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2012-2013学年 - 河北 - 云南师大附中 - 高三 - 名校试卷(适应性月考七) - 理科 - 数学


云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷 (七) 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? , xn 的标准差
s? 1 ?( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ? ? n?

锥体体积公式

1 V ? Sh 3 其中 S 为底面面积, h 为高
球的表面积,体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V

? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高

4 S ? 4?R 2 , V ? ?R 3 3 其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题中,真命题是 A. ?x ? R,lg x ? 0 C. ?x ? R, 2 ? 1
x

B. ?x ? N , ( x ? 2) ? 0
* 2

D. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

2.根据下表中的数据,可以判断函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的一个零点所在区间为 (k , k ? 1)(k ? Z ) ,
x

则k =

x
ex

?1
0.37 1 B.1

0 1 2 C.0

1 2.72 3

2 7.39 4 D.-1

3 20.09 5

x?2
A.2

3.已知 a 、 b 为实数,复数 A. a ? 1, b ? 3

1 ? 2i ? 1 ? i ,则 a ? bi
C. a ?

B. a ? 3, b ? 1

3 1 ,b ? 2 2

D. a ?

1 3 ,a ? 2 2

4.将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如图 1 所示,则该几何体的侧视图为

第 1 页 (共 15 页)

A.
2

B.

C.

D.

5.若抛物线 y ? ax 的焦点到准线的距离为 4,则此抛物线的焦点坐标为 A. (?2,0) 6.若 ? ? ? B. (2, 0) C. (2, 0) 或 (?2,0) D. (4, 0)
开始 输入 x

3 7 ?? ? ? ,则 sin ? = , ? , sin 2? ? 8 ?4 2?

M ? 0, N ? 1, n ? 0

4 A. 5

3 B. 5

7 C. 4

3 D. 4

M ? N?


否 输入 n 结束

M ? M ? xn

7.执行如图 2 所示的程序框图,如果输入 x ? 3 ,那么输出的 n 值为 A.5 B.4
2

N ? 2N ? 1 n ? n ?1

C.3

D.2

8.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ,则 ?x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 与 | x1 ? x2 | 的大小 关系为 A. | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | C. | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | 9.已知 x ? B. | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | D.不能确定

?
4

是函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的一条对称轴,且 f ( x) 的最大值为 2 2 ,则函数

g ( x) ? a sin x ? b
A.最大值是 4,最小值是 0 C.最小值不可能是-4 10.过双曲线 B.最大值是 2,最小值是-2 D.最大值可能是 0

x2 y 2 a2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c, 0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? 的切线交双 a2 b 4

曲线右支于点 P ,切点为 E ,若 OE ?

??? ?

? ? 1 ??? ??? (OF ? OP) ,则双曲线的离心率为 2
C.

A. 10

B.

5 2

10 2

D.

10 5

11 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x), g ( x) 满 足

f ( x) ? a x , 且 f ?( x) g ( x? ) g ( x)

? f ( x) g ( , x)

? f ( n) ? f (1) f (?1) 5 63 * ? ? ,若数列 ? ? ( n ? N ) 的前 n 项和等于 ,则 n = g (1) g (?1) 2 64 ? g (n) ?
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A.7

B.6

C.5

D.4

12.已知在半径为 2 的球面上有 A 、 B 、 C 、 D 四点,若 AB ? CD ? 2 ,则四面体 ABCD 的 体积的取值范围是 A. ? 0,

? ? ?

4 3? ? 3 ?

B. ? 0,

? ? ?

2 3? ? 3 ?

C. ? 0,

? ? ?

8 3? ? 3 ?

D. ? 0,

? ? ?

6 3? ? 3 ?

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
注意事项:用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.
13.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f ?( x) 是函数 y ? f ( x) 的导
3 2

数, f ??( x) 是 f ?( x) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点” .某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ;任何一个三次函数都有对称 中心,且“拐点”应对对称中心.根据这一发现,则函数 f ( x) ? 心为 . . .

