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2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题及答案


一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.下列说法正确的是( ) A.在平面内到一个定点的距离等于到定直线距离的点的轨迹是抛物线 B.在平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆 C.在 平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线 D.在平面内到一定点距离等于定长(不等于零)

的点的轨迹是圆 2.椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x=3,则该双曲线方程为( ) A. B. C. D.

3.双曲线 上的一点 P 到它一个焦点的距离为 4,则点 P 到另一焦点的距离是( ) A.2 B.10 C.10 或 2 D.14 ) C. 相切 D. 相离

4.直线 与圆 的位置关系是( A.相交且过圆心

B. 相交但不过圆心

5.如右图所示的不等式的区域为( ) A. C. B. D. )

6.椭圆 ,点 M 在椭圆上, 等于-2,则△F1MF2 的面积等于( A.1 B. C.2 D.

7.已知对称中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线为 ,则此双曲线的离心率为( A. B. C. 或 D. )



8.已知直线 交抛物线 于 、 两点,则△ ( A.为直角三角形 C.为钝角三角形

B.为锐角三角形 D.前三种形状都有可能

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 9.抛物线 x2= -y 的焦点为________,准线是_________________. 10.过双曲线 的右焦点,且倾斜角为 45° 的直线交双曲线于点 A、B,则|AB|= 11.过点(0,4)可作__________条直线与双曲线 有且只有一个公共点. 12.已知 F 为抛物线 y2 = 4x 的焦点,过此抛物线上的点 M 作其准线的垂线,垂足为 N,若以线 段 NF 为直径的圆 C 恰好经过点 M,则圆的标准方程是________________________. ______.

13.如图,过椭圆 C: 的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B,且点 B 在 x 轴上 的射影恰好为右焦点 F,若 ,则椭圆离心率的取值范围是____________. xkb1 三、解答题:本大题共 3 小题,共 35 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. (本题满分 12 分) 求下列圆锥曲线的标准方程 (1)以双曲线 的顶点为焦点,离心率 e= 的椭圆 (2)准线为 ,且 a+c=5 的双曲线 (3)焦点在 y 轴上,焦点到原点的距离为 2 的抛物线 15. (本题满分 12 分) 已知圆 ,圆 ,点 P 满足 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)过点 Q(1,2)能否做直 线 AB 与 P 的轨迹交于 A、B 两点,并且使 Q 是 AB 的中点?如果 存在,求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由。 16. (本题满分 11 分) 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元.甲、 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做 的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个 电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

第二部分 能力检测(共 50 分) 四、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 1 0 分. 17.若在曲线 f(x,y)=0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y)=0 的“自 公切线”。下列方程:①;② ;③; ④对应的曲线中存在“自公切线”的有_____________. 18.如图,已知椭圆 ,O 为 原点,点 M 是椭圆右准线上的动点,以 OM 为直径的圆与以椭圆长 轴为直径的圆交于 P、Q 两点,直线 PQ 与椭圆相交于 A、B 两点,则|AB|的取值范围是 ____________. 五、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知圆 C: (x-1)2+(y+2)2=9,直线 l: (m+1)x-y-2m-3=0(m∈ R)

(1)求证:无论 m 取什么实数,直线恒与圆交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长最小时的直线方程. 20. (本题满分 13 分) A 村在 C 村正北 km 处,B 地在 C 村正西 16km 处,已知弧形公路 PQ 上任一点到 B、C 两点的 距离之差为 8km. (1)如图,以 BC 中点 O 为原点,建立坐标系,求弧形公路 PQ 所在曲线的方程; (2)现要在公路旁建造一个变电站 M 分别向 A 村、C 村送电,但 A 村有一村办工厂用电需用专 用线路, 不得与民用混线用电,因此向 A 村要架两条线路分别给村民和工厂送电. 要使用电线最 短,变电站 M 应建在 A 村的什么方位,并求出 M 到 A 村的距离. 21.(本题满分 15 分) 点 P 到 x 轴的距离比它到点(0,1)的距离小 1,称点 P 的轨迹为曲线 C,点 M 为直线 l: y=-m (m>0)上任意一点,过点 M 作曲线 C 的两条切线 MA,MB,切点分别为 A,B. ( 1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)当 M 的坐标为(0,-l)时,求过 M, A,B 三点的圆的标准方程,并判断直线 l 与此圆的 位置关系; (3)当 m 变化时,试探究直线 l 上是否存在点 M,使 MA ⊥ MB?若存在,有几个这样的点,若不 存在,请说明理由。

高二理科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B B C D C A 9. (0, ) ,y= 10.4 11. 3 12. 13.

