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高中数学教案 必修1 第八讲:对数函数


博途教育学科教师辅导讲义(一)
学员姓名: 辅导科目:数 课 题 学 第七讲:对数函数 年 级:高 一 日期: 时间: 学科教师:刘云丰

授课日期 1、初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型; 教学目标 2、能够画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 教学内容

对数函数
〖教学

重点与难点〗
◆教学重点:掌握对数函数的图象和性质。 ◆教学难点:对数函数的定义,对数函数的图象和性质及应用。

〖教学过程〗

[来源:Zxxk.Com]

一、对数的运算性质
1.提出问题,导入新课: 根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题: 1 ○ 2 ○ 设 log a 2 ? m , log a 3 ? n ,求 a m ? n ; 设 log a M ? m , log a N ? n ,试利用 m 、 n 表示 log a ( M · N ) .

运算性质: 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○
log a ( M

· N ) ? log a M + log a N ;

-1-

2 ○ 3 ○

log

M
a

? log

N

a

M

- log a N ;

log

a

M

n

? n log

a

M

(n ? R ) .

2.换底公式
log b ? log log
c c

b a

a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) .

学生活动 1 ○ 2 ○ 根据对数的定义推导对数的换底公式.

利用换底公式推导下面的结论 (1) log
b
n

a

m

?

n m

log

a

b



(2) log a b ?

1 log
b


a

3.课堂练习 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 知 lg 2 ? 0 . 3010 , lg 3 ? 0 . 4771 , 试求:lg 12 的值。

求: lg 2 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 5 的值。

a ? b ? lg 2 ? lg 5 ? 3 lg 2 ? lg 5,试求: 3 ab ? a ? b 的值。
3 3 3 3

设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log 5 12

-2-

二、对数函数
(一)情境引入 最近两年,我们国家发生地震的次数非常多,带来的灾害更是让人感到深痛.由于地震的震级 不同,带来的破坏性也就不同的.那怎样来测地震的震级的呢? 20 世纪 30 年代,里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量 的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.就是我们常说的里氏震级 M ,其计算 公式为 M ? lg A ? lg A0 .其中 A 是被测地震的最大振幅, A 0 是“标准地震”的振幅. 根据对数的运算性质将 M ? lg A ? lg A0 变为 M ? lg 若设
A A0 A A0

.在这里都有唯一确定的 M 与

A A0

对应.

? x

,则 M ? lg x .称 M 为 x 的函数.这是什么函数呢?这就是今天我们要学习的对数函数.

(二)探究新知 1.定义
-3-

函数 y ? lo g a x ( a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数.其中 x 是自变量,函数的定义域是 (0, ? ? ) . 提问: 在对数函数的定义中,为什么其定义域为 (0, ? ? ) ? (前面学习的对数里规定真数必须大于 0) 例 1 求下列函数定义域: (1) y ? log a x 2 ; (2) y ? lo g a ( 4 ? x ) .
? 0

解: (1)由对数函数的定义域知 x 2 ? 0 ,解出 x (2)由对数函数的定义域知 ( 4 ? x ) ? 0 ,解出 x 2. 图象与性质 提问:同学们想到用什么方法来作图?

.所以所求定义域为 { x | x ? 0} .所以所求定义域为 { x | x ? 4} .

? 4

请同学们完成以 y ? log 2 x 的图象,再完成以 y ? lo g 1 x 的图象.
2

请同学们用描点法来画函数 y ? log 2 x 的图象.我们先完成下表: 1)列表
x

.. . …

1 4

1 2

1 0

2 1

4 2

… …

y

-2

-1

2) 描点 3)连线

-4-

画好函数 y ? log 2 x 的图象后,同学怎样来画的函数 y ? lo g 1 x 呢?我们看函数 y ? lo g 1 x 是不
2 2

是可以用换底公式 lo g a b ?

lo g c b lo g c a

将函数 y ? lo g 1 x 化为 y ? ? log 2 x ?
2

函 数 y ? log 2 x 与 函 数 y ? ? log 2 x 的 图 象 是 关 于 x 轴 对 称 的 . 所 以 我 们 就 可 以 画 出 函 数
y ? lo g 1 x
2

的图象. 现在我们再来画函数 y ? lo g 3 x 与 y ? lo g 1 x 的大致图象.
3

画好后请同学们观察所画的全部图象,你能够归纳总结出对数函数 y ? log a x ( a ? 0 ,且 a ? 1) 的图象和性质吗?(提示:可以根据类比指数函数来学习) 请同学来回答他所看出的函数图象有些什么特征? 请同学们回答函数具有哪些基本性质? (回答:单调性、奇偶性、最值)根据这些性质,我们一一来讨论对数函数 y ? log a x ( a ? 0 , 且 a ? 1) 的性质: 1.单调性:当 0 ? a ? 1 时,在 (0, ? ? ) 上是减函数:当 a
-5-

? 1 时,在 (0, ? ? ) 上是增函数.

2.奇偶性:非奇非偶. 3.最值:无最大值也无最小值. 一般地,对数函数 y ? log a x ( a ? 0 ,且 a ? 1) 的图象与性质如下表所示:

0 ? a ?1

a ?1

图象

定义域 值域

(0, ? ? )
R

(0, ? ? )
R

性质

(1)过定点 (1, 0) (2)在 (0, ? ? ) 上是减函数

(1)过定点 (1, 0) (2)在 (0, ? ? ) 上是增函数

例 2 比较下列各组数中两个值的大小: (1) lo g 2 3 .4 , lo g 2 8 .5 ; (2) lo g 0 .3 1 .8 , lo g 0 .3 2 .7 .

