)>0 恒成立.故 a>-3.


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