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2013年高中数学会考模拟试题(三)


高二数学会考模拟试题(一)

2013 年高中数学会考模拟试题(三)
一、选择题(本题有 22 小题,每题 2 分,共 44 分) 1、若 M、N 是两个集合,则下列关系中成立的是 A. ? M B. ( M ? N ) ? M C. ( M ? N ) ? N B.
a b

( D.N
?1
(M

? N )

)

2、若 a>b, c ? R ,则下列命题中成立的是 A. ac ? bc 3、不等式 x ? 1 ? 2 的解集是 4、直线 x ? 3 的倾斜角是 5、下列等式中,成立的是 C. sin( x ? 2? ) ? sin x A.x<3 B. A. sin(
?
2

C. ac

2

? bc

2

D. D.-1<x<3

1 a

?

1 b

B.x>-1
?
2

C.x<-1 或 x>3 C. ?

A.0

D.不存在 B. sin( 2? ? x ) ? ? sin x

? x ) ? cos(

?
2

? x)

D. cos( ? ? x ) ? cos x A.3 或 1 B.3 C.2 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.1 D.既不充分也不

6、互相平行的三条直线,可以确定的平面个数是 7、 “a=0”是“ab=0”的 A.充分但不必要条件 必要条件 8、函数 f ( x ) ?
x ?1 x ?1

的定义域是 A.x<-1 或 x≥1
?1

B.x<-1 且 x≥1

C.x≥1

D.非-1≤x≤1

9 、 函 数 f (x) ? D. x ? 1( x ? 0 )

x ?1 的反函数 f

( x) ?

A . ( x ? 1)

2

B . ( x ? 1) ( x ? R )
2

C . ( x ? 1) ( x ? ? 1)
2

10、在四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,各棱所在直线与棱 AA1 所在直线成异面直线的有( ) A.7 条 B.6 条 C.5 条 D.4 条 11、下列命题中,正确的是 ( ) A.平行于同一平面的两条直线平行 B.与同一平面成等角的两条直线平行 C.与同一平面成相等二面角的两个平面平行 D.若平行平面与同一平面相交,则交线平行 12、已知:点 M1(6,0) 2(0,-2) 、M ,占 M 在 M1M2 的延长线上,分 M1M2 的比为-2,由点 M 的坐标是 ( )A. ( 2 , )
3 4

B. (-6,-4)

C. (-6,4)
n n ?1 7 25

D. (6,-4) B a n ? n ? 1 C a n ? 5 n ? ( ? 1)
2
n

13、 下列通项公式表示的数列为等差数列的是 A a n ? 14、若 sin ? ?
4 5 ,? ? (0,

D.a n ? 3 n ? 1
7 5

?
2

) ,则 cos2 ? 等于

A.

B.-

7 25

C.1

D.

15、双曲线

x

2

?

y

2

? 1 的焦点坐标是

10

6

A. (-2,0)(2,0) ,

B. (0,-2)(0,2)C. , (0,-4)(0,4) ,

D. (-4,0)(4,0) ,

16、把直线 y=-2x 沿向量 a ? ( 2 ,1) 平行,所得直线方程是 A.y=-2x+5 B.y=-2x-5 C.y=-2x+4
1

D.y=-2x-4

高二数学会考模拟试题(一)

17、直角边之和为 12 的直角三角形面积的最大值等于 A.16 B.18 18、 f(x)是周期为 4 的奇函数, (-5) 则 A. 若 且f =1, f(5)=1 B. f(-3)=1 ? ? 19、直线 x-2y+2=0 与直线 3x-y+7=0 的夹角等于 A. ? B.
4 4

C.20 D.不能确定 C. f(1)=-1 D. f(1)=1 3? C. D.arctan7
4

20、若 log A. log
1
a

1
a

? 0 ,则下列各式不成立的是 1
a

(
1 a ? a ) ? log a ( 1 a ? a)

)
1 a ? a ) ? log a ( 1 a ? a)

2 ? log

B. a ?

3

2

3

a C. log a (

D. log a ( (

21、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是
? 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? ? A. ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 B. ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ? ?

)

? 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ? ? C. ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 D. ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ? ?

22、 直线 y ? x ? 3 与曲线 ?

x? | x | 4

?

y

2

? 1 的交点个数是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

9

二、填空题(本题有 6 小题,每题 3 分,共 18 分) 23、点(-2,1)到直线 3x-4y-2=0 的距离等于_________。 24、 ( x ?
1 x ) 的展开式中,含 x 项是_________
7

3

25、在 [ ? ? , ? ] 内,函数 y ? sin( x ?

?
3

) 为增函数的区间是__________。

26、从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中,任选 3 名参加一场比赛,并任意排定他们的出场顺序,不同的方法 共有_______种。 27、从 1、2、3、4、5 这五个数字中,任取三个排成没有重复数字的三位数,所得三位数恰好是 5 的倍数的概率 是_________。 28、a、b 不共线且(a+3b) ? (7a-5b),(a-4b) ? (7a-2b),则 a 与 b 的夹角是 。 三、解答题(本题有 5 小题,共 38 分) 29、 (本题 6 分)化简:
sin( ? ? ? ) sin( ? ? ? ) sin
2

? cos

2

?

