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1.1命题及其关系


常用逻辑用语
“数学是思维的科学”

逻辑是研究思维形式和规律的科学.
逻辑用语是我们必不可少的工具.

通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻 辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常 用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.

下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们 的真假吗? (1)三

角形的 三 内角之和等于180 ; (2)如果a,b是任意两个正实数,那么
?

a ?b ? ; 2 ab

(3)

(4)如果实数a满足a2=9,则a=3; (5)中学生目前的学业负担过重; (6)中国将在本世纪中叶达到中等发达国家的水平 .

2 sin 60 ? ; 2
?

以上均为陈述句,(1)(2)为真,(3)(4) 为假, (5) (6)的真 假需要根据实际情况确定,总是可以确定真假.

1.1.1命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符 号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题,判 断为假的语句叫做假命题.

例 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假 命题? (1)x>7; (2)如果a,b是正实数且 a ? b , 那么a ? b;
2 2

(3) 如果a, b是任意实数且a2 ? b2 , 那么a ? b.

练习 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?

?1? x ? 4; ? 2 ? 有两个角为45?的三角形是等腰直角三角形; 2 3 方程 x ? 1 ? 0没有实数根. ? ?

例1 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是 假命题? (1)空集是任何集合的子集; 真命题 (2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗? (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行; 假命题 (5)
假命题

?? 2?2 ? 2 ;

真命题

(6)x>15.

判断 一个语句是不是命题,关键判断:(1)是否为陈 述句;(2)能否判断真假。

例1 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是 假命题? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗? (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行; (5)

?? 2?2 ? 2 ;

(6)x>15. 上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.在数学中,这种形式的命 题是常见的.
“若p,则q”也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式. 其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.

例2 指出下列命题中的条件p和结论q;
(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;

(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分. 解:(1)条件p:整数a能被2整除,结论q:整数a是偶数 ; (2)条件p:四边形是菱形,结论q:四边形的对角线互 相垂直且平分.
有一些命题表面上不是“若p,则q”的形式,但 可以改写成“若p,则q”的形式,例如:

垂直于同一条直线的两个平面平行.
若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行 .

例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断 真假; (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等; (4)等腰三角形两腰的中线相等;

(5)偶函数的图像关于y轴对称;
(6)垂直于同一个平面的两个平面平行.

下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和 结论之间分别有什么关系?

(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;
(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数; 命题 (1) 和 (2) 叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题 , 命题 (1) 和 (4) 叫做互为逆否命题 . 其中一个命题叫做原 命题(1)和(3)叫做互否命题 .其中一个命题叫做原命题, 另一个叫做原命题的逆命题 . 命题 ,另一个叫做原命题的逆否命题 . 另一个叫做原命题的否命题 . 如果原命题为 如果原命题为 如果原命题为 那么它的逆否命题为 那么它的否命题为 那么它的逆命题为 “若 “若 p, p, 则 则 q”, q”, “若 p, 则 q”, “若┓ “若┓ q, p, 则┓ 则┓ q”. “若q, 则 p”. p”.
原命题与其逆 原命题与其逆 原命题与其否 命题的真假是 否命题的真假 命题的真假是 否存在相关性 是否存在相关 否存在相关性 呢? 性呢 ? 呢?

1.1.2四种命题
原命题:若p则q. 否命题: 若? p则 ? q. 逆命题: 若q则p. 逆否命题: 若? q则 ? p.

将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出他的 四种形式; 全等的两个三角形一相似

1.1.3四种命题的相互关系
原命题 若 p则 q
互 否 互逆

逆命题 若q则p
互 否

否命题 若非p则非q

互逆

逆否命题 若非q则非p

写出下列四组命题的逆命题、否命题及逆否命题,并判断 四种命题的真假

(1)原命题:若a ? b,则a ? c ? b ? c



(2)原命题:若a ? 0,则ab ? 0
逆命题:若ab ? 0,则a ? 0

逆命题:若a ? c ? b ? c,则a ? b 真

真 假
真 假

真 逆否命题:若a ? c ? b ? c,则a ? b 真
(3)原命题:若x 2 ? 3x ? 2 ? 0,则x ? 2

否命题:若a ? b,则a ? c ? b ? c

否命题:若a ? 0,则ab ? 0 假

逆否命题:若ab ? 0,则a ? 0

假 逆命题:若x ? 2,则x 2 ? 3x ? 2 ? 0 真 否命题:若x 2 ? 3x ? 2 ? 0,则x ? 2 真

(4)原命题:若a ? b,则ac ? bc
逆命题:若ac ? bc,则a ? b 否命题:若a ? b,则ac ? bc

逆否命题:若x ? 2,则x 2 ? 3x ? 2 ? 0



逆否命题:若ac ? bc,则a ? b

假 假 假

四组命题的真值表:

问题汇总

( 1)

( 2 ) ( 3) ( 4)

原命题 逆命题 否命题

真 真 真

真 假 假

假 真 真

逆否命题







假 结论一: (1)互为逆否的一对命题,同真假 假 (2)互逆的一对命题,不一定同真假 假 (3)互否的一对命题,不一定同真假 假

结论二: 1、原命题为真,它的逆命题不一定为真 2、原命题为真,它的否命题不一定为真

3、原命题为真,它的逆否命题一定为真

例练结合

例1、判断下列说法是否正确。

(1)一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真; 正确 (2)一个命题的否命题为真,它的逆命题不一定为真。

错误

例2、设原命题为:当c>0时,若a >b,则ac >bc。写出它的 逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假。 解:逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b 否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc 逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b 真 真 真

练习 1.如果一个命题的逆命题是真命题,那么这个命题的否命题是( )A A. 真命题 B. 假命题 C. 不一定是真命题 D. 不一定是假命题.

2. 命题“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是 D(
A. a,b都不是奇数,则a+b是偶数 B. a+b是偶数 ,则a,b都是奇数 C. a+b是偶数 ,则a,b都不是奇数 D. a+b不是偶数,则a,b不都是奇数;

)

3.下列说法中错误的一项是(C )
A. 一个命题的原命题为真,它的逆命题不一定为真;

B. 一个命题的原命题为假,它的否命题不一定为真;
C. 一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为假; D. 一个命题的原命题为真,它的逆否命题一定为真.

4.下列说法 (1)四种命题中真命题的个数一定是偶数; (2) 若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题不一定是真命 题 (3) 逆命题与否命题之间是互为逆否关系; (4) 若一个命题的逆否命题是假命题,则它的逆命题与否命题都

是假命题.

其中正确的个数有( A. 1个

B

) C. 3个 D. 4个

B. 2个

5.下列命题:
①“等边三角形的三内角均为60o”的逆命题; ②“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;

③“全等三角形的面积相等”的否命题;
④“若ab≠0,则a≠0”的否命题. 其中真命题的个数是( A.0个

C)
C. 2个 D. 3个

B. 1个

课堂小结

1、命题的概念 2、能指出命题的条件和结论 3、四种命题形式:
原命题:若p则q. 否命题: 若? p则 ? q.

让我想一 想

逆命题: 若q则p.

逆否命题: 若? q则 ? p.

4、四种命题的相互关系及其真假判断

问题汇总 原命题
逆命题

(1) (2) (3) (4) 真











否命题
逆否命题














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