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? 的对称中 3 2 12

14.观察下列各式: x1 ? 1 , x2 ? 3 , x3 ? 4 , x4 ? 7 , x5 ? 11 ,?,则 x10 = 15.在△ ABC 中,若 AB ? AC ? 5 , | AB ? AC |? 4 ,则△ ABC 的面积的最大值为
2 2

??? ???? ?

??? ???? ?

16. 若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( m ? n ) ? f ( m) ? 2 ? f ( n) ? , 其中 m, n ? R , f 1 0 , 且 ( ? ) 则 f (2013) = .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.
17. (本小题满分 12 分)已知△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 成等差数列,且 sin C ? 2sin A . (1)求角 A 、 B 、 C ; (2)设数列 ? an ? 满足 an ? 2 | cos nC | ,前 n 项为和 S n ,若 Sn ? 340 ,求 n 的值.
n

18. (本小题满分 12 分)一家化妆品公司于今年三八节期间在某社区举行了为期三天的“健康使 用化妆品知识讲座” .每位社区居民可以在这三天中的任意一天参加任何一个讨论,也可以放弃 任何一个讲座(规定:各个讲座达到预先设定的人数时称为满座) .统计数据表明,各个讲座各 天满座的概率如下表:
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洗发水讲座 3月8日 3月9日 3 月 10 日

洗面奶讲座

护肤霜讲座

活颜营养讲座

面膜使用讲座

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 2 2 3 2 3

(1)求面膜使用讲座三天都不满座的概率; (2)设 3 月 9 日各个讲座满座的数目为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 19. 本小题满分 12 分) ( 如图 3, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ⊥底面 ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC ⊥平面 PDB ;
E P

(2)当 PD ? 3 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成角 的正弦值. 20. (本小题满分 12 分)设 a 为常数,已知函数 f ( x) ? x ? a ln x 在区
2

D A B

C

间 ?1, 2 ? 上是增函数, g ( x) ? x ? a x 在区间 ? 0,1? 上是减函数. (1)设 P 为函数 g ( x) 的图像上任意一点,求点 P 到直线 l : 6 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离的最小值; (2)若对任意的 x ? ? 0,1? 且 m ? ? 0,1? , f ( x) ? 2bm ?

1 恒成立,求实数 b 的取值范围. m2

x2 y 2 x2 y 2 21. (本小题满分 12 分)已知双曲线 ? ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 有相同的焦点, a b 9 7
点 A 、 B 分别是椭圆的右、右顶点,若椭圆经过点 D ? (1)求椭圆的方程; (2)已知 F 是椭圆的右焦点,以 | AF | 为直径的圆记为 C ,过点 D 引圆 C 的切线,求此切线的 方程; (3)设 M 为直线 x ? 9 上的点, N ( x0 , y0 ) 是圆 C 上的任意一点,是否存在定点 P ,使得

?3 5 3? ?2, 2 ?. ? ? ?

| MN | ? 2 ?若存在,求出定点 P 的坐标;若不存在,说明理由. | PN |

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请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何选讲】 A 如图 4,已知 I 为锐角△ ABC 的内心,且 ?A ? 60 ,点 D 为内切
?

圆 I 与边 AC 的切点,过点 C 作直线 BI 的垂线,垂足为 E . (1)求证: ?IDE ? ?ECI ; (2)求

I

E

D

IE 的值. IC

B

C

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 ?

? x ? sin ? ? cos ? , ( ? 为参数) ,若以直角坐标系 ? y ? sin 2? ,

的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的极坐标方程为

? sin ? ? ?

? ?

??

2 t (其中 t 为常数) . ?? 4? 2

(1)若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; (2)当 t ? ?2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上的点的最小距离. 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ?

x 1 ? (e ? 2.718?) . e ex
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?0; x2 ? x1

(1)若 x1 , x2 ? ?1, ?? ? , x1 ? x2 ,求证:

(2)若实数 a 满足 f (| a | ?3) ? f (| a ? 4 | ?1) .试求 a 的取值范围.

