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高二竞赛班第1讲 运动中的描述


第1讲 运动的描述 运动学复习

本讲导学 物理学是用数学描述自然现象的学科。所以的描述中,运动是最基本最常见的。运动的描述,本 质还是物体的描述与空间的描述,本讲系统讲述对描述的数学语言。

知识模块

知识点睛
一.坐标系 1.定坐标系:建立在固定参考物上的坐标系,简称定系。一般将定系固结在地面上。 2.动

坐标系:建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系,简称动系。动系有平动系与转动系之分, 注意区分。注意质点不能成为一个参考系。 二.动点 动点是指相对于定系和动系均有运动的点,如图车轮上的一点 P 作为动点。

三.三种运动及三种速度与三种加速度 1.运动定义: 绝对运动:动点相对于定系的运动,如 P 相对于地面的运动。 相对运动:动点相对动系的运动,如 P 相对于车厢的运动。 牵连运动:动系相对于定系的运动,如行驶的汽车相对于地面的运动。

讲述高端的, 真正的物理学 高二·物理竞赛秋季班·第 1 讲·学生版

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2.关联关系: 1)动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。记为:

va ? ve ? vr
如图:

2)加速度关联比较复杂: A: 如果牵连运动为平动: 动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢 量和。记为:

aa ? ae ? ar
B: 如果牵连运动为转: 动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度以及科 氏加速度的矢量和。记为:

aa ? ae ? ar ? ak
其中科氏加速度

ak ? 2?e ? vr , ak ? 2?e vr sin(?e , vr )
如图:

以上只是物理定义,具体到不同的坐标系中,方程的数学表达会有所不同。我们在以前的课程中 介绍过直角坐标系,极坐标系,自然坐标系。这里再引入另一个坐标系。 附录 1.球坐标 在空间任取一点 O 作为极点,从 O 引两条互相垂直的射线 ox 和 oz 作为极轴,再规定一个长度单位 和射线 ox 绕 oz 轴旋转所成角的正方向, 这样就建立了一个球坐标系.

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球坐标是一种三维坐标。分别有原点、方位角、仰角、距离构成。设 P(x,y,z)为空间内一点, 则点 P 也可用这样三个有次序的数 r,φ,θ 来确定,其中 r 为原点 O 与点 P 间的距离,θ 为有向线 段与 z 轴正向所夹的角,φ 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到有向线段在坐标平面 xoy 的投影 所转过的角,这里 M 为点 P 在 xOy 面上的投影。这样的三个数 r,φ,θ 叫做点 P 的球面坐标,这里 r,φ,θ 的变化范围为 r∈ [0,+∞), 2.立体角 定义:一个任意形状椎面所包含的空间称为立体角。符号:Ω 单位:Sr (球面度) φ∈ [0, 2π], θ∈ [0, π] .

如图所示, △ A 是半径为 R 的球面的一部分, △ A 的边缘各点对球心 O 连线所包围的那部分空间 叫立体角。立体角的数值为部分球面面积△ A 与球半径平方之比,即

?? ?

?A R2

单位立体角:以 O 为球心、R 为半径作球,若立体角 Ω 截出的球面部分的面积为 R2,则此球面 部分所对应的立体角称为一个单位立体角,或一球面度。 对于一个给定顶点 O 和一个随意方向的微小面积 dS ,它们对应的立体角为

d? ?

dS cos ? R2

其中 θ 为 dS 与投影面积 dA 的夹角,R 为 O 到 dS 中心的距离。

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例题精讲
第一部分:数学描述能力训练 【例 1】(1)某人不喜欢吃苹果皮,但是更懒得削苹果皮。假设苹果是球形的,他将苹果切成等厚度的 薄片,求证他在每片苹果上吃到的苹果皮的量是一样多的 (2)某个国家的范围是北纬 30 度到北纬 31 度,经度范围是东经 65 度到 66 度,这个国家的领土 占地球的比例大约为多少?近似计算,精确到 2 位有效数字。)

【例 2】一位盲人将枪端平,开始打靶。由于看不见,他将随机向平面中任意一个方向打出子弹。一面 墙在离他的距离为 d。从人到墙做垂线,将垂足记为原点,计算从 x 到 x+dx 的范围内墙面被子弹击中 的概率。

【例 3】上一题中的盲人跑到了太空站中,向随机的方向打出子弹,墙和他的间距为 d,原点保持不变, 建立平面直角坐标系 x-y,从 x 到 x+dx,y 到 y+dy 的范围内,墙面被子弹击中的概率为多少?

