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高中数学必修五(人教版)知识点总结。[1]

时间:2011-02-14


高中数学必修 5 知识点
(一)解三角形 1、正弦定理:在 ?ΑΒ C 中, a 、 b 、 c 分别为角 Α 、 Β 、 C 的对边, R 为 ?ΑΒC 的外接圆的半径,则

a b c = = = 2R . sin Α sin Β sin C 正弦定理的变形公式:① a = 2 R sin Α , b = 2 R sin Β , c = 2 R

sin C ; a b c ② sin Α = , sin Β = , sin C = ; 2R 2R 2R ③ a : b : c = sin Α : sin Β : sin C ; a+b+c a b c ④ = = = . sin Α + sin Β + sin C sin Α sin Β sin C 1 1 1 2、三角形面积公式: S ?ΑΒC = bc sin Α = ab sin C = ac sin Β . 2 2 2
有 3、余弦定理:在 ?ΑΒC 中,有 a = b + c ? 2bc cos Α , b = a + c ? 2ac cos Β ,
2 2 2 2 2 2

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
4、余弦定理的推论: cos Α =

b2 + c2 ? a2 a2 + c2 ? b2 a2 + b2 ? c 2 , cos Β = , cos C = . 2bc 2ac 2ab

5、射影定理: a = b cos C + c cos B, b = a cos C + c cos A, c = a cos B + b cos A 6、设 a 、 b 、 c 是 ?ΑΒC 的角 Α 、 Β 、 C 的对边,则:①若 a + b = c ,则 C = 90 ;
2 2 2
o

②若 a + b > c ,则 C < 90 ;③若 a + b < c ,则 C > 90 .
2 2 2
o

2

2

2

o

(二)数列 7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. an +1 ? an > 0 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. an +1 ? an < 0 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这 个常数称为等差数列的公差.
1

18、由三个数 a , Α , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 Α 称为 a 与 b 的等差中项.若

b=

a+c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

19、若等差数列 {an } 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an = a1 + ( n ? 1) d . 20、通项公式的变形:① an = am + ( n ? m ) d ;② a1 = an ? ( n ? 1) d ;③ d = ④n =

an ? a1 a ?a + 1 ;⑤ d = n m . d n?m
*

an ? a1 ; n ?1

,则 am + an = a p + aq ;若 {an } 是等 21、若 {an } 是等差数列,且 m + n = p + q ( m 、 n 、 p 、 q ∈ Ν ) 差数列,且 2n = p + q ( n 、 p 、 q ∈ Ν ) ,则 2an = a p + aq .
*

22、等差数列的前 n 项和的公式:① S n =

n ( a1 + an )

2

;② S n = na1 +

n ( n ? 1)

2

d.

23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ∈ Ν * ,则 S 2 n = n ( an + an +1 ) ,且 S偶 ? S奇 = nd ,

(

)

S奇 S偶

=

an . an +1

②若项数为 2n ? 1 n ∈ Ν * ,则 S 2 n ?1 = ( 2n ? 1) an ,且 S奇 ? S偶 = an , (其中 S奇 = nan , S偶 = ( n ? 1) an ) .

(

)

S奇 S偶

=

n n ?1

24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这 个常数称为等比数列的公比. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G = ab ,
2

则称 G 为 a 与 b 的等比中项.注意: a 与 b 的等比中项可能是 ±G 26、若等比数列 {an } 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an = a1q 27、通项公式的变形:① an = am q
n?m n ?1


n ?1

;② a1 = an q

?( n ?1)

;③ q

=

an a n?m ;④ q = n . a1 am

28、若 {an } 是等比数列,且 m + n = p + q ( m 、 n 、 p 、 q ∈ Ν * ) ,则 am ? an = a p ? aq ;若 {an } 是等比 数列,且 2n = p + q ( n 、 p 、 q ∈ Ν * ) ,则 an = a p ? aq .
2

?na1 ( q = 1) ? 29、等比数列 {an } 的前 n 项和的公式: S n = ? a1 (1 ? q n ) a ? a q . = 1 n ( q ≠ 1) ? 1? q ? 1? q

2

30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ∈ Ν

(

*

) ,则 S

S偶


=q.

② S n + m = S n + q ? S m .③ Sn , S 2n ? S n , S3n ? S 2 n 成等比数列( S n ≠ 0 ) .
n

(三)不等式 31、 a ? b > 0 ? a > b ; a ? b = 0 ? a = b ; a ? b < 0 ? a < b . 32、不等式的性质: ① a > b ? b < a ;② a > b, b > c ? a > c ;③ a > b ? a + c > b + c ; ④ a > b, c > 0 ? ac > bc , a > b, c < 0 ? ac < bc ;⑤ a > b, c > d ? a + c > b + d ; ⑥ a > b > 0, c > d > 0 ? ac > bd ;⑦ a > b > 0 ? a > b
n n

( n ∈ Ν, n > 1) ;

⑧a > b > 0?

n

a > n b ( n ∈ Ν , n > 1) .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? = b ? 4ac
2

?>0


?=0

?<0







y = ax 2 + bx + c

( a > 0 ) 的图象
一元二次方程 ax + bx
2

有两个相异实数根

有两个相等实数根

+ c = 0 ( a > 0 ) 的根

x1,2 =

?b ± ? ( x1 <x2) 2a

x1 = x2 = ?

b 2a

没有实数根

ax 2 + bx + c >
一元二次 不等式的 解集

( a > 0)
ax 2 + bx + c <

{ x x < x 或x > x }
1 2

? b ? ?x x ≠ ? ? 2a ? ?

R

( a > 0)
若二次项系数为负,先变为正 35、设 a 、 b 是两个正数,则

{x x

1

< x < x2 }

?

?

a+b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a+b 36、均值不等式定理: 若 a > 0 , b > 0 ,则 a + b ≥ 2 ab ,即 ≥ ab . 2
37、常用的基本不等式: ① a + b ≥ 2ab ( a, b ∈ R ) ;
2 2

3

a2 + b2 ② ab ≤ ( a, b ∈ R ) ; 2
③ ab ≤ ?

? a+b? ? ( a > 0, b > 0 ) ; ? 2 ?
2 2

a2 + b2 ? a + b ? ④ ≥? ? ( a, b ∈ R ) . 2 ? 2 ?
38、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ,则当 x = y 时,积 xy 取得最大值 ⑴若 x + y = s (和为定值)

s2 . 4

⑵若 xy = p (积为定值) ,则当 x = y 时,和 x + y 取得最小值 2 p .

4


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