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用二分法求方程的近似解


二分法的概念及其应用
固原市回民中学

戴勇毅
2015年9月16日

教学目标:
? 1.理解二分法的概念及其思想; ? 2.会用二分法的概念及其思想方法求方程 的近似解,通过二分法求方程的近似解使学 生加强函数与方程思想、数形结合思想、 数学逼近思想的应用 ; ? 3.培养学生动手操作的能力,通过探究、

展示、交流,养成良好的学习品质,增强 学生合作意识。

重点、难点
? 1、二分法原理及其探究过程,用二分法求 方程的近似解 ? 2、对二分法原理的探究,对精确度、近似 值的理解

教学方法与教学手段
? 教学方法:“问题驱动”和启发探究式教 学方法 ? 学法指导: 分组合作、互动探究、搭建平 台、分散难点 ? 教学手段: 小黑板、计算机、投影仪、计 算器

复习旧知
? 复习提问:什么叫函数的零点?零点存在性 定理是什么?
方程f(x)=0有实数根 ? 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 ? 函数y=f(x)有零点
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b), 使得f(c )=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

研讨新知
(一) 设置情景、提出问题
(1) 2 x ? 3 ? 0 (2) x (3) 2
x

问题: 下列方程中,你会求哪些方程的解? 2

? 2x ? 3 ? 0
x?3

?4

(4) log2

(5)lnx+2x-6=0
求方程lnx+2x-6=0的近似解等价于求函数y=lnx+2x-6零点的近似值

研讨新知
(二) 互动探究,获得新知
? 求函数y=lnx+2x-6在区间(2,3)上零点 的近似值(精确度0.01)

研讨新知
(二) 互动探究,获得新知
创设情境 1、游戏名:高了低了 2、游戏规则:本环节设置了八个百元价位左右(50元至150元之间)的商品。 双人游戏,选手按照点名顺序进行游戏。每人30秒,首先选手要选择编号1-8 的商品,之后猜价格,主持人会给高了、低了的提示,直到帮助选手猜出正 确价格(价格上下不超过5元也为正确)为止。之后继续选择,以此类推,直 到30秒时间到为止。 3、情景模拟(由师生完成) 根据情景模拟回答下列问题: (1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用? (2)如何猜才能最快猜出商品的价格?(提示:取中点) (3)区间缩小到什么程度满足要求?

研讨新知
(二) 互动探究,获得新知
(4)方法思想
猜价格
1、取范围中点
2、判断价格刚好、高了、低了

求函数零点的近似值 1、取区间(a,b) 的中点
2、判断中点的函数值等于0、大于0、小于0

3、确定缩小后的范围 3、确定中点哪一侧为零点所在的区间
4、判断是否在误差范围之内 4、判断是否达到精确度( a ? b

?? )

研讨新知
(二) 互动探究,获得新知
? 例2、求函数y=lnx+2x-6在区间(2,3)上 零点的近似值(精确度0.01) 提示:资料已经给出解题步骤,讨论学 习后分析讲解例题。

例 根据下表计算函数 f ( x ) ? lnx ? 2x ? 6

在区间(2,3)内精确到0.01的零点近似值?

区间(a,b)
(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875) (2.531 25,2.539 062 5)

中点值m

2.5 2.75 2.625 2.562 5 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5 2.535 156 25

f(m)的 精确度|a-b| 近似值 -0.084 1 0.512 0.5 0.215 0.25 0.066 0.125 -0.009 0.0625 0.029 0.03125 0.01 0.015625 0.001 0.007813

∵ |a-b| =0.007813<0.01

∴c≈2.53125

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归纳概念
对于在区间[a,b]上连续不断,且f (a)f (b)<0 的函数y=f (x),通过不断地把函数f(x)的零 点所在的区间一分为二,使区间的两个端 点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法。

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(三) 例题剖析,巩固新知
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程

2 ? 3x ? 7的近似解(精确到0.01)
x

要求:两人一组,一人用计算器求值,一人记 录结果;学生讲解缩小区间的方法和过程,教 师点评.

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(四) 知识迁移,应用生活
从大陆福州至台湾淡水的海底电缆有15 个接点,现在某接点发生故障,需及时修 理,为了尽快断定故障发生点,一般至少 需要检查接点的个数为 个

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(五) 检验成果,深化理解
练习: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用 二分法求其零点的是 (C) y
0
A

y

y

y

x

0
B

x

0
C

x

0

D

x

y=f (x)满足 f (a)f (b)<0,则在(a,b)内必有零点

? 1.学习掌握二分法的概念及其思想; ? 2.会用二分法的概念及其思想方法求方程的 近似解; ? 3. 函数与方程思想、数形结合思想、数学 逼迫思想的运用 ;

课外作业
总结:用二分法求函数零点的近似值的步骤
1、确定区间[a,b],验证f(a)*f(b)<0,给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点x1

3、计算f(x1); (1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 (2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))
(3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b)) 4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b);否则得复2~4

制作人:戴勇毅
制作单位:固原市回民中学


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