?

tan

2 2

?

tan ?

30(6 分)成等差数列的三个数之和为 15,此数列与数列 1、3、9 的对应项的和又成等比数列,求这三个数。 31、 (本题 8 分)如图,已知△ABC 的高 AD、BE 交于 O 点,连结 CO。 (1)用 AC、BC、BO 所示向量表示 AO 所示向量。 (2)用向量证明:CO⊥AB。 32、 (本题 8 分)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,M、N 分别为 AA1、BB1 的中点,E、F 分别 为 CM、D1N 的中点,求:①CM 与 D1N 所成角的余弦值;②线段 EF 的长。

2

高二数学会考模拟试题(一)

33、 (本题 10 分)过点 A(-2,-2)的动直线与抛物线 y2=8x 交于 B、C 两点。求:线段 BC 的中点 P 的 轨迹方程。 数学试题参考答案和评分标准 一、选择题(共 20 个小题,其中第 1—15 小题每小题 2 分;第 16—20 小题每小题 3 分,共 45 分, 题号 答案 题号 答案 1 B 11 B 2 C 12 D 3 D 13 B 4 C 14 D 5 A 15 A
12 5

6 A 16 B 22、21x3

7 A 17 C 23、 [ ?
?
6

8 C 18 B
, 5? 6 ]

9 D 19 C

10 D 20 A
1 5

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)21、 三、解答题(共 5 题,满分 40 分) 26 、 解 : 原 式 =

24、60 25、

(sin ? cos ? ? cos ? sin ? )(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) sin
2

? cos

2

?

+

sin sin

2 2

? cos ?
2

? cos

2

?

?

sin sin

2 2

? cos ? cos

2 2

? ?

?1

27、解:设此三数为 a-d,a,a+d,则 由(1)得 a=5

? a ? d ? a ? a ? d ? 15 ? 2 ? ( a ? d ? 1)( a ? d ? 9 ) ? ( a ? 3 )

(1) (2)

把 a=5 代入(2) 解得:d=2 或 d=-10
? AC ? CB ? BO

∴此三数为 3,5,7 或 15,5,-5。

28、 (1)解: AO ? AB ? BO

(2)证明: ∵AD⊥BC,BE⊥AC∴ AO ? BC ? 0 , BO ? AC ? 0 又∵ CO ? CB ? BO , AB ? AC ? CB ∴ CO ? AB ? ( CB ? BO ) ? ( AC ? CB )
? CB ? AC ? BO ? AC ? ( CB ? BO ) ? CB

? CB ( AC ? CB ? BO ) ? CB ? AO ? 0 ∴CO⊥AB

29、 (A)解法 1:∵VA⊥AB,VA⊥AC∴VA⊥平面 ABC ∴BC⊥VA 又∵BC⊥AB∴平面 VBC⊥平面 VAB ∴二面角 A-VB-C 的平面角为 90° (2)作 AB1 CB 连结 BB1、VB1,则 BB1 CA ∴BV 与 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CA 的夹角为∠VBB1,设为 ? ,由已知得 VB =b +c B1B =CA =a +b VB1 =AV +B1A =AV +BC =c2+a2 ∴ cos ? ?
VB
2

? B1 B

2

? VB 1

2

2 VB ? B 1 B

?

b

2

( b ? c )( a
2 2

2

?b )
2 2

( b ? c )( a
2 2

2

?b )

9分

解法 2:以 B 为原点, BC , BA , AV 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立直角坐标系,则由已知得 B(0,0,0) ,C(a,0,0) ,A(0,b,0) ,V(0,b,c) 4分

3

高二数学会考模拟试题(一)

(1) ∵ BC ? BV ? ( a , 0 , 0 ) ? ( 0 , b , c ) ? 0 ∴BC⊥BC 5 分 又∵BC⊥AB ∴平面 VBC⊥平面 VAB∴二面角 A-VB-C 的平面角为 90° (2) cos ? BV , CA ??
BV ? CA BV ? CA ? b
2

∴BC⊥平面 VAB 6 分 7分

( b ? c )( a
2 2

2

?b )
2 2

(b

2

? c )( a
2

2

?b )

9分

解法 3: (1)同解法 2 得 B(0,0,0) ,C(a,0,0) ,A(0,b,0) ,V(0,b,c) 4 分 解 AD⊥VB 于 D,设 D(0,y,z)则 DA ? ( 0 , b ? y , ? z ) ∵ BC ? BV =(a,0,0)(0,b,c)=0∴ BC ? BV · 又∵ BC ? 平面 ABC, DA ? BV , DA ? 平面 VAB∴ ? BC , DA ? 为二面角 A-VB-C 的平面角
cos ? BC , DA ?? BC ? DA BC ? DA ? ( a ,0 ,0 ) ? ( 0 , b ? y , ? z ) BC ? DA ? 0

