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初高中数学衔接讲义


初高中数学衔接的一些问题和建议
现有初高中数学教材存在以下“脱节” : 1、立方和与差的公式在初中已经删去不讲,而高中还在使用; 2、因式分解中,初中主要是限于二次项系数为 1 的二次三项式的分解,对系数不为 1 的 涉及不多,而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求;高中教材中许多化简求值都要用 到它,如解方程、不等式等; 3、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求

,而分子、分母有理化是高中数学中函 数、不等式常用的解题技巧; 4、初中教材对二次函数的要求较低,学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材 的始终的重要内容;配方、作简图、求值域(取值范围) 、解二次不等式、判断单调区间、求 最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法; 5、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系,根与系数的关系(韦达定理)初中不 作要求,此类题目仅限于简单的常规运算,和难度不大的应用题,而在高中数学中,它们的 相互转化屡屡频繁,且教材没有专门讲授,因此也脱节; 6、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基本 知识要领; 7、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外,象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等初中大大淡化,甚 至老师根本没有去延伸发掘,不利于高中数学的学习。 为了能使各位新高一的同学能更好地适应高中的学习,有个良好的开端,希望各位同学 利用暑假做好以下知识点的衔接学习。预祝大家高中学习顺利! 上海市育才中学高一数学备课组 编于 2012.7.

学习内容目录
一 数与式的运算 1. 乘法公式 2. 二次根式 3. 分式 4. 分解因式 二次方程与二次不等式 1 一元二次方程 1.1 根的判别式 1.2 根与系数的关系 2 二次函数 2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 2.2 二次函数的三种表达方式 2.3 二次函数的应用 3 方程与不等式 3.1 二元二次方程组的解法
1





圆 1 直线与圆、圆与圆的位置关系:圆幂定理 2 点的轨迹 3 四点共圆的性质与判定

过关检测练习
(一) 数与式的运算 1.计算 (1) (3x+2y) (9x2-6xy+4y2)= (2) (a+b) 2-ab+b2) (a (a-b) 2+ab+b2)= (a 2.利用立方和、立方差公式进行因式分解 1 (1)27m3- n3= 8 6 6 (2) m -n = 3. 计算: 4 2 (1) (a ? 2)( a ? 2)( a ? 4a ? 16) = 2 2 2 2 2 (2) ( x ? 2 xy ? y )( x ? xy ? y ) = 4.
化简下列各式: (1) (3)

( 3 ? 2) 2 ? ( 3 ? 1) 2

(2)

(1 ? x) 2 ? (2 ? x) 2 ( x ? 1)
(4)

( a ? b ? 1)(1 ? a ? b ) ? ( a ? b )2

a a ? ab

?

a a ? ab

5. 化简下列各式:
x 1? x x? 1 x? x 2 x ? 3x ? 9 6x x ?1 (2) ? ? 2 2 6 ? 2x x ? 27 9x ? x
(1)

(二)因式分解 6.分解下列各多项式: 3 4 (1) 3a b ? 81b (3) 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 2 2 2 (5) 2 x ? 4 xy ? 2 y ? 8 z 2 2 2 (7) ( x ? x) ? 8( x ? x) ? 12

(2) a ? ab
7
2 2

6
2 2 2

(4) ab(c ? d ) ? (a ? b )cd (6) x ? xy ? 6 y
2 2 2

(8) 5 x ? 6 xy ? 8 y

2

(三)一元二次方程根与系数的关系 2 7.已知关于 x 的一元二次方程 3x ? 2 x ? k ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的范围:
(1) 方程有两个不相等的实数根; (3)方程有实数根;
2

(2) 方程有两个相等的实数根 (4) 方程无实数根.

8.若 x1 , x2 是方程 x ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值: (1) x1 ? x2 ;
2 2

(2)

1 1 ? ; x1 x2

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x2 | .

2 *9.一元二次方程 x ? 4 x ? a ? 0 有两个实根,一个比 3 大,一个比 3 小,求 a 的取值范围。

*10. 已知一元二次方程 x ? (a ? 9) x ? a ? 5a ? 6 ? 0 一个根小于 0, 另一根大于 2, a 的取值范围。 求
2 2 2

(四)解二元二次方程组
11. 解方程组

?3 x 2 ? xy ? 4 y 2 ? 3 x ? 4 y ? 0 12. 解方程组 ? x 2 ? y 2 ? 25 ?

(五)二次函数
13.作出以下二次函数的草图 (1) y ? x ? x ? 6 (2) y=-3x2-6x+1 (3) y ? ? x ? 1 ,并求它们的开口方向、对称轴、顶点 坐标、最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小) .
2 2

14.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

3

(六)圆
15.如图,已知⊙O 的半径 OB=5cm,弦 AB=6cm,D 是弧 AB 的中点,求弦 BD 的 长度。

16. 已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 2 6 ,且这两条线的距离为 3.求这个圆的半径.

17(1). 到定点 P 的距离等于 6cm 的点的轨迹是_____________。 (2). 以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 的顶点 C 的轨迹是_____________。 (3). 已知⊙O'与半径是 4cm 的⊙O 外切,且⊙O'的半径为 2cm,则点 O'的轨迹是__________。 (4). 已知动点 P 到直线 l 的距离为 5cm,则点 P 的轨迹是____________。 (5). 到半径为 r 的定圆 O 的切线长等于定长 a 的点的轨迹是___________。

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