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浅谈函数单调性的判定方法及在高考题中的应用5.doc1


浅谈函数单调性的判定方法及在高考题中的应用
代春梅
摘 要:函数的单调性是函数的一个基本性质,而函数的相关知识是中学数学的 一个重要内容,所以它的基本性质——函数的单调性,也成了高考的热点。本文 将对函数的单调性在高考题中的应用进行统计分析,归纳函数单调性的判定方 法,并通过实例进行分析。 关键词:函数;单调性;增函数;减函数 函数单调性这部分内容是中学教学的

重点之一,它的相关知识在初中,高中 乃至大学都能运用到。 函数的单调性作为函数的一个基本性质,同样也成了高考 的热点,在高考题中的选择题,填空题,解答题型中都出现过,有容易、中等、 较难不同的难度层次,所占比分也跟着它的难度不同,有着高低之分。本文将对 近三年(2009 年—2011 年)函数单调性在高考中的考查形式进行分析,从而探 讨函数单调性的判定方法及其应用, 目的在于对高中函数单调性这部分内容有更 深刻、更全面的认识和把握,为将来的教学工作做准备。 一、近三年(2009 年—2011 年)函数单调性在高考中的考查形式分析 1.近三年(2009 年—2011 年)高考题中有关函数单调性应用统计 函数单调性作为高考的热点,常出现在高考的选择题、填空题、解答题中, 下表是我对近三年(2009 年—2011 年)高考题中有关函数单调性的应用统计。 证 明 不 等 求参数值或参数 讨论函数的单调性 求函数的极值、最 式 或 解 不 值的取值范围 等式 《 全 国 卷 《北京卷》 Ⅱ》 《湖南卷》 《四川卷》 安徽卷》 《 天津卷 》 《 《辽宁卷》 山东卷》 《 《重庆卷》 北京卷》 《 《全国卷Ⅱ》 《陕西 卷》 《福建卷》 《江苏 卷》 《江西卷》 《天津 卷》 《宁夏、 海南卷》 和单调区间 值或零点

《辽宁卷》 《辽宁卷》 2009 《 浙江卷 》

《 全 国 卷 《全国卷Ⅰ》 《全 《 新 课 标 全 国 卷 》 《 Ⅱ 》 四 川 国 卷 Ⅱ 》 湖 北 《北京卷》 江西卷》 《 《 《 卷》 2010 卷》 《四川卷》 《江 《安徽卷》 天津卷》 《 西卷》 《湖南卷》 《江苏卷》 重庆卷》 《 《江苏卷》 《辽 《辽宁卷》 山东卷》 《 宁卷》 《 新 课 标 《江西卷》 全 国 卷 》 《安徽卷》 2011 《 全 国卷 》 《浙江卷》 《辽宁卷》

安徽卷



《 天津卷 》

《北京卷》 四川卷》 《江西卷》 《 《山东 《天津卷》 江苏卷》 卷》 《 《四川卷》 《重 《陕西卷》 辽宁卷》 庆卷》 福建卷》 江 《 《 《 苏卷》 陕西卷》 湖 《 《 南卷》

2.考点分析 对于上表的统计, 关于函数单调性的各考点出现在解答题中的频率比出现在 选择题、填空题中的频率高,下面是对各考点的分析。
()函数的单调性在不等式中的应用 1

函数的单调性在不等式中的应用即证明不等式或解不等式,从 2009 年到 2011 年这三年考题中可看出,证明不等式或解不等式都成了必考内容,用什么 样的方法来做题,我们可根据题设所给的条件来选择,在高考的时候,讲究的是 做题效率,每个同学都在和时间作战,所以会选择简单的方法。
(2)利用函数的单调性求参数值或求参数值的取值范围

对于这个考点,根据上表的统计,不难看出,在 2010 年许多省份都考了此 考点, 这样的题型我们可根据题设所给出的条件来选择做题方法,简单的利用求 导就可解决问题,难度高的利用求导、函数的单调性来解决,这样的考点一般都 是出现在后面的大题,分值可根据其难度来确定。 (3) 求函数的极值、最值或零点 求函数的零点这个考点很少出现,出现较多的是求函数的极值或最值,而且 都是在后面的大题里出现。遇见这样的题型,根据我们的做题经验,很快就会想

到求导,然后利用函数的单调性来解决问题。 (4) 讨论函数的单调性和求函数的单调区间 这样的题型直接就是把函数的单调性作为一个考点, 而不是把函数的单调性 作为桥梁解决其它考点,做题方法就是把求导作为桥梁来解决问题。当然,判断 一个函数是增函数还是减函数, 也可以利用其定义来判定,所以选择哪种方法就 得看题设所给出的条件。 二、浅析函数单调性的判定及函数单调性在考题中的应用 1.函数单调性的判定 函数的单调性,揭示的是绝对上升或下降的趋势,这是函数单调性的特征, 从本质上看,函数单调性揭示的是一种变化趋势。