14. (12 分)求下列圆锥曲线的标准方程 (1)以双曲线 的顶点为焦点,离心率 e= 的椭圆 (2)准线为 ,且 a+c=5 的双曲线 (3)焦点在 y 轴上,焦点到原点的距离为 2 的抛物线 解: (1) 分)椭圆焦点为(0, ) c= …………………2 (4 ,∴ ∵ ∴ a=2 b2=2 …………………3 …………………4

∴ 所求椭圆方程为 (2) 分) (4

∴ 解得 a=2,c=3 ∴ b2=5 …………2 分

∴ 所求双曲线方程为

……4 分

(3) 分)据题意,焦点坐标为(0, ) p=4 …………2 分 (4 ,∴ ∴ 所求抛物线方程为 x2= 8y .........4 分(少一个扣 1 分)

15. (12 分)已知圆 ,圆 ,点 P 满足 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)过点 Q(1,2)能否做直线 AB 与 P 的轨迹交于 A、B 两点,并且使 Q 是 AB 的中点?如果 存在,求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由。 解: (1) 分)设 P(x,y) (5 ,据题意,得,O1 (-3,0) ,O2(3,0) .........1 分 ∵ ∴ .........3 分 ........5 分(没有范围扣 1 分)

整理得 ( )

(2) 分)设 A(x1,y1) (7 ,B(x2,y2) ,若存在,则 x1+x2=2,y1+y2=4 ........1 分 ∵ A、B 在动点 P 的轨迹上 ∴ 点 ∴ ∴ .........4 分 此时 kAB=1 ∴ AB:y=x+1 整理得 此时△>0, ∴ 这样的直线存在,它的方程为 y=x+1 .........7 分(没有判断△,扣 1 分) 16.(11 分)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超 过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定甲、乙两个电视台 为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配 在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 解:设该公司分配在甲、乙两个电视台的广告时间分别为 x 分钟、y 分钟,收益为 z 万元, ........1 分 则 ........4 分 ........5 分 ........7 分 ........9 分 .........5 分 ...............2 分

目标函数 z=0.3x+0.2y 可行域如图所示: 求得 A(100,200)

当目标函数过 A 点时,z 取得最大值,此时 z=70 答:该公司分配给甲、乙两个电视台的广告时间分别为 100 分钟和 200 分钟时,公司收益最大, 为 70 万元。 17.② ③ ........11 分 18.

17.【解析】① x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线; ② = ,在 x= 和 x=﹣ 处的切线都是 y=﹣ ,故② 有自公切线. ③ =5sin(x+φ) ,cosφ= ,sinφ= ,此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数 有自公切线. ④ 由于 ,即 x2+2|x|+y2﹣3=0,结合图象可得,此曲线没有自公切线. 19. (12 分)已知圆 C: (x-1)2+(y+2)2=9,直线 l: (m+1)x-y-2m-3=0(m∈ R) (1)求证:无论 m 取什么实数,直线恒与圆交于两点。 (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长最小时的直线方程。 解: (1) 分)∵ (5 l:m(x-2)+(x-y-3)=0 ∴ 直线 l 恒过 的交点,即(2,-1) ...2 分 将点(2,-1)代入圆 C 的方程得(2-1)2+(-1+2)2=2<9 ∴ 点(2,-1)在圆内 ....4 分 ∴ 无论 m 取什么值,直线恒与圆相交。 ........5 分 (2) 分)由垂径定理: , 表示弦长,r 表示半径,d 表示圆心到直线的距离) 当 d 越大的 (7 (a 时候,弦长 a 越小. 根据垂线段最短可知,当 l⊥ 时,直线 l 被圆 C 所截得的弦长最小. ........3 分 CA 此时 kCA=1,则 kl=-1 .... ....5 分 ........7 分