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云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(七) 理科数学参考答案及详细解析
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1.当 x ? 0 时,有 2 x >1 成立,所以 ?x ? R, 2 x >1 是真命题,故选 C. 2.由表可知 f (?1)=0. ? 1<0,f (0)=1 ? 2<0,f (1)=2.72 ? 3<0,f (2)=7.39 ? 4>0, 37
f (3)=20.09 ? 5>0 ,故 f (1) f (2)<0,? k =1 ,故选 B.

1 C

2 B

3 C

4 C

5 C

6 D

7 B

8 A

9 D

10 C

11 B

12 A

3.由题意知 a+bi=

1+2i 3 1 3 1 = + i ,因此 a = , b= ,故选 C. 1+i 2 2 2 2

4.根据几何体各个顶点的射影位置确定其侧视图的形状,显然侧视图中长方体的体对角线是一 条虚线,故选 C. 5.由抛物线的定义得,焦点到准线的距离为
a ? 4 ,解得 a ? ?8 ,所以当 a ? 8 时,焦点坐标为 2

(2, 0) ;当 a ? ?8 时,焦点坐标为 (?2, 0) ,故选 C.
1 ? cos 2? 3 1 ?π π? ?π ? 6.由? ? ? , ? 得2? ? ? ,π ? ,cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? , sin ? ? ? ,故选 D. 2 4 8 ?4 2? ?2 ?

7.根据框图的流程图逐步进行计算,满足循环体结束的条件,输出的结果为 n ? 4 ,故选 B.
2 8. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? x12 ? 1 ? x2 ? 2 x12 ? x2 2 1 ? x12 ? 1 ? x2



2 2 1 ? x12 ? 1 ? x2 ? 1 ? x12 ? 1 ? x2 ? x1 ? x2 ≥ x1 ? x2 ,

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x12 ? x2

x1 ? x2

? x1 ? x2 ,故选 A.

第 6 页 (共 15 页)

9 . 由 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的 一 条 对 称 轴 是

π ?π? , 得 f ( 0 )? f ? ? , 即 a ? b , a2 ? b2 ? 8 , 4 ?2?

解得a ? b ? 2或a ? b ? ?2 ,所以 g ( x) ? 2sin x ? 2 或 g ( x) ? ?2sin x ? 2 ,故选 D.
??? 1 ???? ??? ? ? a 10.由 OE ? (OF ? OP) 知, E 为线段 FP 的中点,设双曲线的右焦点为 F ? ,因为 OE ? ,由 2 2

中 位 线 定 理 得 F ?P ? a , 由 双 曲 线 的 定 义 得 FP ? 3a , 又 O F ? E F ?
2 2

O E, 则

2

10 c2 10 10 ? 3a ? ? a ? ,? e ? ,故选 C. c 2 ? ? ? ? ? ? ,得 2 ? ,即 e2 ? 2 a 4 4 ? 2 ? ?2?
? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) f ( x) ? 0 ,即 y ? 11.由 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 得 ? ? a x 为 R 上的减 ? ? 2 g ( x) ? g ( x) g ( x) ?

2

2

函数, 所以 0 ? a ? 1 , 由

f)( ( )f 5 1 1 ? ? g)( ( )g 2 1 1 ?

?

, a ? a ?1 ? 得

5 1 , 2a2 ? a2 0? , 即 解得 a ? 2 或 a ? , 5 ? 2 2

又 0 ? a ? 1 ,所以 a ?
1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?2? ? 1? 1 2
n

x ?? 1 ? n ? ? f ( n) ? f ( x) ? 1 ? 1 ? ? * * ? ? ? ,数列 ? ,故 ? (n ? N ) 即 ?? ? ? (n ? N ) ,其前 n 项 2 g ( x) ? 2 ? g ( n) ? ?2? ? ? ? ? ?

和为

? ? n n ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 63 ,整理得 ? 1 ? ? 1 ,解得 n ? 6 ,故选 B. ? ? ? ? 64 64 ?2? ?2?

