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3.1.1两角差的余弦公式 (1)


2014年4月20日星期日7时46分24秒

第三章

三角恒等变换

3.1.1 两角差的余弦公式

2014年4月20日星期日7时46分24秒

学习目标:
1、用向量方法建立两角差的余弦公式

2、两角差的余弦公式的简单应用

/> 2014年4月20日星期日7时46分24秒

复习:向量的数量积以及两个向量夹角的
余弦值公式.

练习:已知向量 a ? (cos45o , sin 45o ), b ? (cos30o , sin 30o ),

求 a, b夹角 的余弦

? 解: | a |? cos2 45o ? sin 2 45o ? 1 ? | b |? cos2 30o ? sin 2 30o ? 1
a ? b ? (cos45o , sin 45o ) ? (cos30o , sin 30o )

6? 2 ? cos 45 ? cos30 ? sin 45 ? sin 30 ? 4
o o o o

2014年4月20日星期日7时46分24秒

所以

cos ?

? ? a ?b 6? 2 ? ? ? ? 4 | a |?| b |

即:cos15o
? cos 45o ? cos30o ? sin 45o ? sin 30o
6? 2 ? 4
15
?

2014年4月20日星期日7时46分24秒

公式cos(α—β)的推导,以及公式的结构。

方法二:用向量的知识研究:
问题:设∠XOP=α,∠XOQ=β,那么向量 ???????? OP,OQ 夹角的余弦值是多少? y 解:点P (cos? , sin ? ),点 Q
(cos? , sin ? ) ??? ? 那么 OP ? (cos? ,sin ? ) ???? OQ ? (cos ? ,sin ? )
P

?
O

Q

?

x

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??? ? OA ? ? cosα ,sinα ?

??? ? OB ? ? cosβ , sinβ ?
y

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? OA OB cos ?
? cos(? ? ? )
∵ OA? OB
A

1
θ B

α
-1 o

β

? cos? cos ? ? sin ? sin ?

1

x

-1



cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

2014年4月20日星期日7时46分24秒

此公式给出了任意角α,β的正余弦与其差角 (α-β)的余弦值之间的关系,称为差角 的 余弦公式,简记为 C(? ?? )

有了公式 C(? ?? ) 后,我们只要知道 cos ? ,cos ? ,sin ? ,sin ? 的值,就可以求得 cos(? ? ? ) 的值了。

注意:公式特点

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对于任意角

α , β

结 论 归 纳

cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα sinβ
差角的余弦公式

C

? αβ? ?

CC ? SS

注意:1.公式的结构特点;
2.对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦,就 可以求出cos(α-β)

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例1

学 以 致 用

.利用差角余弦公式求cos15
分析: cos15 ? cos 45 ? 30
? ?
? ?

?

的值

? ? cos15 ? cos ? 60 ? 45 ?
?
?

思考:你会求 sin 75 的值吗?

?

2014年4月20日星期日7时46分24秒

3 ? π ? cos ? π ?α ? 练习1已知 cosα = - α ? ? , π ? 求 ? 4 ? 的值. ? ? 5 ?2 ?

3 ?π ? 解: ∵ cos? = - ? ? ? , π ? 5 ?2 ?
4 ∴ sin ? = 1 ? cos ? ? 5 π π π cos( - ? ) ? cos cos ? + sin sin ?
2

4

4 4 2 ? 3? 2 4 ? ??? ? ? ? 2 2 5 ? 5?
? 2 10

2014年4月20日星期日7时46分24秒

4 ? ? ? 例3.已知 sinα = , α ? ? ,? ?, cosβ = - 5 , 5 ?2 ? 13

求cos(α -β )的值 β 是第三象限角,

2014年4月20日星期日7时46分24秒

练习:
1. cos1750 cos550 ? sin 1750 sin 550 ?
1 ? 2

2. cos(? ? 210 ) cos(? ? 240 ) ? sin(? ? 210 ) sin(? ? 240 ) ?

2 2

2014年4月20日星期日7时46分24秒

思考题:已知 α
5 cos ?α +β ? ? ? 13

,β 求 cosβ 的值

4 都是锐角, cosα = , 5

变角: β

=? α +β ? ?α

分析:cos ? ? cos ? ? ? ? ? 三角函数中一定要注意观 察角度之间的关系,例如

??

?

?

?= α 12 +β 5 ? 4 3?? ? ?? ? ? ? 13 5 13 5 ? =(? - ? )+ ?
16 ? 65

?cosα ?sinα ? cos? α?β ? sin? α?β

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4 4 (3)、已知 cos(? ? ? )= , cos(? ? ? )=- , 5 5 ? 7? ? ? 3? ? 且? +? ? ? , 2? ? , ? -? ? ? , ? ? 求 cos 2? . ? 4 ? ? 4 ?

提示: sin(? ? ? ) ? ? 3
5
cos 2? ? cos ?(? ? ? ) ? (? ? ? )?.
7 ?? 25

3 sin(? ? ? ) ? 5

2014年4月20日星期日7时46分24秒

例5、已知 cos 25? cos 35? ? cos 65? cos 55? 的值等于( B ) A 0 B 1 2 C 3 2 D 1 ? 2

原式=cos25 °cos35 °-sin25°sin35° =cos(25°+35°)

=cos60°

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小结:
1、两角差的余弦公式
对于任意角α ,β 都有

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
2、公式的结构特点及应用

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作业
? A层:P137习题3,4

?作业:A组: P137习题3,4


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