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2011届高考数学最后一卷20

时间:2011-05-27


月高三综合测试( 广东省珠海市 2011 年 5 月高三综合测试(二) 理科数学试题
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知 A = {x | log 2 x > 1} ,函数 f ( x) = A. φ B. (?∞ ,3)

1 的定义域为 B 则 A ∩ B = 3? x
C. (2,3)

D. (2, +∞ )

2.设正项等比数列 {an } , {lg an } 成等差数列,公差 d = lg 3 ,且 {lg an } 的前三项和为 6 lg 3 , 则 {an } 的通项为 A. n lg 3 B. 3
n

C. 3n

D. 3

n?1

3.已知直线 a、b 和平面 M,则 a // b 的一个必要不充分条件是 A. a // M ,b // M B. a ⊥ M ,b ⊥ M C. a // M ,b ? M D. a、b 与平面 M 成等角 x x 4.函数 y = a (0 < a < 1) 的图象的大致形状是 x

A B C D.

. . .

5. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 B1C1 的中点, AB = a , AD = b , DE = c ,则 BD1 = A. ?2a +

3 b+c 2

B. ? a +

1 b+c 2

C. a + b + c

D. a ?

1 b+c 2

?x ? y + 1 ≤ 0 6.如果实数 x, y 满足: ? x + y ? 2 ≤ 0 ,则目标函数 z = 4 x + y 的最大值为 ? ?x + 1 ≥ 0 ?
A.2 B.3 C.

7 2

D.4

7. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地区为危 险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为( ) A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时

8.对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整数,例如[2]=2; [ 2.1 ]=2;[ ? 2.2 ]= ? 3 , 这个函数[ x ]叫做“取整函数” ,它在数学本身和生产实践中有广泛的应 用。那么 [log 2 1] + [log 2 2] + [log 2 3] + [log 2 4] + ? + [log 2 64] 的值为( )

A.21 B.76 C. 264 D.642 填空题: 小题, 14~ 题是选做题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选 做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9. ?ABC 中, AB = 2 2 , BC = 5 , A = 45 , ∠B 为 ?ABC 中最大角, D 为 AC 上一点,
0

AD =

1 DC ,则 BD = 2



10.调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表: 晚上 雄性 雌性 白天

20 9

10
21

从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________. 参考公式: K =
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n = a + b + c + d (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841
开始

P K 2 ≥ k0

(

)

0.025 5.024

0.010 6.635

k0

11.



3

0

9 ? x 2 dx 的值等于____________.

12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果是____________.

f ( x) = sin x

13.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号 为 1, 2, ? , 9 的 9 个小正方形(如下图) , 使得任意相邻(有公共边的)小正方形 所涂颜色都不相同,且标号为“ 1 、 5 、 9 ” 的小正方形涂相同的颜色,则符合条件 的所有涂法共有 种. 1 4 7 2 5 8 3 6 9

k =0 k ≥ 2011?
否 是

f ( x) = f ′( x) k = k +1

输出f ( x) 结束

14. 几何证明选讲选做题)如图所示,AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径,CD 是圆 O 的弦,BA, (几何证明选讲选做题) DC 的延长线交于点 P, 若 PA=4,PC=5,则 ∠CBD = ______.

15.(坐标系与参数方程选做题)圆心的极坐标为 C (3 , ) ,半径为 3 的圆的极坐标方程 (坐标系与参数方程选做题)

π

6





解答题: 小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 已知函 f ( x) = sin(ω x + ? ) (ω > 0,| ? |< π ) 的部分图象如图所示: (1)求 ω , ? 的值; (2)设 g( x) = 2 2 f ( ) f ( ?

x 2

x π π ) ? 1 ,当 x ∈ [0, ] 时,求函数 g ( x) 的值域. 2 8 2

17.(本小题满分 12 分) 有5个大小重量相同的球,其中有3个红球2个蓝球,现在有放回地每次抽取一球,抽到一个 红球记1分,抽到一个蓝球记 ?1 分. (1) ξ 表示某人抽取3次的得分数,写出 ξ 的分布列,并计算 ξ 的期望和方差; (2) 若甲乙两人各抽取3次, 求甲得分数恰好领先乙2分的概率. 18.(本小题满分 14 分)

0) 0) 在平面直角坐标系中,点 A(1, 、 B ( ?1, ,已知 | CA |= 2 2 ,
BC 的垂直平分线 l 交 AC 于 D ,当点 C 动点时, D 点的轨迹图形 设为 E . (1)求 E 的标准方程;
(2)点 P 为 E 上一动点,点 O 为坐标原点,设 PA
2

