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五法求二面角


五法求二面角 一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二 面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射 线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。 如例 1 中从二面角 S—AM—B 中半 平面 ABM 上的一已知点(B)向棱 AM 作垂线,得垂足(F) ;在

另一半平面 ASM 内过该垂足(F)作棱 AM 的垂线(如 GF) ,这两条垂线(BF、GF)便形成该二面 角的一个平面角, 再在该平面角内建立一个可解三角形, 然后借助直角三角函数、 正弦定理与余弦定理解题。 例 1(2009 全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , AD ? 2
DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60°

(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点 (II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。 证(I)略 解(II) :利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF ? AM 交

AM 于点 F ,则点 F 为 AM 的中点,过 F 点在平面 ASM 内作 GF ? AM ,GF 交 AS
于 G,
G F

连结 AC,∵△ADC≌△ADS,∴AS-AC,且 M 是 SC 的中点, ∴AM⊥SC, GF⊥AM,∴GF∥AS,又∵ F 为 AM 的中点, ∴GF 是△AMS 的中位线,点 G 是 AS 的中点。则 ?GFB 即为所求二面角. ∵ SM ? 2 ,则 GF ?
2 ,又∵ SA ? AC ? 6 ,∴ AM ? 2 2

∵ AM ? AB ? 2 , ?ABM ? 60 0 ∴△ ABM 是等边三角形,∴ BF ? 3 在△ GAB 中, AG ?
6 , AB ? 2 , ?GAB ? 90 0 ,∴ BG ? 2
2 2

3 11 ?4 ? 2 2

1 11 ?3? GF ? FB ? BG 2 ? ?2 ? ? 6 cos ?BFG ? ? 2 2GF ? FB 3 2 6 2? ? 3 2
2

G F

∴二面角 S ? AM ? B 的大小为 arccos(?

6 ) 3

练习 1 (2008 山东) 如图, 已知四棱锥 P-ABCD, 底面 ABCD 为菱形, PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最 大角的正切值为
6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦 2

值. 分析:第 1 题容易发现,可通过证 AE⊥AD 后推出 AE⊥平面 APD,使命题获证,而第 2 题,则首先必 须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后, 考虑到运用在二面 角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S,和两边 SE 与 SC,进而计算二 面角的余弦值。 (答案:二面角的余弦值为
15 ) 5

二、三垂线法 三垂线定理: 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直. 通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求 二面角的大小。 本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如(例 2)过二面角 B-FC 1 -C 中半平面 BFC 上的一已知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线, 得垂足 O; 再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线, 得垂足 P,连结起点与终点得斜线段 PB,便形成 A1 了三垂线定理的基本构图(斜线 PB、垂线 BO、射 影 OP) 。再解直角三角形求二面角的度数。 E1 例 2 . (2009 山 东 卷 理 ) 如 图 , 在 直 四 棱 柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2,
A D1 C1 B1 D E F B C

E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。

(1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 证(1)略 解(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平 面 ABCD,所以 CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平
E1 E A F D A1

D1 F1 P O

C1 B1 C B

面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中, OB ? 3 ,在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△CC1F,∵
1 2 ?2
2 2

OP OF ? CC1 C1 F

∴ OP ?

?2 ?

2 , 2

2 1 14 OP 7 ?3 ? 在 Rt△OPF 中, BP ? OP 2 ? OB 2 ? , cos ?OPB ? , ? 2 ? 2 2 BP 7 14 2

所以二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 . 7

练习 2(2008 天津)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2 , ?PAB ? 60 ? . (Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. 分析:本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角 问题,在证明 AD⊥平面 PAB 后,容易发现平面 PAB ⊥平面 ABCD, 点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的 一个点,于是可过点 P 作棱 BD 的垂线,再作平面 ABCD 的垂线,于是可形成三垂 线定理中的斜线与射影内容,从而可得本解法。 (答案:二面角 P ? BD ? A 的大 小为 arctan
39 ) 4

三.补棱法 P 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明 确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完 整,使之有明确的交线(称为补棱) ,然后借助前述的 定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线 时,一般用补棱法解决 例 3(2008 湖南)如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 D ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD E 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; A B (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角) 的大小. 分析:本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线,依本法显然要补充完整(延 长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF.)再在完整图形中的 PF.上找一个适合的点形成

