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2014届高三数学(文)一轮总复习不等关系与不等式




节 不等关系与不等式

基础自主梳理 考向互动探究

最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的 不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.

1.(2012 海淀模拟)已知 a<b,则下列不等式 正确的是( C ) (B)a >b
a 2 2
<

br />1 1 (A) > a b
(C)2-a>2-b

(D)2 >2

b

解析:由 a<b,则-a>-b.可得 2-a>2-b, 故选 C. 也可用特值法:令 a=-1,b=2 代入验证排除选项 A、B、D,故选 C.

2.限速 40 km/h 的路标,指示司机在前方路段 行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h,写 成不等式就是( D ) (A)v<40 km/h (B)v>40 km/h (C)v≠40 km/h (D)v≤40 km/h 解析:由汽车的速度 v 不超过 40 km/h,即小于 等于 40 km/h.即 v≤40 km/h,故选 D.

3.(2012 银川质检)已知 a,b,c ? R,则“a>b” 是“ac >bc ”的( B ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:由 a>b 不能推出 ac >bc .∵当 c =0 时, ac =bc ;反之 ac >bc ? a>b.故选 B.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

4.已知 a1≤a2,b1≥b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是 解析:由 a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1) =a1(b1-b2)+a2(b2-b1) =(a1-a2)(b1-b2) ∵a1≤a2,b1≥b2,故(a1-a2)(b1-b2)≤0, 即 a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1. 答案:a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1 .

1.实数的大小顺序与实数的运算性质之 间的关系 设 a,b ? R,则 (1)a>b ? a-b>0; (2)a=b ? a-b=0; (3)a<b ? a-b<0.

2.不等式的基本性质

见附表

质疑探究 1:同向不等式相加与相乘的条件是否 一致? 提示:不一致.同向不等式相加,对两边字母无 条件限制,而同向不等式相乘必须两边字母为 正,否则不一定成立. 质疑探究 2:不等式两边平方可否为任意实数? 提示:不可以.两边平方时,若为负时不等式不 成立,故仍限制两边必须同时为正.

3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质
1 1 ①a>b,ab>0 ? < . a b 1 1 ②a<0<b ? < . a b

(2)有关分数的性质 若 a>b>0,m>0,则

①真分数的性质

b b?m b b?m < ; > a a?m a a?m
②假分数的性质

(b-m>0).

a a?m a a?m > ; < b b?m b b?m

(b-m>0).

用不等式(组)表示不等关系 【例 1】 已知甲、乙、丙三种食物的维生 素 A、B 含量及成本如下表:

甲 乙 丙 维生素 A/(单位/kg) 600 700 400 维生素 B/(单位/kg) 800 400 500 成本/(元/kg) 11 9 4 设用甲、乙、丙三种食物各 x kg,y kg,z kg 配 成 100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含 有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 试用 x,y 表示混合食物成本 c 元,并写出 x,y 所 满足的不等关系.

解:依题意,得 c=11x+9y+4z. 又 x+y+z=100, ∴c=400+7x+5y.

?600 x ? 700 y ? 400 z ? 56000 , 由? ?800 x ? 400 y ? 500 z ? 63000 ,
及 z=100-x-y,

?2 x ? 3 y ? 160 , 得? ?3 x ? y ? 130 .
∴x,y 所满足的不等关系为

?2 x ? 3 y ? 160 , ?3 x ? y ? 130 , ? ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?

(1)当问题中同时满足几个不 等关系时,应用不等式组来表示它们之间的 不等关系,(2)若问题中有几个变量,则选用 几个字母分别表示这些变量即可,像本例就 是用含有两个字母 x,y 的不等式组来表示 它们之间的关系的.

变式训练 1 1:某汽车公司由于发展的需要 需购进一批汽车,计划使用不超过 1000 万元 的资金购买单价分别为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车,根据需要,A 型汽车至 少买 5 辆,B 型汽车至少买 6 辆,写出满足上 述所有不等关系的不等式.

解:设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆,

?40 x ? 90 y ? 1000 , ? x ? 5, ? 则? y ? 6, ? ? x, y ? N * ?