= 1 + λ PO ,求 λ 的最大值.
2

19.(本小题满分 14 分) 如图(1) C 是直径 AB = 2 的 ⊙O 上一点, AD 为 ⊙O 的切线, A 为切点, ?ACD 为等边 , 三角形,连接 DO 交 AC 于 E ,以 AC 为折痕将 ?ACD 翻折到图(2)的 ?ACP 位置. (1)求证异面直线 AC 和 PO 互相垂直; (2)若三棱锥 P ? ABC 的体积为

6 ,求二面角 A ? PC ? B 的正弦值. 6

20.(本小题满分 14 分)设数列{an}为前 n 项和为 Sn,数列{bn}满足:bn =nan,且数列

{bn}的前 n 项和为(n-1)Sn+2n (1)求 a1,a2 的值;

(n∈N*).

(2)求证:数列{ Sn +2}是等比数列; (3)抽去数列{an}中的第 1 项,第 4 项,第 7 项,……,第 3n-2 项,余下的项顺序不 变,组成一个新数列{cn},若{cn}的前 n 项和为 Tn,求证: 12 Tn+1 11 5 < Tn ≤ 3

21. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x ) =

1 2 1 1 x ? (1 + 2 ) x + ln x , a ∈ R . 2a a a

(1)当 a = ?1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a > 0 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (3) g ( x ) = b x ? 3 x +
2 2

1 ln 2 ,当 a = 2 ,1 < x ≤ 3 时, g ( x) > f ( x) 恒有解,求 b 的取值范围. 2

珠海市 2011 年 5 月高三二模考试 理科数学试题答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知 A = {x | log 2 x > 1} ,函数 f ( x) = A. φ B. (?∞ ,3)

1 的定义域为 B 则 A ∩ B = ( 3? x
C. (2,3)

)C

D. (2, +∞ )

2.设正项等比数列 {an } , {lg an } 成等差数列,公差 d = lg 3 ,且 {lg an } 的前三项和为 6 lg 3 , 则 {an } 的通项为 B A. n lg 3 B. 3
n

C. 3n

D. 3

n?1

3.已知直线 a、b 和平面 M,则 a // b 的一个必要不充分条件是( A. a // M ,b // M B. a ⊥ M ,b ⊥ M C. a // M ,b ? M D. a、b 与平面 M 成等角 x xa 4.函数 y = (0 < a < 1) 的图象的大致形状是( ).D x y y y 1 O -1 A. A. x 1 O -1 B. x 1 O -1 C.

)D

y 1 x O -1 D. x

5. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 B1C1 的中点, AB = a , AD = b , DE = c ,则 BD1 = A A. ?2a +

3 b+c 2

B. ? a +

1 b+c 2

C. a + b + c

D. a ?

1 b+c 2

?x ? y + 1 ≤ 0 6.如果实数 x, y 满足: ? x + y ? 2 ≤ 0 ,则目标函数 z = 4 x + y 的最大值为 C ? ?x + 1 ≥ 0 ?
A.2 B.3 C.

7 2

D.4

7. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地区为危 险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为( ).B A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时

8.对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整数,例如[2]=2; [ 2.1 ]=2;[ ? 2.2 ]= ? 3 , 这个函数[ x ]叫做“取整函数” ,它在数学本身和生产实践中有广泛的应 用。那么 [log 2 1] + [log 2 2] + [log 2 3] + [log 2 4] + ? + [log 2 64] 的值为( )C

A.21 B.76 C. 264 D.642 填空题: 小题, 14~ 题是选做题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选 做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9. ?ABC 中, AB = 2 2 , BC = 5 , A = 45 , ∠B 为 ?ABC 中最大角, D 为 AC 上一点,
0

AD =

1 DC ,则 BD = 2

5.

10.调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表: 晚上 雄性 雌性 白天

20 9

10
21

从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________.99% 参考公式: K =
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n = a + b + c + d (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
0.25 1.323 0.15 2.072 9π 4 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024
开始

P K 2 ≥ k0

(

)

0.010 6.635

k0

11.



3

0

9 ? x 2 的值等于____________.

12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果是____________. ? cos x .

f ( x) = sin x

k =0 k ≥ 2011?
否 是

f ( x) = f ′( x) k = k +1
13.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1, 2, ? , 9 的 9 方形(如右图) , 使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同, 为“ 1 、 5 、 9 ” 1 4 7 2 5 8 3 6 9

输出f ( x) 结束

个小正

且标号

的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有

种.