C

二面角的平面角解之。 (Ⅰ)证略 解: (Ⅱ)延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF. 过点 A 作 AH⊥PB 于 H,由(Ⅰ)知 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ABF 中,因为∠BAF=60°, 所以,AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△PAF 中, 取 PF 的中点 G, 连接 AG. 则 AG⊥PF.连结 HG,由三垂线定理的逆定理 得, PF⊥HG.所以∠AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所 成二面角的平面角(锐角).
2 PA ? 2. 在等腰 Rt△PAF 中, AG ? 2

P

G

F H A B D E C

在 Rt△PAB 中,
AH ? AP?AB ? PB AP?AB AP ? AB
2 2

?

2 2 5 ? . 5 5

AH 所以,在 Rt△AHG 中, sin ?AGH ? ? AG

2 5 5 ? 10 . 5 2

故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角) 的大小是 arcsin
10 . 5
A1 B1

C1 练习 3 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 0 a, 侧棱与底面成 60 的角, 侧面 BCC1B1⊥底面 ABC。 (1)求证:AC1⊥BC; (2)求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角 (锐角)的大小。 提示: 本题需要补棱, 可过 A 点作 CB 的平行 线L C (答案:所成的二面角为 45O)

A L B

四、射影面积法( cos q =

s射影 S



凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影 图形面积的都可利用射影面积公式(cos ? ?
S射 S斜

)求出二面角的大小。
P

例 4. (2008 北京理)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,

AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? ,
A C B

. AP ? BP ? AB , (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)求二面角的大小; 分析:本题要求二面角 B—AP—C 的大小,如果利用射影面积法解题,不难想到 在平面 ABP 与平面 ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出 S 原与 S 射 于是得到下面解法。 解: (Ⅰ)证略 (Ⅱ) , , . P 又, . 又,即,且, E 平面. 取中点.连结. B A , . 是在平面内的射影, C . ∴△ACE 是△ABE 在平面 ACP 内的射影, 于是可求得: , ,则, 设二面角的大小为,则 ∴二面角的大小为 练习 4: 如图 5,E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点, 求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐 角的余弦值. 分析 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1 交线即二面角
A1 图5 A D1 B1 D B E C1 C

的棱没有给出,要找到二面角的平面角,则必须先 作两个平面的交线,这给解题带来一定的难度。考 虑到三角形 AB1E 在平面 A1B1C1D1 上的射影是三角形

A1B1C1,从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。 (答案:所求二面角的余弦值为 cosθ =). 五、向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法, 可以说所有的 立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直 角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量, 进行向量计算解题。 例 4: (2009 天津卷理) 如图, 在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE, 1 AB ? AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= AD 2 (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; 求二面角 A-CD-E 的余弦值。

现在我们用向量法解答:如图所示,建立空间直角坐标系,以点 A 为坐标原点。 设 AB ? 1, 依题意得 B?1, 0, 0?, C ?1, 1, 0?, D?0, 2, 0?, E ?0, 1, 1?, F?0, 0, 1?,
?1 1? M? , 1, ?. ?2 2?
BF ? ?? 1, 0, 1?, DE ? ?0, ? 1, 1?, (I) 解:

于是 cos BF, DE ?

BF ? DE BF DE

?

0 ? 0 ?1

1 ? . 2? 2 2

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 0 .
?1 1? 0, 1?, AD ? ?0, 2, 0?,可得CE ? AM ? 0 , (II)证明:由AM ? ? , 1, ?, CE ? ?? 1, ?2 2?
CE ? AD ? 0.因此,CE ? AM,CE ? AD.又AM ? AD ? A,故CE ? 平面AMD.

而CE ? 平面CDE,所以平面AMD ? 平面CDE.

? ?u ? CE ? 0, (III) 解:设平面CDE 的法向量为u ? ( x,y,z ),则? ? ?u ? DE ? 0.
?? x ? z ? 0, 于是? 令x ? 1,可得u ? (1, 1, 1 ) . ? ? y ? z ? 0.