12 . 设 AB , CD 的 中 点 分 别 为 M , N , 则 球 心 O 到 AB 和 CD 的 距 离 是 相 等 的 , 即
OM ? ON ? 22 ? 1 ? 3 ,当 OM,ON 在同一直线上,且 AB ? CD 时,四面体 ABCD 的体

1 4 3 积最大, Vmax ? S△ABN ? CD ? ,故选 A. 3 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题 号 答 案 13
?1 ? ? , 1? ?2 ?

14 123

15 6

16
2013 2

【解析】 13.由 f (x) ? x3 ? x 2 ? 3x ?
1 3 1 2 5 ,得 f ?(x) ? x 2 ? x ? 3,f ??(x) ? 2 x ? 1,由f ??(x) ? 0, 12
第 7 页 (共 15 页)

1 ?1? ?1 ? 解得x ? ,且f ? ? ? 1 ,所以此函数的对称中心为 ? ,1? . 2 ?2? ?2 ?

14.从第 3 项起,每一项都是其前两项的和,从而递推出 x10 ? 123 .
uur uuu u r uuu r uur 2 uuu 2 u r uur uuu u r uur 2 uuu 2 u r 15.因为 AB ? AC ? BC ? a ? 4 ,所以 AB ? AC ? 2 AB ? AC ? 16 ,所以 AB ? AC ? 26 ,

又 AB AC cos A ? 5 ,即 bc cos A ? 5 ,
1 2 1 2 2 1 ? b2 ? c2 ? b c ? (bc cos A) 2 ≤ ? ? ? 25 ? 6 . 2 2 ? 2 ?
2

uuu uuu r r

故 S△ABC ? bc 1 ? cos 2 A ?

当且仅当 b ? c ? 13 时,上式等号成立,故面积的最大值为 6. 16 . 在 已 知 等 式 中 , 令 m ? n=0 得 f (0)=0 , 又 令 m ? 0,n = 1得 f (1)=
f (m ? 1) ? f (m)+2[f (1)]2 ,即 f (m ? 1) ? f (m) = =

1 , 再 令 n=1 得 2

1 1 ,亦即 ? f (m)? 是以 为公差的等差数列,且首 2 2

m 2013 1 项也是 ,所以 f (m) = ,从而 f (2013)= . = 2 2 2

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 2B ? A ? C ,又 A ? B ? C ? π ,所以 B ? 又由 sin C ? 2sin A ,得 c ? 2a ,所以 b2 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos 所以 △ABC 为直角三角形, C ? ,A ? (Ⅱ) an = 2n cosnC ? 2n cos
π 2

π . 3
π ? 3a 2 ,所以 c2 ? a2 ? b2 , 3

π π π ? ? .??????????????(6 分) 2 3 6

nπ ?0,n为奇数, ? ?? n 2 ?2 ,n为偶数. ?

所以 S2k ?1 ? S2k ? 0 ? 22 ? 0 ? 24 ? L ? 0 ? 22k ? 由
22k ? 2 ? 4 ? 340 ,得 22k ? 2 ? 1024 , 3

4(1 ? 22 k ) 22k +2 ? 4 ? ,k ? N* , 1? 4 3

所以 k ? 4 ,所以 n ? 8 或 n ? 9 .?????????????????????(12 分) 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设面膜使用讲座三天都不满座为事件 A,

? 1 ?? 2 ?? 2 ? 1 则 P( A) ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ? ? .???????????????????(3 分) ? 2 ?? 3 ?? 3 ? 18
第 8 页 (共 15 页)

(Ⅱ) ? 的可能值为 0,1,2,3,4,5,

? 1? P(? ? 0) ? ?1 ? ? ? 2?