?4 x ? 9 y ? 100 , ? x ? 5, ? 即? y ? 6, ? ? x, y ? N * ?

不等式性质的应用 【例 2】 (2012 年高考湖南卷)设 a>b>1,c<0, 给出下列三个结论

c c ① > a b
(A)①

;②a <b ;③logb(a-c)>loga(b-c) ) (D)①②③

c

c

其中所有的正确结论的序号是( (B)①② (C)②③

思维导引:解决本题需要根据已知条件 a>b>1,c<0 结合不等式的性质以及指、对函数的运算、 性质逐个进行判断.
1 ? a ? b ?1? ? 0? 解析:① ab ? ? a?b ?

1 1? ? ? 1 1 c c c c ? b? ? b a?? ? ? ? , ? a? ab ab b a a b ? c?0 ?

∴①正确;
? a ? ?a? a ? b ? 1 ? ? 1? ? ? ? 1? c c ② b ? ? ?b? ? ? a <b , ? ? c c?0 ? b ?0 ?
c

∴②正确;

a ? b ? 1? a ? c ? b ? c ? 1? ③ ? ?? c ? 0 ? a ? b ?1 ? lg(a ? c) ? lg(b ? c) ? 0? ? ?? lg a ? lg b ? 0 ?

lg(a ? c) lg(b ? c) ? lg b lg a

即 logb(a-c)>loga(b-c), ∴③正确. 故选 D.

(1)在判断一个关于不等式的 命题真假时,先把要判断的命题和不等式 性质联系起来考虑,找到与命题相近的性 质,并应用性质判断命题真假. (2)在判断时要注意不等式性质成立的条 件及适用范围.

变式训练 2 1:有下列命题: ①若 a>b,则 c-b<c-a; ②若 a>c,b>c,则 a+b>2c; a b ③若 2 < 2 ,则 a>b; c c 3 3 ④若 x<y,则 x <y . 其中正确命题的序号是 . 解析:由不等式的性质可知①③不正确,② ④正确. 答案:②④

【例 3】

f(a)与 f(b)的大小关系是( (A) f(a)>f(b) (B) f(a)<f(b) (C) f(a)≤f(b)

m x 已知 m ? R,a>b>1,f(x)= ,则 x ?1
)

比较大小

2

(D) f(a)与 f(b)的大小关系不确定

思维导引:计算出 f(a)和 f(b)后,可用作差法比 较,但是在比较时,要注意 m 的取值.

解析:法一

mb m a ∵f(a)= ,f(b)= , a ?1 b ?1
2 2

2

2

b ? ? a m a m ?b 2? ? ? ∴f(a)-f(b)= =m ? a ? 1 b ? 1 ? a ?1 b ? 1

a(b ? 1) ? b(a ? 1) =m · (a ? 1)(b ? 1) b?a =m · , (a ? 1)(b ? 1)
2 2

当 m=0 时,f(a)=f(b); 当 m≠0 时,m >0, 又 a>b>1, ∴f(a)<f(b),
2

即 f(a)≤f(b),故选 C. 法二 特值法.令 a=3,b=2.

3m 则 f(3)= 2
故选 C.

2

,f(2)=2m

2

若 m=0,f(a)=f(b). 若 m≠0,f(a)<f(b).

比较大小常用方法 (1)作差法 一般步骤是①作差;②变形;③定号;④结 论.其中关键是变形,常采用配方、 因式分 解、 有理化等方法把差式变成积式或者完 全平方式.当两个式子都为正数时,有时 也可以先平方再作差.

(2)作商法 ①若 a,b 都是正数,则可用作商法比较大小

a >1 ? a>b; b a =1 ? a=b; b a <1 ? a<b. b

②若 a,b 都是负数,则可用作商法比较大小

a >1 ? a<b; b a =1 ? a=b; b a <1 ? a>b. b

变式训练 3 1:设 a>1,且 m=loga(a +1),n=loga(a-1),p=loga(2a), 则 m,n,p 的大小关系是( (A)n>m>p (B)m>p>n (C)m>n>p (D)p>m>n )
2

解析:由于 a>1,所以 y=logax 在(0,+∞)上为 2 增函数,因此只需比较真数 a +1,a-1,2a 的 大小.