又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? (0, 0, 1). 练习 5、 (2008 湖北)如图,在直三棱柱中,平面侧面. (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)若直线与平面所成的角为,二面角的大小为,试判断与的大小关系,并予 以证明. 分析:由已知条件可知:平面 ABB1 A1⊥平面 BCC1 B1⊥平面 ABC 于是很容易想到以 B 点为空间坐标 原点建立坐标系,并将相关线段写成用坐标表示 的向量,先求出二面角的两个半平面的法向量, 再利用两向量夹角公式求解。 (答案: ,且) 总之,上述五种二面角求法中,前三种方法 可以说是三种增添辅助线的一般规律,后两种是 两种不同的解题技巧,考生可选择使用。 airline[英][?e?la?n][美][??r?la?n]n.航线;航空公司复数: The numerical data below was provided by each airline.

下面的数字数据来源于每个航空公司。 The airlineearlier banned infants from first class on its 747-400 routes. 在此之前,该航空公司已经明文禁止婴儿乘坐747-400航线的头等舱。 Which airlinehas the best food? 哪家航空公司提供的饭食最好? But unions and some airlineanalysts disagree. 但是工会和其他航空公司并不认同。 Check at rival airlinecounters yourself. 你自己到其它航空公司柜台去问。 aboard[英][??b?:d][美][??b?rd, ??bord prep.在(船、飞机、车)上,上(船、飞机、车) ;上车 adv.在船(或飞机、车)上,上船(或飞机、车) ;靠船边;在船上;在火车上 The navy officially lifted the ban on women serving aboardsubmarines in the spring. 今年春天,海军已经正式取消了禁止女性在潜水艇上服役的禁令。 It was at this time, while serving aboardthe hms majestic, that his father died. 正是在“庄严号”上服役期间,福尔肯的父亲去世。 But this merely delayed the inevitable an order to come aboardthe ladny. 但是,这仅仅让不可避免的事情(ladny 号舰发来的上船命令)推迟了片刻。 A second bomb, intended to blow up another air india 747 on the same day, detonated prematurely in a luggage facility in tokyo before being loaded aboard. 另外一个计划在同一天炸毁另一架印度航空747飞机的炸弹并没有被装载上飞 机,而是在东京的行李仓库中提前爆炸。 On a windy morning in february, widder and six colleagues climbed aboarda catamaran, its motors gurgling in the indian river lagoon. 在二月一个多风的早上, 维达和六位同事爬上一艘双体船,发动机开始在印第安 河泻湖中咯咯转悠。 abroad[英][??br?:d][美][??br?dadv.到国外,在海外;广为流传地 adj.往国外的 n.海外,异国 Interchange fees are also under fire abroad. 交易费在国外也是备受诘难。 Expanding abroadwill not be easy.

向海外扩张并不那么容易。 Even chinese consumers are taking their money abroad. 甚至中国的消费者都在考虑把钱财转移到国外。 In that scenario japan would have to borrow abroad. 这种情况之下,日本可能向外国举债。 Television producers will find new markets abroad. 电视制作人将会寻找新的国外市场。 not only ... but also 不但?而且 NotonlybutalsoI am a teacher. 不仅你而且我是-名老师。 After serving their time they will notonlyhave earned their spurs as teachers butwill alsobe halfway through a master's degree. 任教期满后, 他们不仅享受到了作为教师的刺激,也相当于他们通过了硕士学位 的一般。 Americans are notonlypulled into the story butare alsofascinated by the incredible scenery. 美国人不仅故事看得入迷,还陶醉在这不可思议的美景中。 But now, in the aftermath of the financial crisis, such interest is notonlytaken seriously butis alsoleapt upon and given credence by industry and media alike. 但如今,在金融危机过后,这样的兴趣不仅得到了人们的严肃对待,而且行业及 媒体等方面也给予它们很大的关注与信任。 However, notonlydoes the exotic locale offer many opportunities to see neal in various stages of undress, buthe alsocreates an impossibly romantic gesture for local proprietor maya he is trying to woo. 不过异域风情不仅让我们有机会看尼尔的各种无上装, 还让尼尔本人可以施展浪 漫无比的戏法,以讨好当地的女富豪玛雅。


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