解: (1)分析:两个对数函数底数相同,构造以 2 为底的对数即 y ? log 2 x ,由函数的性质知该 函数为单调递增的.解题步骤如下: 因为函数 y ? log 2 x 在 (0, ? ? ) 上是增函数,且 3 .4 ? 8 .5 ,所以 lo g 2 3 .4 ? lo g 2 8 .5 ; (2)仿照(1)的分析做此题.

-6-

因为函数 y ? lo g 0 .3 x 在 (0, ? ? ) 上是减函数且, 1 .8 ? 2 .7 ,所以 lo g 0 .3 1 .8 ? lo g 0 .3 2 .7 .

(三)巩固练习 比较 lo g a 5 .1 与 lo g a 5 .9 的大小,其中 ( a ? 0 ,且 a ? 1) .

(四)总结提炼 对数函数的定义,图象与性质.并着重强调数形结合来记忆对数函数的性质.并将上表中相同 的性质归纳到一起.变为下表:

0 ? a ?1
图象

a ?1

-7-

定义域 值域

(0, ? ? )
R

性质

恒过定点 (1, 0 )

在 (0, ? ? ) 上是减函数

在 (0, ? ? ) 上是增函数

三、本课小结
本节课我们学习了哪些内容呢? 1.对数的运算性质和换底公式及换底公式的应用; 2.对数函数的定义; 3.对数函数的图像及其基本性质。

四、课后练习
一、选择题 1.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是 A.y=2|x| C.y=2x+2-x B.y=lg(x+ D.y=lg 1 ( )

x2+1)

x+1

解析:依次根据函数奇偶性定义判断知,A,C 选项对应函数为偶函数,B 选项对应函
-8-

数为奇函数,只有 D 选项对应函数定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数. ?1? ? ? 2.若 log2a<0,? ?b>1,则 ?2? A.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 B.a>1,b<0 D.0<a<1,b<0 ( )

?1? ? ? 解析:由 log2a<0?0<a<1,由? ?b>1?b<0. ?2? 2 3.设 f(x)=lg( +a)是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是 1-x A.(-1,0) C.(-∞,0) B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) ( )

解析:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴a=-1. ∴f(x)=lg

x+1
1-x

,由 f(x)<0 得,0<

x+1

<1, 1-x

∴-1<x<0. ?1? 1 11 ? ? 4.设 a=log 2,b=log ,c=? ?0.3,则 3 23 ?2? A.a<b<c C.b<c<a B.a<c<b D.b<a<c ( )

1 1 解析:∵log 2 <log 1=0,∴a<0; 3 3 ∵log 11 11 >log =1,∴b>1; 23 22

?1? ? ? ∵? ?0.3<1,∴0<c<1,综上知 a<c<b. ?2? 5.已知函数 f(x)=ax+logax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga2+6,则 a 的
-9-

值为 1 A. 2 1 B. 4 C.2 D.4





解析:∵函数 f(x)=ax+logax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最值恰为两个端点的值,∴f(1)+f(2)=

a1+loga1+a2+loga2=a+a2+loga2=6+loga2,解得 a=2 或 a=-3(舍去),故应选 C.

二、填空题(本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1 6.计算:[(-4)3] +log525=________. 3 解析:原式=(-4)1+log552=-4+2=-2. 7.(2010·东莞模拟)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范 围是(c,+∞),其中 c=________. 解析:∵log2x≤2,∴0<x≤4.又∵A?B,∴a>4,∴c=4. 8.函数 y=log3(x2-2x)的单调减区间是________. 解析:令 u=x2-2x,则 y=log3u. ∵y=log3u 是增函数,u=x2-2x>0 的减区间是(-∞,0), ∴y=log3(x2-2x)的减区间是(-∞,0).

三、解答题(本题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 2 3 lg 3+ lg 9+ lg 27-lg 5 5 9.求值: lg 81-lg 27 3 .

- 10 -

解:解法一:原式=

4 9 1 lg 3+ lg 3+ lg 3- lg 3 5 10 2 41g 3-3lg 3

? 4 9 1? ? ? ?1+5+10-2?lg 3 11 ? ? = = . ? 4-3? lg 3 5 lg? 解法二:原式= 2 1 3 1 3×9 ×27 × ×3- ? 5 2 5 2 lg 81 27 11 lg 3 5 11 = = . lg 3 5

10.若函数 y=lg(3-4x+x2)的定义域为 M.当 x∈M 时,求 f(x)=2x+2-3×4x 的最值及相应的 x 的值. 解:y=lg(3-4x+x2),∴3-4x+x2>0, 解得 x<1 或 x>3,∴M={x|x<1,或 x>3},

f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2.
令 2x=t,∵x<1 或 x>3,∴t>8 或 0<t<2. ? ∴f(t)=4t-3t2=-3 t- ? ? 由二次函数性质可知: ? 4? ? ? 当 0<t<2 时,f(t)∈?0, ?, 3? ? 当 t>8 时,f(t)∈(-∞,-160), 2 2 4 当 2x=t= ,即 x=log2 时,f(x)max= . 3 3 3 综上可知:当 x=log2 2 4 时,f(x)取到最大值为 ,无最小值. 3 3 ? 2? 4 ?2 + (t>8 或 0<t<2). 3? 3 ?

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