? ,?? 。 【例 4】建立极坐标,在 ( ? ,? ) 上定义发向与切向的单位向量 n ? ,?? , ? ,? 表达。 (1) 写出从极点到 ( ? ,? ) 点的位移矢量,用 n
? ,?? 和 ? ,? 一样都是时间的函数。求出 (2) 假设一个质点以角速度 ? 做匀速原周运动,那么 n

? d?? dn , 。 dt dt
? ,?? 和 ? (t ),? (t ) (及其导数)表达质点的运动速度 (3) 用 n ? ,?? 和 ? (t ),? (t ) (及其导数)表达质点运动的加速度 (4) 用 n
(5) 用以上的方法写出极坐标下的牛顿第二定律的表达形式

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第二部分 物理应用 【例 5】在匀强磁场 B 中,有一个带点量为 q,质量为 m 的粒子,在垂直于的磁场的平面内运动。粒 子初速度为 v0 。

? ,?? 表达牛顿第二定律,并求出 (1) 利用上一题中的 n

? d?? dn , 。 dt dt

(2) 如果粒子受到恒定的于粒子速度方向相反的阻力 f ,写出牛顿第二定律,并计算出粒子的 速度随时间的关系。 (3) 接(2)计算出粒子运动的轨迹(用参数方程描述) (4) 如果粒子受到的阻力为 f ? ?kv ,求出粒子从开始运动到停下来走过的路程。

【例 6】一个半径为 r 的钢球固定在空间中,一束以速度为 v 运动的质量为 m 的小粒子撞向钢球,单位 时间单位面积上通过的粒子数为 j 。粒子和钢球之间发成完全弹性碰撞。 (1)某个粒子的初速度的延长线与球心的距离为 b ,则这个粒子碰撞后的速度方向改变的夹角 ? 为 多少? (2)在距离很远的地方有一堵垂直于粒子束的墙面,在粒子出射角为 ? 的方向,单位墙面上单位时 间内单位方向上接受到粒子的数量为多少?

【例 7】如图所示,杆 AB 搁置在半径为 R 的半圆柱上,A 端沿水平面以等速 V 作直线运动,图示瞬 间,杆与水平面夹角为θ,杆上 C 点与半圆柱体 D 点相切, (1)此时杆上 C 点的速度大小为多少? (2)此时在圆柱体上 D 点的速度的大小又为多少? (3)C 点加速度多少?

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【例 8】如图所示,杆 OA 长为 R ,可绕过 O 点的水平轴在竖直平面内转动,其端点 A 系着一跨过定滑 轮 B 、 C 的不可伸长的轻绳,绳的另一端系一物块 M ,滑轮的半径可忽略, B 在 O 的正上方, OB 之 间的距离为 H 。某一时刻,当绳的 BA 段与 OB 之间的夹角为 ? 时,杆的角速度恒定为 ? ,求此时物 块 M 的速率 vM 以及加速度 a M

o 【例 9】 杆 AC 沿槽以匀速 ? 向上运动, 并带动杆 AB 及滑块 B。 若 AB= l , 且初瞬时 ? ? 0 .求当 ? ? 60

时,滑块 B 沿滑槽滑动的速度。

y

y1

A

B

?
x1

O

y1

x

x1

C ?

【例 10】半径为 R 的半圆形凸轮 D,已知其运动的速度为 ?D 、加速度为 aD ,方向如图(a)所示。凸轮 推动杆 AB 沿铅直方向运动。试求当 ? ? 30 时,杆 AB 移动的速度和加速度以及 A 相对凸轮的速度。
0

B

y

?a
D R
?

?r
?

?a
A

A ? ?e ?0 ? r a0

ae
?
n

A

ar

?e
x

ae

A

aa

?

? arn aa n

ar?

?

(a)

(b) 图2-6

(c)

(d)

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课后小练习 1.考虑点电荷产生周围的静电场 (1) 假设平方反比率不再成立,而是 E ?

kr ,那么高斯定律是否还会成立?在这种情况下一 r2

个金属球壳的内部是否一定没有电荷分布?电场是否一定为 0? (2) 假设三维空间变成了二维,要求高斯定律依然成立,则电场分布的形式满足什么形式?一 个“金属球壳”(实际上是圆环)内部是否一定没有电荷分布?电场是否一定为 0?