4

? 2? 1 ?1 ? ? ? ; ? 3 ? 48
3

1 ? 1? P(? ? 1) ? C1 ? ? ?1 ? ? 4 2 ? 2?
2 2 4

? 2? ? 1? 2 1 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ; ? 3? ? 2? 3 8
2 3

4

1 ? 1? 2 7 ?1? ? 1? ? 2? P(? ? 2) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? C1 ? ? ?1 ? ? ? ? ; 4 2 ? 2 ? 3 24 ?2? ? 2? ? 3? ? 1 ? ? 1 ?? 2 ? ?1? ? 1? 2 1 P(? ? 3) ? C3 ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? C2 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ; 4 4 ? 2 ? ? 2 ?? 3 ? ? 2? ? 2? 3 3 ?1? ? 2? ?1? ? 1? 2 3 P(? ? 4) ? ? ? ? ?1 ? ? ? C3 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ; 4 ?2? ? 3? ? 2 ? ? 2 ? 3 16 ?1? 2 1 P(? ? 5) ? ? ? ? ? .????????????????????????(8 分) ? 2 ? 3 24
列表如下:
4 4 3 3 2 2

?
P

0

1

2

3

4

5

1 48

1 8

7 24

1 3

3 16

1 24

E (? ) ? 0 ?

1 1 7 1 3 1 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? .??????????(12 分) 48 8 24 3 16 24 3

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, 又 AC ? 平面AEC ,∴平面 AEC⊥平面 PDB.???????????????(6 分) (Ⅱ)方法一:如图 1,设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角, ∵O,E 分别为 DB、PB 的中点,
1 ∴OE∥PD,且 OE= PD, 2

又∵PD⊥底面 ABCD, ∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO,
第 9 页 (共 15 页)

在 Rt△AOE 中,由 PD= 3 AB, 设 AB ? a ,则 OE ? ∴ AE ?
3 2 a , AO ? a, 2 2

5 AO 10 , a ,于是 sin ?AEO ? ? AE 5 2
10 .????????????????(12 分) 5

即 AE 与平面 PDB 所成角的正弦值为

方法二:如图 2,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D?xyz, 设 AB ? a ,AE 与平面 PDB 所成的角为 ? , 则 A(a, 0, 0) , B(a, a, 0) ,C (0, a, 0) , P(0, 0, 3a) ,
?a a 2 3a ? ?, 2 ? ? a 2 3a ? ?, 2 ? ?

于是 E ? , , ?
?2 uur ?a

所以 EA ? ? , ? , ? ?
?2

r ?a a ? 且平面 PDB 的法向量 n ? ? , ? , 0 ? , 2 2 ? ?
r uur a2 a2 ? ?0 n ? EA 10 ? 所以 sin ? ? r uur ? 4 4 , 2 2 5 a 5a n EA 2 4

即 AE 与平面 PDB 所成角的正弦值为 20. (本小题满分 12 分)

10 .????????????????(12 分) 5

解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x 2 ? a ln x 在区间 [1, 2] 上是增函数, ∴当 x ?[1, 2] 时, f ?( x) ? 2 x ? ≥ 0 恒成立, 即 a ≤ 2x2 恒成立,所以 a ≤ 2 . 又 g ( x) ? x ? a x 在区间 [0,1] 上是减函数, 故当 x ? (0,1] 时, g ?( x) ? 1 ? 综上, a ? 2 . 由 g ( x) ? x ? 2 x ,得 g ?( x) ? 1 ? 令 g ?( x) ? 1 ?
1 x ? ?2 ,则 x ? a 2 x ≤ 0 恒成立,即 a ≥ 2 x 恒成立,所以 a ≥ 2 .

a x

1 x



1 , 9
第 10 页 (共 15 页)

5 5? ?1? 1 2 ?1 而 g ? ? ? ? ? ? ,所以 g ( x) 的图象上 P ? , ? ? 处的切线与直线 l 平行, 9 9? ?9? 9 3 ?9

1 5 6 ? ? 3? ? 2 5 9 9 所以所求距离的最小值为 .???????????????(6 分) ? 5 45

(Ⅱ)因为 f ( x) ? x 2 ? 2ln x , 则 f ?( x) ? 2 x ? ?
2 x 2( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 0) , x 1 恒成立, m2