∴ 直线 l 的方程为 y=-(x-2)-1 即 x+y-1=0

20.(本题满分 13 分)A 村在 C 村正北 km 处,B 地在 C 村正西 16km 处,已知弧形公路 PQ 上 任一点到 B、C 两点的距离之差为 8km. (1)如图,以 BC 中点 O 为原点,建立坐标系,求弧形公路 PQ 所在曲线的方程; (2)现要在公路旁建造一个变电站 M 分别向 A 村、C 村送电,但 A 村有一村办工厂用电需用专 用线路,不得与民用混线用电,因此向 A 村要架两条线路分别给村民和工厂送电. 要使用电线最 短,变电站 M 应建在 A 村的什么方位,并求出 M 到 A 村的距离. 20.解: (1)(6 分)以线段 BC 所在直线为 x 轴,其垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系. ∵ 上任一点到 B、C 两点的距离之差为 8km PQ 由双曲线定义,PQ 所在曲线为双曲线的右支, B、C 为焦点,c=8, a=4 ∴ b2=c2-a2=64-16=48, ......4 分

∴ 所求方程为: (x>0) .....6 分(没有范围扣 1 分) (2)(7 分)依题意,即求 2|MA|+|MC|的最小值. ........1 分

由第二定义 (d 为 M 到右准线的距离) ∴ |MC|=2d,过 A 作 AN 垂直于右准线于 N, 设 t=2|MA|+|MC|=2(|MA|+d)≥2|AN|.则当 M 为 AN 与双曲线交点时,t 最小. .......3 分 ∵ A(8, )∴,代入双曲线方程 ,得 , 此时 M 在 A 的正西方向,|MA|=8∴ 应把电房建在 A 村正西方向距离 A 村 8- km 处使得电线最短. ........7 分 21.(本题满分 15 分) 点 P 到 x 轴的距离比点 P 到点(0,1)的距离小 1,点 P 的轨迹为曲线 C,点 M 为直线 l:y=- m(m>0)上任意一点,过点 M 作曲线 C 的两条切线 MA,MB,切点分别为 A,B. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)当 M 的坐标为(0,-l)时,求过 M,A,B 三点的圆的标准方程,并判断直线 l 与此圆的 位置关系; (3)当 m 变化时,试探究直线 l 上是否存在点 M,使 MA ⊥ MB?若 存在,有几个这样的点,若不 存在,请说明理由。 解: (1) 分)∵ P 到 x 轴的距离比点 P 到点(0,1)的距离小 1 (4 点 ∴ P 到直线 y= -1 的距离等于点 P 到点(0,1)的距离 ........1 分 点 ∴ P 的轨迹是焦点在(0,1) 点 ,准线为 y= -1 的抛物线 ........2 分 ∴ P 的轨迹方程为:x2=4y ........4 分 点 (2) 分)当 M 的坐标为 时,设过 M 点的切线方程为 ,........1 分 (5 代入 ,整理得 ,① ........2 分 令 ,解得 ,代入方程① ,故得 , ...3 分 得 因为 M 到 AB 的中点(0,1)的距离为 2, ∴ 三点的圆的标准方程为 .易知圆与直线 l:y= -1 相切. ..5 分 过 (3) 分)设 M ,过 M 的切线方程为:y=k(x-x0)-m ........1 分 (6 整理得 ........2 分 ........5 分

∵ 直线与抛物线相切 ∴ =0 △ 即 整理得 ........4 分

若 MA⊥ MB,则

........5 分

即 时,直线 上任意一点 M 均有 MA⊥ MB;m≠1 时,MA 与 MB 不垂直.

综上所述,当 m =1 时,直线 上存在无穷多个点 M,使 MA⊥ MB,当 m≠1 时,直线 l 上不存在满足条件的点 M


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