趣味物理

量子力学史
量子理论的主要创立者都是年轻人。 1925年, 泡利25岁, 海森堡和恩里克· 费米(Enrico Fermi)24 岁,狄拉克和约当23岁。薛定谔是一个大器晚成者,36岁。玻恩和玻尔年龄稍大一些,值得一提的是 他们的贡献大多是阐释性的。爱因斯坦的反应反衬出量子力学这一智力成果深刻而激进的属性:他拒 绝自己发明的导致量子理论的许多关键的观念,他关于玻色-爱因斯坦统计的论文是他对理论物理的最 后一项贡献,也是对物理学的最后一项重要贡献。 1923 年路易 · 德布罗意 (Louis de Broglie) 在他的博士论文中提出光的粒子行为与粒子的波 动行为应该是对应存在的。他将粒子的波长和动量联系起来:动量越大,波长越短。这是一个 引人入胜的想法,但没有人知道粒子的波动性意味着什么,也不知道它与原子结构有何联系。 然而德布罗意的假设是一个重要的前奏,很多事情就要发生了。 1924 年夏天,出现了又一个前奏。萨地扬德拉 · N· 玻色 (Satyendra N. Bose ) 提出了一种全 新的方法来解释普朗克辐射定律。他把光看作一种无 ( 静 ) 质量的粒子 ( 现称为光子 ) 组成的气体, 这种气体不遵循经典的玻耳兹曼统计规律,而遵循一种建立在粒子不可区分的性质 ( 即全同性 ) 上的一种新的统计理论。爱因斯坦立即将玻色的推理应用于实际的有质量的气体从而得到一种 描述气体中粒子数关于能量的分布规律,即著名的玻色 - 爱因斯坦分布。然而,在通常情况下新 老理论将预测到原子气体相同的行为。爱因斯坦在这方面再无兴趣,因此这些结果也被搁置了 10 多年。然而,它的关键思想 —— 粒子的全同性,是极其重要的。 突然,一系列事件纷至沓来,最后导致一场科学革命。从 1925 年元月到 1928 年元月: · 沃尔夫刚 · 泡利 (Wolfgang Pauli) 提出了不相容原理,为周期表奠定了理论基础。 · 韦 纳· 海森堡 (Werner Heisenberg) 、马克斯 · 玻恩 (Max Born) 和帕斯库尔 · 约当 (Pascual Jordan) 提 出了量子力学的第一个版本,矩阵力学。人们终于放弃了通过系统的方法整理可观察的光谱线 来理解原子中电子的运动这一历史目标。 · 埃尔温 · 薛定谔 (Erwin Schrodinger) 提出了量子力学的第二种形式,波动力学。在波动力学 中,体系的状态用薛定谔方程的解 —— 波函数来描述。矩阵力学和波动力学貌似矛盾,实质上 是等价的。
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· 电子被证明遵循一种新的统计规律,费米 - 狄拉克统计。人们进一步认识到所有的粒子要么 遵循费米 - 狄拉克统计, 要么遵循玻色 - 爱因斯坦统计, 这两类粒子的基本属性很不相同。 森堡阐明测不准原理。 · 保尔 · A· M· 狄拉克 (Paul A. M. Dirac) 提出了相对论性的波动方程用来描述电子,解释了电子 的自旋并且预测了反物质。 · 狄拉克提出电磁场的量子描述,建立了量子场论的基础。 · 玻尔提出互补原理 ( 一个哲学原理 ) ,试图解释量子理论中一些明显的矛盾,特别是波粒二 象性。 创立量子力学需要新一代物理学家并不令人惊讶,开尔文爵士在祝贺玻尔 1913 年关于氢 原子的论文的一封书信中表述了其中的原因。他说,玻尔的论文中有很多真理是他所不能理解 的。开尔文认为基本的新物理学必将出自无拘无束的头脑。 1928 年,革命结束,量子力学的基础本质上已经建立好了。后来, Abraham Pais 以轶事 的方式记录了这场以狂热的节奏发生的革命。 其中有一段是这样的: 1925 年, Samuel Goudsmit 和 George Uhlenbeck 就提出了电子自旋的概念,玻尔对此深表怀疑。 10 月玻尔乘火车前往荷 兰的莱顿参加亨德里克 · A· 洛伦兹 (Hendrik A. Lorentz) 的 50 岁生日庆典,泡利在德国的汉堡碰到 玻尔并探询玻尔对电子自旋可能性的看法;玻尔用他那著名的低调评价的语言回答说,自旋这 一提议是 “ 非常,非常有趣的 ” 。后来,爱因斯坦和 Paul Ehrenfest 在莱顿碰到了玻尔并讨论了 自旋。玻尔说明了自己的反对意见,但是爱因斯坦展示了自旋的一种方式并使玻尔成为自旋的 支持者。在玻尔的返程中,遇到了更多的讨论者。当火车经过德国的哥挺根时,海森堡和约当 接站并询问他的意见,泡利也特意从汉堡格赶到柏林接站。玻尔告诉他们自旋的发现是一重大 进步。 量子力学的创建触发了科学的淘金热。早期的成果有: 1927 年海森堡得到了氦原子薛定谔 方程的近似解, 建立了原子结构理论的基础; John Slater , Douglas Rayner Hartree , 和 Vladimir Fock 随后又提出了原子结构的一般计算技巧; Fritz London 和 Walter Heitler 解决了氢分子的 结构,在此基础上, Linus Pauling 建立了理论化学; Arnold Sommerfeld 和泡利建立了金属电 子理论的基础, Felix Bloch 创立了能带结构理论; 海森堡解释了铁磁性的起因。1928 年 George Gamow 解释了 α 放射性衰变的随机本性之谜,他表明 α 衰变是由量子力学的隧道效应引起的。 随后几年中,Hans Bethe 建立了核物理的基础并解释了恒星的能量来源。随着这些进展,原子 物理、分子物理、固体物理和核物理进入了现代物理的时代。 · 海

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学习效果反馈: 代课教师: 通过今天学习,你觉得: 1.本讲讲义内容设置: A.太难太多,吃不透 B.难度稍大,个别问题需要下去继续思考 C.稍易,较轻松 D.太容易,来点给力的 2.本节课老师讲解你明白了: A.40%以下 B.40%到 80% C.80%以上但不全懂 D.自以为都懂了 3.有什么东西希望老师下节课再复习一下么?(可填题号,知识点,或者填无)

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