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直线与圆锥曲线复习学案


圆 锥 曲 线 习 题 课
【题型一】定义考察及标准方程。 1. 方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C,有下列命题:其中真命题是--------------。 4?t t ?2

① 若曲线 C 为椭圆,则 2 ? t ? 4 ; ②若曲线 C 为双曲线,则 t ? 4 或 t ? 2 ; ③ 曲线 C 不可能表示圆

; ④若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 3 ? t ? 4

x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到椭圆的一个焦点的距离等于 4,那么它到另一个焦点 2. 已知椭圆 25 9
的距离为---------------。 3. 已知抛物线 x2 ? 4 y 上一点 M 的横坐标为 4, 则点 M 到抛物线焦点的距离为--------------4. 已知△ABC 的两个顶点 A(-4,0)和 B(4,0),△ABC 的周长为 18,则定点 C 的轨迹方程 为-------------5. 已知定圆 F1: x2 ? y 2 ? 10x ? 24 ? 0 ,定圆 F2: x2 ? y 2 ?10x ? 9 ? 0 ,动圆 M 与定圆 F1,F2 都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程。 变式训练: 已知动圆 P 过定点 A(-3,0),并且在定圆 B:( x ? 3)2 ? y 2 ? 64 的内部与其相内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程。 6.根据下列条件,求对应曲线的方程 (1) 一个焦点是(0,4) ,过点 B(1, 15 ) ,求椭圆方程 (2) 长轴长是短轴长的 5 倍,过点(6,2) ,求椭圆方程 (3) 焦点在坐标轴上,且经过点 A ( 3, ?2) 和点 B( (?2 3,1) ,求椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 共焦点,且过点( (?2, 10) ,求双曲线方程 (4) 与椭圆 16 25
(5) 已知双曲线的渐进线方程为 y ? ?

1 x ,焦距为 10,求双曲线方程 2

(6) 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(3,m)到焦点的距离 等于 5,求抛物线的方程和 m 的值。 (7) 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且抛物线过点 P( (?2, 2 2) 求抛物 线的方程。 【题型二】圆锥曲线的几何性质 1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率为--------------;若椭圆的一个顶点 和两焦点组成等边三角形,则椭圆的离心率为--------------。 2. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则 ON=---------. 25 9
1

3.若椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=---------;焦距为 2 则 m=--------2 m 4


4.椭圆

x2 y 2 y2 x2 ? ?1与 ? ? 1(0 ? k ? 9) 的关系为( 25 9 25 ? k 9 ? k

A. 有相同的长轴长和短轴长。B 有相同的焦距。C 有相同的焦点。D 有相同的离心率 5.椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? ? 1 有相同的焦点,则 m 的值-----------------。 4 m m 2

6.若双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为(0,3) ,则 k=--------------------------。 7.双曲线 3x2 ? y 2 ? 8 的渐近线方程为---------------------。 8.双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? ?3 则( )

A.顶点坐标为 (? 3,0) ,虚轴端点为 (0, ? 3) B.顶点坐标为 (0, ? 3) ,虚轴端点为 (? 3,0) C.顶点坐标为 (? 3,0) ,渐近线方程为 y ? ? x D.虚轴端点为 (0, ? 3) ,渐近线方程为 x ? ? y 9 若抛物线的 y 2 ? 4 x 的焦点为 F, 定点 P (4, --2) , 在抛物线上找一点 M,使 PM ? MF 最 小,则点 M 的坐标为 A. (2,--2) B.
2

(1,2) C.(1,--2)

D.(--1,2)

10.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 做倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A,B 两点, 若线段 AB 的长为 8,则 p ? --------------11. 一动圆的圆心在抛物线 y ? 8x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切, 则动圆必过(
2



A. (4,0) B. (2,0) C.(0,2)
2

D.(0,--2)

12 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上三点的纵坐标平方成等差数列, 那么这三个点的焦半径(抛 物线上点到焦点的距离)的关系为( ) A..成等差数列 B.既成等差数列又成等比数列 C.成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列

x2 y 2 x2 y 2 13.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 和椭圆 2 ? 2 ? 1(m ? b ? 0) 的离心率互为倒 a b m b
数,那么以 a, b, m 为边长的三角形是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D 等腰三角形
2

14.已知双曲线 kx2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则离心率为----------。

x2 4 y2 15“. k ? 5 ”是“方程 ? ? 1 表示椭圆”的( 5? k 5?k



A.充分必要条件 B 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.过点 P(4,--2)的抛物线方程为---------17.椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 的两焦点间距离为-----------18..抛物线的方程为 y ? ax2 (a ? 0) 求该抛物线的焦点坐标和准线方程-分别为-----------

19.设圆过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中 9 16

心的距离为------------20.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(0 ? a ? b) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a,0),(0, b) 两点,且原点到直 a 2 b2

线 l 的距离为

3 c ,求双曲线的离心率。 4
1 。 2

21 已知椭圆的焦点为 F1(0,--1)和 F2(0,1) ,离心率为 (1)求椭圆的方程。

(2)设点 P 在椭圆上,且 PF 1PF 2 的余弦值。 1 ? PF 2 ? 1 ,求 ?F

x 2 16 y 2 22 若 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线上,求 p 的值。 3 p
【题型三】直线与圆锥曲线的问题 ? 交点个数问题(联立直线方程与圆锥曲线方程,消元后利用二次方程判断解个数) 1.抛物线 y ? 8x 的准线与 x 轴交与点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,求直线斜
2

率的取值范围。 2.双曲线

x2 ? y 2 ? 1与直线 y ? kx ? 1 有(1)两公共点 (2)有一公共点(3)没有公共点, 4

求 k 的取值范围或值 3. 过 (--1,2) 作直线与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点, 则直线的斜率为-------------------------2

3

?

弦长问题(联立直线方程与圆锥曲线方程,消元后根据根与系数关系,利用弦长公式

弦长 ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

? 1?

1 1 y1 ? y2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 2 k k

进行求解。 )

4.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上, ,它截直线 y ? 2 x ? 1 所得的线段长为 15 , 求抛物线的方程。 5.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 作斜率为—2 的直线交抛物线于 A,B 两点, 求 A,B 两点的距离。 ? 中点弦问题(联立直线方程与圆锥曲线方程,消元后根据根与系数关系,借助中点坐标 公式进行求解;或着利用点差法将中点和直线斜率建立联系)

6.已知点 M(4,2)是直线 l 被椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 36 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程 7.已知抛物线 y 2 ? 8x ,过点 P(1,-1)的直线交抛物线于 A,B 两点,如果点 P 恰是线段 AB 的 中点,求直线 AB 的方程。
2 8.已知抛物线 y ? 2 x 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称,且 x1 x2 ? ?

1 , 2

求 m 的值。 9.已知抛物线 y 2 ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于 A,B 两点。 (1)求证: OA ? OB (2)当△ABC 的面积等于 10 时,求 k 的值

10.已知双曲线 C 的中心在原点,右焦点为 F ( (1) 求双曲线 C 的方程

2 3 ,0) ,渐近线方程为 y ? ? 3x 3

(2) 设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 相交于 A,B 两点,问:当 k 为何值时,以 AB 为直径 的圆过原点。 11. 已知椭 圆 C 的 中心在 原点 ,焦 点在 x 轴上, 一条 经过 点 (3, ? 5) 且 方向向量 为

v ? (?2, 5) 的直线 l 经过椭圆 C 右焦点 F,且交椭圆于 A,B 两点,又 AF ? 2 FB ,求
(1)直线 l 的方程 (2)椭圆 C 的方程

4


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