所谓函数的单调性是指一般地,设函数f ( x)的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2 , 当x1 <x2时,都有f ( x1 )<f ( x2 )(或f ( x1 )>
?? f ( x2 )), 那么就说函数f ( x)在区间D上是增函数(或减函数)。我们在判断函数单
1

调性时,可以从两个方面进行分析:
(1)简单函数的判定。 对于简单函数的判定有三种方法,第一种方法是定义法。根据函数单调性 的定义我们可以得出 用定义法证明函数单调性的一般步骤 :首先设元,任取
x1 , x2 ? D且 x1< x2;其次作差、变形,作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,并适当变形;再次断号,

判 断 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的 最 终 结 果 是 大 于 零 还 是 小 于 零 ; 最 后 是 定
论,自变量大的函数值也大的为增函数,自变量大的函数值反而小的为减函数。 例如,用定义法证明函数f ( x)=x 3 ? x ? 1在(-?,?)是增函数。根据步骤,我们 + 首先设元,设任意的x1 , x2 ? ? ??, ?? ?,且x1 < x2;其是次作差,即f ? x1 ? - f ( x2 ) ?
3 3 x13 ? x1 ? 1 ? ? x2 ? x2 ? 1? ? ? x13 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 )( x12 ? x1 x2 ? x2 2 ) ? ? x1 ? x2 ? ? 2 1 2 2 ?? x1 ? 3 2 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 x2 ? x2 ? 1) ? ? x1 ? x2 ? ?? ? x2 ? ? x1 ? 1? ;再次是断号,因为x1 < ? 4 ?? 2 ? ? ? 2 2 ?? 1 ?1 ? 3 2 ? 3 2 ? x2,所以x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? ? x1 ? 1 > 0,所以 ? x1 ? x2 ? ?? x1 ? x2 ? ? x1 ? 1? ? ? ?2 ? 4 ? 4 ? ? ?? 2 ?

0,即f ( x1 ) < f ( x2 );最后是定论,函数f ( x)在 ? ??, ?? ? 上是增函数。判断一个函数

在其定义域内是增函数还是减函数,我们通常用的方法是定义法。根据函数单调

性的定义可知, 单调性是属于函数的一个局部性质的,即在不同的区间上函数的 单调性不同,它受到区间的限制。第二种方法是导数法,所谓导数法即设函数

y ? f ( x)在? a, b? 上连续,在 ? a, b ?内可导,如果在 ? a, b ?内有f ' ( x)<0(或f '( x)>0) , 那么
? 函数y ? f ( x)在? a, b? 上单调减少(或单调增加)?? ?? ?。因为中学所学的函数基本上
2 3 4

都是连续函数,所以高中阶段并未讨论函数连续,继而我们在高中用导数法时, 可以不用讨论函数是否连续。例如,试证当 x 数。根据题目,我们可判断 f ( x) 在[0 导的,所以 f '( x) ? 所 以 f '(x )? (0 时, f ( x) ? ln ?1 ? x ? ? x 是减函 )是连续的,在(0 ,所以 )是可
1 ? 1, 1? x

1 ? 1 ;其次判断 f '( x) 的符号。因为 x 1? x

1 ? 1 0。 根 据 导数 法 的定 义 ,我 们 即 判 定 函数 f ( x) 在 区 间 < 1? x

)上是单调减函数。与定义法相比,能用定义法判断的导数法同样可

以,它们各有优势,我们可根据题目来选择用哪种方法。第三种方法是图像法, 所谓图像法就是根据观察图像,从左向右,图像上升即为增函数,图像下降即为 减函数。 (2)复合函数的判定 复合函数在中学课本中并未提出,但在题目中会遇到,所以这部分内容是由 教师补充给学生的。 复合函数 y ? ( g ( x)) ,设 u ? g ( x) ,则 y ? f (u) ,若 u ? g ( x) 和 y ? f (u) 单调性 相同,则 f ( g ( x)) 为增函数;若 u ? g ( x) 和 y ? f (u) 单调性相反,则 y ? f ( g ( x)) 为 减函数;若 f ( x), g ( x) 都为增(或减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 为增(或减)函数; 若 f ( x) 为增函数, g ( x) 为减函数,则 f ( x) ? g ( x) 为增函数,若 f ( x) 为减函数,
g ( x) 为增函数,则 f ( x) ? g ( x) 为减函数 ? ?? ? 。
5 6

2.函数单调性在高考题中的应用实例 关于函数单调性在高考题中的应用,根据前面对 2009 年—2011 年的统计分 析, 在高考题中有利用函数的单调性作为桥梁来解题的,也有直接把函数单调性 作为一个考点的。在考题中,有的是一题考查一个考点,如选择题或填空题;有

的则是一个题包含着几个考点, 如后面的大题。下面我将用高考题来对考点进行 分析。
例1 2011年,辽宁卷, 题)函数f ( x)的定义域为R,f ( ?1) ? 2.对任意x ? R, ( 11 f '(2) > 2, 则f ( x) ? 2 x ? 4得解集为?
7?