1? ? ∵(a +1)-(a-1)=a -a+2= ? a ? ? 2? ?
2 2

2

7 + >0, 4

∴a +1>a-1, 2 2 又 a +1-2a=(a-1) >0,

2

∴a +1>2a, 又 2a-(a-1)=a+1>0, ∴2a>a-1, ∴a +1>2a>a-1, 因此 loga(a +1)>loga(2a)>loga(a-1), 即 m>p>n,故选 B.
2 2

2

变式训练 3 2:若 a=18 ,b=16 ,则 a 与 b 的大 小关系为 a 解析:可以利用
a 18 ? 18 ? 1 ? 9 ? ? 1 ? ? 9 ? ? =? ? , = 18 = ? ? =? ? ? 2 16 ? 16 ? 8 ? ? 2 ? ? 8 2 ? b 16 ? ? ? ? ?
16
16
16 16 16

16

18

b(填“=”“>”“<”).



9 8 2

?
16

(0,1),

? 9 ? ? <1, ∴? ?8 2 ? ? ? 16 18 ∵18 >0,16 >0,

∴18 <16 . 即 a<b. 答案:<

16

18

【例 1】 设 a>0,b>0,且 a≠b,比较 a b 与 a b 的 大小.

a b

b a

ab 解: b a ab

a b

=a b

a-b

b-a

?a? =? ? ?b?

a ?b

,

a 当 a>b>0 时, b

>1,a-b>0,

?a? ∴ ? ? >1, ?b?

a ?b

a 当 b>a>0 时,0< <1,a-b<0, b
ab ?a? ∴ ? ? >1,即 b a >1, ab ?b?
a b

a ?b

又∵a b >0,a b >0,∴a b >a b .

a b

b a

a b

b a

【例 2】 设 f(x)=ax +bx,1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围. 解:法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.

2

?m ? n ? 4, ?m ? 3, 于是得 ? 解得 ? ?n ? m ? ?2, ?n ? 1,
∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故 5≤f(-2)≤10.

?1 ? a ? b ? 2 法二 由 ? 确定的平面区域如 ?2 ? a ? b ? 4

图阴影部分所示, 当 f(-2)=4a-2b
?3 1? 过点 A ? , ? 时, ?2 2?

3 1 取得最小值 4× -2× =5, 2 2
当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.

特值法在不等式性质中的应用 【典例】 (2012 北京西城模拟)已知 a>b>0,给 出下列四个不等式; ①a >b ;②2 >2 ;③ a +b >2a b. 其中一定成立的不等式为( ) (A)①②③ (B)①②④ (C)①③④ (D)②③④
3 3 2 2 2 a b-1

a ?b

>

a- b

;④

解析:法一 由 a>b>0 可得 a >b ,①成立; 由 a>b>0 可得 a>b-1,而函数 f(x)=2 在 R 上 是增函数, ∴f(a)>f(b-1),即 2 >2 ,②成立; ∵a>b>0,∴ ∴( =2 ab -2b =2 b ( a - b )>0,
a b-1 x

2

2

a> b, a ? b ) -( a - b
2

)

2


3 3

a ?b
2

>

a- b
3 3

,③成立;
2

若 a=3,b=2,则 a +b =35,2a b=36, a +b <2a b,④不成立.故选 A. 法二 令 a=3,b=2, 可以得到①a >b ,②2 >2 ,③
3 3 2 2 a b-1

a ?b
2

>

a - b 均成立,而④a +b >2a b 不成立,
故选 A.

在不等式的性质中,由于涉 及到大小比较等问题,往往可以利用不等式 的性质推导、 转化,但是比较费时费力,而特 值法恰好可以回避这一问题,能够快速准确 的进行判断,在利用特值法时要注意恰当选 值、恰当赋值,而且有必要时还需要多选几 组特值进行验证,以达到万无一失.

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