5分

6分

∴ ? BC , DA ? 90°

(2)同解法 2 9 分 (B)解法 1:分别以 DA , DC , DD 1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立直角坐标系,则 C(0,2,0) 1(0,0,2) ,D ,M(2,0,1) ,N(2,2,1) (1) cos ? CM , ND 1 ??
CM ? ND 1 CM ? ND 1
?
2

(1 分)

(3 分) (4 分)

?
2

( 2 , ? 2 ,1) ? ( ? 2 , ? 2 ,1) 2 ? (?2) ? 1 ?
2

1 9

(5 分)

(?2) ? (?2) ? 1
2

(注:若考生得 cos ? CM , D 1 N ?? ? (2) ∵ DE ? DM ?
DF ? DD 1 ? 1 2 1 2

1 9

,且未去负号,则扣 1 分)
1 2 ( ? 2 , 2 , ? 1) ? (1,1, 1 2 ( 2 , 2 , ? 1) ? (1,1, 1 2 3 2 ) )

MC ? ( 2 , 0 ,1) ?

(6 分) (7 分) (8 分) (9 分)

D 1 N ? ( 0 ,0 , 2 ) ?

∴ EF ? DF ? DE ? (0,0,1) ∴ EF ?
1 ?1

解法 2: (1)设 P 为 DD1 的中点,连结 PM,则 MP ∴MC 与 PB 相交,且交点为 E,则 EB=EC=
1 2 MC ? 1 2 CA
2

BC

1分

? AM

2

?

3 2

(3 分)

又∵PD1 BN ∴D1N PB ∴CM、D1N 所成角为∠BEC 或其补角 ∴ cos ? BEC ?
EB
2

(4 分)
1 9

? EC

2

? BC

2

2 ? EB ? EC

?

4

高二数学会考模拟试题(一)

即 CM、D1N 所成角的余弦值为

1 9

(5 分) (同解法 1(1)注)

(2)设截面 ACC1A1 与截面 BDD1B1 交于 OO1,则 (6 分) 在矩形 ACC1A1 中∵O 为 AC 中点,O1 为 A1C1 中点, ∴OO1 AA1 同理 OO1 在△ACM 中,O 为 AC 中点,OO1 同理 O1F=
1 2 B1 N ? 1 2

BB1
1 2

(7 分) (8 分)

AM∴OO1 过点 CM 中点 E,且 OE=
1 2 ? 1 2 ?1

1 2

AM ?

∴EF= 2 ?

(9 分) (1 分)

30、解法 1:设 l:y=k(x+2)-2,P(x0,y0),c:y2=8x,则
? y ? k ( x ? 2) ? 2 ? 2 ? y ? 8x
y?2 k

(1) (2)

(2 分) (3 分)
2

当 k=0 时,l 与 c 只有一个交点,不合题意,∴k≠0 由(1)得: x ?
?2

(3) (3)代入(2) y ? 8 ( : (4)
4 y0
2

y?2 k

? 2)

整理得:ky2-8y-16+16k=0 ∴ y0 ?
8 2k ? 4 k

(5 分) (7 分)

∴k ?

(5)

(5)代入(3) ,整理得: ( y 0 ? 1) ? 4 x 0 ? 9

(8 分)

又∵当(4)有不相等的两个实数根时 64-4k(16k-16)>0 即 k2-k-1<0 ∴
1? 2
1? 2

5

? k ?

1? 2
5

5

又∴k≠0



1? 2

5

? k ? 0或 0 ? k ?

1? 2

5

将(5)代入得

?

4 y0

? 0或 0 ?

4 y0

?

1? 2

5

∴ y0 ? ?2 ?

5或 y 0 ? 2 5 ? 2

10 分

(注:考生若得 y 定义域为“ y ? ? 2 ? 2 5 或 y ? 2 5 ? 2 ” ,不扣分) 解法 2:设 l:y=k(x+2)-2,P(x0,y0),c:y2=8x,则 y0+2=k(x0+2) (1) 由?
? y ? k ( x ? 2) ? 2 ?y
2

(1 分) (2 分)

? 8x

得[k(x+2)-2]2=8x (4 分) (5 分) (3) (6 分)

即:k2x2+(4k2+4k-8)x+4k2-8k+4=0 (2) ∵当 k=0 时,l 与 c 只有一个交点,不合题意,∴k≠0 ∴ x0 ?
4k
2

? 4k ? 8 2k
2

?

2k

2

? 2k ? 4 k
2

整理得:k2(x0+2)=2k+4

(1)代入(3) :k(y0+2)=2k+4∴ k ?

4 y0

(4)

(7 分)

(4)代入(1) y 0 ? 2 ? :

4 y0

( x 0 ? 2 ) 即: ( y 0 ? 1)

2

? 4 x0 ? 9

(8 分)

5

高二数学会考模拟试题(一)

又∵当(2)有不相等的两个实数根时(4k -4k-8)2-4k2(4k2-8k+4)>0 即(k2―k―2)2―k2(k―1)2>0[k2―k―2+k(k-1)][k2―k―2―k(k-1)]>0 ∴k2-k-1<0 下同解法 1。 (10 分)

2

6


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