108

14. 几何证明选讲选做题)如图所示,AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径,CD 是圆 O 的弦,BA, (几何证明选讲选做题) DC 的延长线交于点 P, 若 PA=4,PC=5,则 ∠CBD = ______

π
6

D C B O A P

15.(坐标系与参数方程选做题)圆心的极坐标为 C (3 , ) ,半径为 3 的圆的极坐标方程是 (坐标系与参数方程选做题)

π

ρ = 6 cos(θ ? )
6
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 本小题满分 12 分) (本小题满分 . ( 已知函 f ( x) = sin(ω x + ? ) (ω > 0,| ? |< π ) 的部分图象如图所示: (1)求 ω , ? 的值; (2)设 g( x) = 2 2 f ( ) f ( ?

π

6

x 2

x π π ) ? 1 ,当 x ∈ [0, ] 时,求函数 g ( x) 的值域. 2 8 2

16.解:(1)由图象知: T = 4( .

π

π 2π ? ) = π ,则: ω = = 2 ,……………2 分 2 4 T

由 f (0) = ?1 得: sin ? = ?1 ,即: ? = kπ ? ∵ | ? |< π ∴

π

? =?

π
2

2

(k ∈ z ) ,…………………4 分



………………………………………6 分

(2)由(1)知: f ( x ) = sin(2 x ?

π
2

) = ? cos 2 x ,……………………………7 分

∴ g( x ) = 2 2 f ( ) f ( ?

x 2

x π π ) ? 1 = 2 2(? cos x)[? cos( x ? )] ? 1 2 8 4

= 2 2 cos x[

2 (cos x + sin x)] ? 1 = 2 cos 2 x + 2sin x cos x ? 1 2

= cos 2 x + sin 2 x = 2 sin(2 x + ) ,………………………………………10 分 4
当 x ∈ [0,

π

π
2

] 时, 2 x +

π

π 5π π 2 ∈ [ , ] ,则 sin(2 x + ) ∈ [? ,1] , 4 4 4 4 2

∴ g ( x ) 的值域为 [ ?1, 2] 。………………………………………………12 分 17.(本小题满分 12 分) 有5个大小重量相同的球,其中有3个红球2个蓝球,现在有放回地每次抽取一球,抽到一个 红球记1分,抽到一个蓝球记 ?1 分. (1) ξ 表示某人抽取3次的得分数,写出 ξ 的分布列,并计算 ξ 的期望和方差; (2)若甲乙两人各抽取3次,求甲得分数恰好领先乙2分的概率. 解: (1) ξ = 3 ,, 1, 3 ,其分布列为 1 ? ?

ξ
P (4 分)

3

1

?1
36 125

?3 8 125

27 125

54 125

27 54 36 8 3 + 1× + (?1) × + (?3) × = (5 分) 125 125 125 125 5 3 2 27 3 2 54 3 36 3 8 ξ 的方差是 Dξ = (3 ? ) × + (1 ? ) × + ( ?1 ? ) 2 × + ( ?3 ? ) 2 × 5 125 5 125 5 125 5 125 72 = (6 分) 25 3 72 答: ξ 的期望是 , ξ 的方差是 (7 分) 5 25 (2)若“甲得分数恰好领先乙2分”为事件 A ,包含以下三个基本事件,即甲得 3 分乙得 1 分、 甲得 1 分乙得 ?1 分或甲得 ?1 分乙得 ?3 分, (9 分) 27 54 54 36 36 8 738 则 P ( A) = × + × + × = (11 分) 125 125 125 125 125 125 3125 738 答:甲得分数恰好领先乙2分的概率是 (12 分) 3125

ξ 的期望是 Eξ = 3 ×

18.(本小题满分 14 分)

0) 0) 在平面直角坐标系中,点 A(1, 、 B ( ?1, ,已知 | CA |= 2 2 , BC 的垂直平分线 l 交 AC 于

D ,当点 C 动点时, D 点的轨迹图形设为 E
(1)求 E 的标准方程;

x2 + y2 = 1 2
2

(2)点 P 为 E 上一动点,点 O 为坐标原点,设 PA 解: (Ⅰ) .设 D ( x ,y )

= 1 + λ PO ,求 λ 的最大值.
2

∵ l 是 BC 的垂直平分线,

∴ | DB |=| DC | ∴ | DB | + | DA |=| AC |= 2 2 > 2 =| AB | ∴ D 点的轨迹图形 E 是 A、B 为焦点的椭圆 (3 分)
其中 2a = 2 2 , c = 1 ,

∴ a = 2 , b2 = a2 ? c2 = 1

(5 分)

x2 ∴ D 点的轨迹图形 E : + y 2 = 1 2
(Ⅱ)设 P ( x, y ), x ∈ ? 则 PO
2

(7 分)

[

2, 2 ,

]

= x 2 + y 2 , (8 分)
(9 分)

PF

2

= ( x ? 1) 2 + y 2
2

λ=

PA ? 1 PO
2

=

( x ? 1) 2 + y 2 ? 1 x 2 ? 2 x + y 2 2x = = 1? 2 2 2 2 2 x +y x +y x + y2

(10 分)

点 P ( x, y ) 满足

x2 x2 + y 2 = 1 ,∴ y 2 = 1 ? , (11 分) 2 2
= 1? 4x x +2
2

λ = 1?