A.(-1,1) ; B.( -1,+∞) ; C.(

D.(

我们首先可观察题设所给的条件,对于此类题的做法,我们可以构造一个新 函数,即令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 4 .根据题设给出的信息,我们可对新函数求导,即
g ' ( x) ? f ' ( x) ? 2 ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 R 上是增函数,又因为 f (?1) ? 2 ,所以

g (?1) ? f (? 1) ? 2? 4 ? 0,所以 g ( x) > g (?1) .由函数 g ( x) 的单调性可得 x

1.所

以选 B。 此题的考点是解不等式,分析题意,不能直接解此不等式,所以 可以考虑 构造函数,再看题设所给条件,便知可用求导来判定函数的单调性,再利用“函 数的单调性使自变量间的大小关系与函数值大小关系可实现直接关系” ?6??8? 得出 不等式的解集。 此题看似考不等式, 其实它是考查函数单调性在不等式中的应用, 既考查了求导, 又考查了函数单调性的判定。做这样的题许多学生不知灵活运用 题目中所给信息,导致做题受阻。
例2(2010年,辽宁卷, 题)已知函数f ( x) ? ? a ? 1? ln x ? ax 2 ? 1 . 21

(1) 讨论函数f ( x)的单调性; (2)设 a 1,如果对任意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) │ 4│ x1 ? x2 │,

求 a 的取值范围 ?7 ? . 题(1)是讨论函数的单调性,关于讨论函数的单调性,首先确定其定义域, 此题我们一眼就可看出它的定义域,即 x (0,
f '( x) ?

),接下来对原函数求导,即

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? ,因为 a 得取值范围影响了 f ' ( x) 的正负,所以要 x x

对 a 的取值范围进行讨论,当 a 0 时,有 f '( x) > 0 ,所以 f ( x) 在(0,+ )上单

调递增;当 a

1 时, f '( x) < 0 ,故 f ( x) 在(0,+ )上单调递减;当 1 a 0
? a ?1 ? a ?1 , 则 当 x ? ? 0, ? ? 时 , 有 f '( x) > 0 ; ? 2a ? 2a ? ?

时 , 令 f '(x )? 0, 解得 x ? ?

? ? ? a ?1 a ?1 ? x ?? ? , ?? ? 时, 有 f '( x) < 0 .所 以 f ( x) 在 ? 0, ? ? 上单 调递增 ,在 ? ? ? 2a 2a ? ? ? ? ? ? ? a ?1 , ?? ? 上单调递减。题(2)给出了条件 a ﹤-1,不妨假设 x1 ? x2 ,根据(1) ? ? ? ? 2a ? ?

知 f ( x) 在 (0, ) + 上单调递减, 从而任意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? , f ( x1 ) ? f ( x2 ) │

4

│ x1 ? x2 │等价于任意 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? , f ( x2 ) ? 4 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 4 x1 ;我们不妨令 所以 g ( x) 在 (0, +∞) 上单调递减, g '( x) ? 则 g ( x) ? f ( x) ? 4 x ,
2 2

a ?1 ? 2ax ? 4 ? 0 . x

2 ?4 x ? 1 ? 2 x ? 1? ? 4 x ? 2 ? 2 x ? 1? ? ? ? 2 .故 a 的取值范围为( 从而 a ? 2 2x ?1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1

,2]。

此大题包含了两个小题,这两个题看似没有什么关联,题(1)是讨论函数 的单调性,题(2)是求参数 a 的取值范围,其实不然。根据题(1)得出的结论: 当 a ? -1 时, f ( x) 在(0,+∞)上单调递减,题(2)就要利用这个条件来得出 等价变换,从而将题(2)的条件简单化,最后得出结果。所以两个小题是一题 紧扣一题。对于此类题型,考生容易忽视两点:第一,函数的定义域。忽视此点 会造成单调区间不是定义域子集的错误;第二,题与题之间的联系。此题如果学 生忽视题(1)得出的结论,就会造成无从下手或是浪费大量的时间去讨论去绝 对值后正负的问题,因此浪费了大量的时间。
例3(2010年,安徽卷, 题)设a为实数,函数f ( x) ? e x ? 2 x ? a, x ? R . 17

(1) 求f ( x)的单调区间与极值 ; (2)求证:当 a 1,且 x 0 时, e x > x2 ? 2ax ? 1 ?7 ? .