因为当 x ? (0,1] 时, f ( x) ≥ 2bm ? 所以 2bm ?
1 ≤ [ f ( x)]min , m2

因为当 x ? (0,1] 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x)在x ? (0,1] 上是减函数, 从而 [ f ( x)]min =f (1) ? 1 , 所以当 m ? (0,1] 时, 2bm ? 所以 2b ≤ ? 因为 y ?
?1 1 ? ? 3? . ? m m ?min

1 1 1 ≤ 1 ,即 2b ≤ ? 3 恒成立, 2 m m m

1 1 在 m ? (0,1] 上是减函数,所以 ymin ? 2 , ? m m3

从而 2b ≤ 2 ,即 b ≤ 1 , 故实数 b 的取值范围是 (??, 1] .?????????????????????(12 分) 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意, a2 ? b2 ? 9 ? 7 ? a2 ? 16 ? b2 , 所以椭圆的方程为
x2 y2 ? 2 ?1, b2 ? 16 b

代入 D 点坐标,解得 b2 ? 20(b2 ? ?15舍去) , 由此得 a2 ? 36 , 所以椭圆的方程为
x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????????(4 分) 36 20

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(?6, 0), F (4, 0) , 故圆 C 的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 25 ,
2 ?3 ? ?5 3? 则由 ? ? 1? ? ? ? ? 25 知,点 D 在圆 C 上, ?2 ? ? 2 ? ? ? 2

第 11 页 (共 15 页)

因为 k DC

5 3 ?0 3 ? 2 ? 3 ,所以切线的斜率为 ? , 3 3 ?1 2

故所求切线的方程为 y ?

5 3 3? 3? ?? ?x? ?, 2 3 ? 2?

即 x ? 3 y ? 9 ? 0 .????????????????????????????(8 分) (Ⅲ)设 M (9, t ) ,假设存在点 P( x, y) 满足题意, 则 ( x0 ? 9)2 ? ( y0 ? t )2 ? 4[( x0 ? x)2 ? ( y0 ? y)2 ] ,
2 ?点 N ( x0,y0 ) 在圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 25 上,? ( x0 ? 1)2 ? y0 ? 25 ,

化简得 (12 ? 8x) x0 ? (2t ? 8 y) y0 ? 4( x 2 ? y 2 ) ? t 2 ? 9 ? 0 , 因为该式对任意的 x0, y0 恒成立,
3 ? ?x ? 2 , ?12 ? 8 x ? 0, ? ? 则 ?2t ? 8 y ? 0, 解得 ? y ? 0, ?t ? 0, ? 2 2 2 ?4( x ? y ) ? t ? 9 ? 0, ? ?

故存在定点 P ? , 0 ? 对于直线 x ? 9 上的点 M (9, 0) 及圆 C 上的任意一点 N ( x0, y0 ) 使得 2
MN PN ? 2 成立.????????????????????????????(12 分)

?3 ?

? ?

22. (本小题满分 10 分)【选修 4—1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:?圆 I 与边 AC 相切于点 D ,

? ID ⊥ AC . ????????????????????????????(2 分)
又 ? BE ⊥ CE ,

? ?IDC ? ?IEC ? 90? , ? I , E , D , C 四点共圆, ?????????????????????(4 分)
??IDE ? ?ECI . ??????????????????????????(5 分)
(Ⅱ)解:? I 为锐角 △ABC 的内心,
1 1 ? ?IBC ? ?ABC , ?ICB ? ?ACB ,??????????????????(6 分) 2 2 1 1 ?在 △IEC 中, ?EIC ? ?IBC ? ?ICB ? ?ABC ? ?ACB 2 2 1 1 ? (?ABC ? ?ACB) ? (180? ? ?A) 2 2
第 12 页 (共 15 页)

1 ? 90? ? ?A ? 60? . ??????????????????????????(8 分) 2

? BE ⊥ CE ,
?在 Rt△IEC 中, ?ECI ? 90? ? ?EIC ? 30? ,
IE 1 ? sin ?ECI ? sin 30? ? . ????????????????????(10 分) IC 2 23. (本小题满分 10 分)【选修 4—4:坐标系与参数方程】 ?