2x

x +1 2

2

(12 分)

当 x ≥ 0 时, λ ≤ 1 当 x < 0 时,设 t = ? x ,则 t ∈ (0, 2 , λ = 1 +

]

4t 4 = 1+ (13 分) 2 t +2 t+ t
2

因为 t +

2 ≥ 2 2 ,所以 λ ≤ 1 + 2 , t

当且仅当 t =

2 时,即 x = ? 2 时, λ 取得最大值 1 + 2 . (14 分)
线, 折

19.(本小题满分 14 分) 如图(1) C 是直径 AB = 2 的 ⊙O 上一点, AD 为 ⊙O 的切 ,

A 为切点,?ACD 为等边三角形,连接 DO 交 AC 于 E ,以 AC 为 痕将 ?ACD 翻折到图(2)的 ?ACP 位置. (1)求证异面直线 AC 和 PO 互相垂直;
(2)若三棱锥 P ? ABC 的体积为 值.

6 ,求二面角 A ? PC ? B 的正 6



(1)证明:等边三角形 ?ACD 中 AD = DC , AD 为 ⊙O 的切线, A 为切点, 以 AC 为折痕将 ?ACD 翻折到图(2)的 ?ACP 位置时, PE ⊥ AC , OE ⊥ AC (2 分) ∴ AC ⊥ 平面 PEO (4 分) ∴ AC ⊥ PO (5 分) (2)解:在图(2)中,过 P 作 PK ⊥ EO 于 K ,连接

∴ DO ⊥ AC 且 E 为 AC 中点





KA、KB 、KC ,

∵ AC ⊥ 平面 PEO ∴ AC ⊥ PK ∴ PK ⊥ 平面 ⊙O (7 分) ∵ PA = PC ∴ KA = KC ∵ 图(1)中 ∠DAC = 600 , AB = 2 为 ⊙O 的直径, AD 为 ⊙O 的切线, A 为切点,

∴ Rt ?ACB 中, AC = AD = DC = AP = PC = 3 , BC = 1 ∴ VP ? ABC = ? AC ? BC ? PK = ∴ PK = 2 ∴ KA = KC = 1 ∴ K 、O 重合 ∴ PO ⊥ 平面 ⊙O (10 分) ∴ PA = PB = PC = 3 , OA = OB = OC = BC = 1
过 B 作 BF ⊥ 平面 PAC 于 F ,过 B 作 BG ⊥ PC 于 G ,连接 FG 则 PC ⊥ 平面 BFG ,

1 1 3 2

3 6 PK = (8 分) 6 6

∴ FG ⊥ PC ∴ ∠BGF 就是二面角 A ? PC ? B 的平面角(11 分)
由三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC =

6 1 1 3 ( 3) 2 BF = BF ? S ?PAC = ? 6 3 3 4

得 BF =

2 2 (12 分) 3 33 6

等腰三角形 PBC 中, BG =

2 2 BF 4 66 ∴ sin ∠BGF = = 3 = 33 BG 33 6

∴二面角 A ? PC ? B 的正弦值的正弦值为

4 66 . (14 分) 33

20.(本小题满分 14 分)设数列{an}为前 n 项和为 Sn,数列{bn}满足:bn =nan,且数列

{bn}的前 n 项和为(n-1)Sn+2n (1)求 a1,a2 的值;

(n∈N*).

(2)求证:数列{ Sn +2}是等比数列; (3)抽去数列{an}中的第 1 项,第 4 项,第 7 项,……,第 3n-2 项,余下的项顺序不

变,组成一个新数列{cn},若{cn}的前 n 项和为 Tn,求证: 12 Tn+1 11 < ≤ 。 5 Tn 3 解:(1)由题意得:a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1) Sn +2n; 当 n=1 时,则有:a1=(1-1)S1 +2,解得:a1=2; 当 n=2 时,则有:a1+2a2=(2-1)S2 +4,即 2+2a2=(2+a2)+4,解得:a2=4。 分) (3 (2)由 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn +2n,……① 得 ②

a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1= n Sn+1+2(n+1) , ②-①得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2, 分) (4