对于题(1)这样的题型,我们首先对 f ( x) 求导,即 f '( x) ? e x ? 2, x ? R 。令
f '( x) ? 0 ,解得 x =

;然后利用列表把 x, f '( x), f ( x) 的变化情况表示出来。

x
f '( x)
f ( x)

(



) 0 2(1 )+ a



,+ ) +

根据上表就可以得出函数f ( x)的单调区间和极值。

对于题(2)这样的题,我们可以把它们作差或作商,所以我们不妨构造一个 新 函 数 g ( x? )
x

e? 2

x? 2

a, x ? R ; 然 后 对 g ( x) 求 导 , 即 ?1 x

g ' ( x) ? e x ? 2 x ? 2a, x ? R . 根 据 ( 1 ) 知当 a

1 时 , g ' ( x) 有 最 小值 为

(

)=2(1

+a) 0.所以对于任意 x ? R ,都有 g ' ( x) > 0 ,所以函数 g ( x) 在 1 时, 对任意 x ? ? 0, ?? ? ,都有 g ( x) > g (0) ,

其定义域 R 上单调递增.即当 a

又 因 为 g(0)=0, 从 而对 任 意 x ? ? 0, ?? ? , 有 g ( x) > 0 , 即 e x ? x2 ? 2 a x ?1> 0,故
e x > x2 ? 2ax ? 1 。

此题和例 2 差不多,题(1)考查了有关函数单调性的两个考点:求函数的 单调区间和利用函数的单调性求函数的极值,对于题(1)这样的题对大部分考 生来说并不难。对于题(2) ,我们可把不等号两边看成两个函数,然后将它们作 差或作商。但对于此题,选择作差要容易些,即令 g ? x ? ? e x ? x 2 ? 2ax ? 1 ,将新 函数的表达式与 f ( x) 的表达式比较,经过观察, f ( x) 的表达式与 g ( x) 求导后的 表达式相似, 只有常数项不同, 所以可根据题 (1) 的结论就可以很容易判断 g ( x) ﹥0,从而题(2)得以证明。同样是一题紧扣一题,学生仔细观察就可得出两个 题的关联性。 根据上面的三个例题, 我们可以看出并不全是一个题考查一个考点,考点与 考点间是相互联系的, 如例 2 与例 3, 掌握这样的规律后, 就会降低题目的难度, 同时节约做题的时间。 三、函数单调性在中学教学中的特点 在教学中,函数的单调性是研究当自变量 x 变化时,它的函数值 f(x)的变 化情况,在进入高一,课本就明确给出了函数单调性的定义,这是研究具体函数

单调性的依据。从图形上观察,从左到右,图象上升,则函数是单调递增的,图 象下降,则函数是单调递减的。如果从这个角度来描述函数单调性的特征,学生 并不难理解, 难理解的就是把具体函数单调性的特征抽象出来,用数学的符号语 言描述, 即在函数的定义域内的任意 x1 , x2 , x1 ? x2 (或x1 ? x2 ) , f ( x1 ) < f ( x2 ) 且 有 ( 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) 则 说 明 函 数 是 单 调 增 加 的 , 即 图 象 是 上 升 的 ; 若 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 )(或f ( x1 ) ? f ( x2 )) ,则函数是单调递减的,即图象是下降的。学生可

根据函数单调性的定义,通过练习来理解。 通过以上对近三年(2009 年—2011 年)高考题的统计分析及对函数单调性 的判定和应用的分析, 对要正确理解函数单调性及其应用, 可以从以下几点入手: 首先.要熟悉函数单调性判定的几种方法, 其中定义法和导数法常用的方法; 其次.一般关于函数单调性的考虑,都会联系到导数的运算,所以对导数也应该 了解;再次.在解决有关不等式方面时,最常用的方法是构造函数,然后对新函 数求导,再根据其单调性来解决问题;最后.对于函数的定义域,不能忽视,以免 造成单调区间不是定义域的子集的错误。 参考文献
[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学必修 1,A 版[M].人民教育出版社,2007:28. [2]陈光曙.面向新世纪课程教材大学数学[M].同济大学出版社,2007:11. [3]薛彬.全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修Ⅰ)[M].人民教育出版社,2006:46. [4]薛彬.全日制普通高级中学教科书数学第三册 (选修Ⅱ) [M].人民教育出版社, 2006:139. [5]荣德基.点拨高考[M].内蒙古少年儿童出版社,2009:12-13. [6]列启阳.教材 1+1[M].新疆青少年出版社,2011:25-26. [7]林志建.新高考 5 年真题汇编数学 (理科)[G].新疆青少年出版社,2009:25-26;49-50; 55-56. [8]孔庆府.绿色通道[M].天津人民美术出版社,2008:21-23.


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