解: (Ⅰ)曲线 M 可化为 y ? x 2 ? 1 , x ? [? 2, 2] , 曲线 N 可化为 x ? y ? t , 若曲线 M,N 只有一个公共点, 则当直线 N 过点 ( 2,1) 时满足要求,此时 t ? 2 ? 1 , 并且向左下方平行运动直到过点 (? 2,1) 之前总是保持只有一个公共点, 当直线 N 过点 (? 2,1) 时,此时 t ? ? 2 ? 1 , 所以 ? 2 ? 1 ? t ≤ 2 ? 1 满足要求; 再接着从过点 (? 2,1) 开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点, 相切时仍然只有一个公共点,
? x ? y ? t, 联立 ? 得 x2 ? x ? 1 ? t ? 0 , y ? x 2 ? 1, ?

? ? 1 ? 4(1 ? t ) ? 0 ,

5 求得 t ? ? , 4 5 综上可求得 t 的取值范围是 ? 2 ? 1 ? t ≤ 2 ? 1 或 t ? ? .??????????(5 分) 4

(Ⅱ)当 t ? ?2 时,直线 N: x ? y ? ?2 ,
2 设 M 上的点为 ( x0,x0 ? 1), x0 ≤ 2 ,

1? 3 ? 2 x0 ? x0 ? 1 ? x0 ? 2 ? ? 4 3 2 ? 则曲线 M 上的点到直线 N 的距离为 d ? , ?? ≥ 8 2 2

2

3 2 1 当 x0 ? ? 时取等号,满足 x0 ≤ 2 ,所以所求的最小距离为 .?????(10 分) 8 2

24. (本小题满分 10 分)【选修 4—5:不等式选讲】
第 13 页 (共 15 页)

(Ⅰ)证明:由

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1

x2 ?

1 1 ? x1 ? x2 x1 1 x1 x2 ? 1 , ? ? e( x2 ? x1 ) e x1 x2

? x1, x2 ?[1 ? ?), x1 ? x2, ,

? x1 x2 ? 1 ? 0,?

x1 x2 ? 1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0,? ? 0 .??????????????(5 分) x1 x2 x2 ? x1

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 f ( x) 在 [1, ? ?) 上为增函数,
? a ? 3 ? 1, a ? 4 ? 1≥1,且f ( a ? 3) ? f ( a ? 4 ? 1) ,
? a ? 3 ? a ? 4 ? 1.

当 a ≤ 0 时, ?a ? 3 ? 4 ? a ? 1,得3 ? 5,? a ?? ; 当 0 ? a ? 4 时, a ? 3 ? 4 ? a ? 1,得a ? 1,?1 ? a ? 4 ; 当 a ≥ 4 时, a ? 3 ? a ? 4 ? 1,得3 ? ?3,? a ≥ 4 , 综上所述,实数 a 的取值范围为 a ? 1 .??????????????????(10 分)

云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(七) 双向细目表 理科数学
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 分值 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 试题内容 命题 函数零点 复数 三视图 圆锥曲线 三角函数 程序框图 函数、不等式 三角函数 圆锥曲线
第 14 页 (共 15 页)

难易程度 易 易 易 易 易 易 中 中 中 中

备注

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

选择题 选择题 填空题 填空题 填空题 填空题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 达成

5分 5分 5分 5分 5分 5分 12 分 12 分 12 分 12 分 12 分 10 分 10 分 10 分 优秀率 5%

函数、数列 立体几何 函数 合情推理 向量 函数 解三角形、数列 概率 立体几何 导数应用 圆锥曲线 平面几何 参数方程 不等式 及格率 60%

中 难 易 易 中 难 易 易 中 中 难 中 中 中 平均分 90~100

命题 思想

目标

1. 检查双基的掌握情况,常规解题方法。 2. 突出体现数形结合、分类讨论、特值思想。

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