即 (n+1)(Sn+1- Sn)= nSn+1-(n-1)Sn+2,得 Sn+1=2Sn+2; ∴ Sn+1+2=2(Sn+2), 分) (5 由 S1+2= a1+2=4≠0 知 数列{ Sn +2}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列。 分) (6 (3)由(2)知 Sn +2=4×2n-1-2=2n+1-2, 当 n≥2 时,an= Sn- Sn-1 =(2n+1-2)-( 2n-2)= 2n 对 n=1 也成立,即 an= 2n, ∴数列{cn}为 22,23,25,26,28,29,……,它的奇数项组成以 4 为首项,公 比为 8 的等比数列;偶数项组成以 8 为首项、公比为 8 的等比数列; 分) (8 ∴当 n=2k-1(k∈N*)时, Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k-2) =(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k-3) 4(1-8k) 8(1 ? 8k ?1 ) 5 12 = + = 7 ×8k- 7 , 1-8 1? 8 5 12 12 12 Tn+1= Tn+cn+1= 7 ×8k- 7 +23k= 7 ×8k- 7 , 分) (9 12×8k-12 Tn+1 = Tn 5×8k-12 = 12 84 + (10 分) 5 5(5×8k-12) ,

12 Tn+1 ∵ 5×8k-12≥28,∴ 5 < T ≤3。 (11 分)
n

∴当 n=2k (k∈N )时,

*

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k)

=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k) 4(1-8k) 8(1-8k) 12 12 = + = ×8k- , (12 分) 7 1-8 1-8 7 12 40 12 12 Tn+1= Tn+cn+1= 7 ×8k- 7 +23k+2= 7 ×8k- 7 , (13 分) Tn+1 ∴ T = n ∴ 40×8k-12 12×8k-12 = 10 7 10 Tn+1 11 k 3 + 3(8k-1) ,∵8 -1≥7 ,∴ 3 < Tn < 3 ,

12 Tn+1 11 < ≤ 。 (14 分) 5 Tn 3

21. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x ) =

1 2 1 1 x ? (1 + 2 ) x + ln x , a ∈ R . 2a a a

(1)当 a = ?1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a > 0 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (3) g ( x ) = b x ? 3 x +
2 2

1 ln 2 ,当 a = 2 ,1 < x ≤ 3 时, g ( x) > f ( x) 恒有解,求 b 的取值范围. 2

解:

1 1 1 x ?1 ? 2 + a a ax 1 1 1 1 = [ x 2 ? (a + ) x + 1] = ( x ? a )( x ? ) ax a ax a 由题设知 x > 0 1 (a + 1)(a ? 1) a? = a a f ' ( x) =
'

(3 分)

(1) a = ?1 时, f ( x) < 0 ,则 f ( x ) 的单减区间是 (0 , ∞ ) + (2) ① 0 < a < 1 时, a ? 减 (5 分)

(4 分)

1 1 1 1 < 0 ,即 0 < a < ,则 f ( x) 在 (0 , ) 和 ( , ∞) 上单增,在 (a , ) 上单 a + a a a a

1 = 1 , f ' ( x) ≥ 0 ,则 f ( x) 在 (0 , ∞) 上单增 (6 分) + a 1 1 1 1 ③ a > 1 时, a ? > 0 即 0 < < a ,则 f ( x ) 在 (0 , ) 和 ( a , ∞ ) 上单增,在 ( , ) 上单减 + a a a a a
② a = 1 时, a = (7 分) (3)由(2)知, a = 2 , 1 < x ≤ 3 时,

当 x = 2 时 f ( x ) 得到最小值为 f (2) = ?

3 1 + ln 2 2 2 1 2

(9 分)

∴ 1 < x ≤ 3 时, g ( x) > f ( x) 恒有解,需 b 2 x 2 ? 3x + ln 2 > ? + ln 2 在1 < x ≤ 3 时有解
1 1 2 1 ( ) + ] 有解, (10 分) 2 x x 1 1 1 2 1 令 t = ∈ [ , , k (t ) = ? t + t t ∈ [ , , 1) 1) x 3 2 3 1 k ' (t ) = 1 ? t > 0 ∴ k (t ) 在 t ∈ [ , 上单增 1) 3 5 1 3 ∴ = k ( ) ≤ k (t ) < k (1) = (12 分) 6 3 2
即 b > 3[ ?
2

3 2

1 2

∴需 b 2 >

5 30 30 ,即 b < ? 或b > 6 6 6

∴ b 的范围是 (?∞ , ?

30 30 )∪( , ∞) + 6 6

(14 分)

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