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2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系练习北师大版必修2(新)


6.1

垂直关系的判定
A组 )

1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 BC1 垂直的平面是( A.平面 DD1C1C C.平面 A1B1C1D1 答案:B 2.下列结论正确的是( ) A.若直线 a∥平面 α ,直线 b⊥a,b? 平面 β ,则 α ⊥β B.若直线 a⊥直线 b,a⊥平面 α ,b⊥平面 β

,则 α ⊥β B.平面 A1B1CD D.平面 A1DB

解析:因为易证 BC1⊥B1C,且 CD⊥平面 BCC1B1,所以 CD⊥BC1.因为 B1C∩CD=C,所以 BC1⊥平面 A1B1CD.

C.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 解析:A 选项中满足条件的平面 β 与平面 α 可能垂直,也可能平行或相交,故 A 错;C 选项中当平面 外的直线与平面垂直时,过该直线有无数个平面与已知平面垂直,故 C 错;过平面外一点有无数个平 面与已知平面垂直,故 D 错. 答案:B

3. 导学号 62180044 如图所示,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论中错误的个数是(

)

①BD∥平面 CB1D1; ②AC1⊥BD; ③AC1⊥平面 CB1D1.
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:因为 BD∥B1D1,所以①正确;因为 BD⊥AC,BD⊥CC1,所以 BD⊥平面 ACC1,所以 BD⊥AC1,故②正确; 因为 AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以 AC1⊥平面 CB1D1,故①②③全正确. 答案:A 4.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面 ABC,PA=8,则点 P 到 BC 的距离是( A. B.2 C.3 D.4 )

解析:如图所示,作 PD⊥BC 于点 D,连接 AD.

1

因为 PA⊥平面 ABC, 所以 PA⊥BC,PD∩PA=P, 所以 CB⊥平面 PAD,所以 AD⊥BC. 因为 AB=AC,所以 CD=BD=3. 在 Rt△ACD 中,AC=5,CD=3,所以 AD=4, 在 Rt△PAD 中,PA=8,AD=4, 所以 PD==4,故选 D. 答案:D 5.在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC 解析:如图所示,∵BC∥DF,∴BC∥平面 PDF,故 A 正确. )

由题设知 BC⊥PE,BC⊥AE,∴BC⊥平面 PAE.

∴DF⊥平面 PAE,故 B 正确. ∵BC⊥平面 PAE,∴平面 ABC⊥平面 PAE,故 D 正确.
答案:C 6.若直线 l⊥平面 α ,直线 m∥l,则 m 与 α 的位置关系是 答案:m⊥α 7.已知 A 是△BCD 所在平面外一点,则△ABC,△ABD,△ACD,△BCD 中,直角三角形最多有 个.

.

解析:当三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时,如图,此时直角三角形最多为 4 个. 答案:4 8.如图所示,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿 AE,AF 及 EF 把这 个正方形折成一个空间图形,使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 H,那么给出下面四个结论:

2

①AH⊥平面 EFH;②AG⊥平面 EFH; ③HF⊥平面 AEF;④HG⊥平面 AEF.
其中正确命题的序号是 答案:① 9.在空间四边形 ABCD 中,若 AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AD.

.

解析:在这个空间图形中,AH⊥HF,AH⊥HE,HF∩HE=H,所以 AH⊥平面 EFH.

证明:取 BC 的中点 M,连接 AM,MD.∵AB=AC,DB=DC,

∴AM⊥BC,DM⊥BC.
又 AM∩MD=M,

∴BC⊥平面 AMD. ∵AD? 平面 AMD,∴BC⊥AD.

10. 导学号 62180045 如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,DD1=2,点 P 为 DD1 的中点.求证: (1)平面 PAC⊥平面 BDD1; (2)直线 PB1⊥平面 PAC. 证明:(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1, 所以底面 ABCD 是正方形,则 AC⊥BD. 又 DD1⊥平面 ABCD,所以 DD1⊥AC. 因为 BD∩DD1=D,所以 AC⊥平面 BDD1. 因为 AC? 平面 PAC,所以平面 PAC⊥平面 BDD1. (2)连接 B1C,由题知 PC =2,P=3,B1C =5, 所以△PB1C 是直角三角形,所以 PB1⊥PC. 同理可得 PB1⊥PA. 因为 PC∩PA=P,所以直线 PB1⊥平面 PAC. B组
2 2

3

1.如图所示,BC 是 Rt△ABC 的斜边,过 A 作△ABC 所在平面 α 的垂线 AP,连接 PB,PC,过 A 作 AD⊥BC 于点 D,连接 PD,那么图中直角三角形的个数是( A.4 B.6 C.7 D.8 )

解析:容易证得 PA⊥BC,又 AD⊥BC,PA∩AD=A,所以 BC⊥平面 PAD,从而图 中:△ABC,△PAB,△PAC,△PAD,△ABD,△ACD,△PBD,△PCD 均为直角三角形.共有 8 个. 答案:D

2. 导学号 62180046 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 内运动,并且总保持 AP ⊥BD1,则动点 P 在( A.线段 B1C 上 B.线段 BC1 上 C.BB1 中点与 CC1 中点的连线上 D.B1C1 中点与 BC 中点的连线上 解析:易知 BD1⊥平面 AB1C,故 P∈B1C. 答案:A )

3.如图所示,已知四边形 ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,则图中所有互相垂直的平面共有( A.8 对 C.6 对 B.7 对 D.5 对

)

解析:由 PA⊥平面 ABCD 可得平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAC⊥平面 ABCD.又

ABCD 为正方形,CD⊥AD,因为 PA⊥CD,PA∩AD=A,所以 CD⊥平面 PAD,所以平面 PCD⊥平面 PAD,平面 PAB⊥平面 PAD.同理可得,平面 PBC⊥平面 PAB,平面 PAC⊥平面 PBD.共 7 对.
答案:B 4.已知矩形 ABCD,AB=1,BC=,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中 ( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 解析:若 AB⊥CD,由于 BC⊥CD,由线面垂直的判定可得 CD⊥平面 ACB,则有 CD⊥AC,而

AB=CD=1,BC=AD=,可得 AC=1,那么存在这样的位置,使得 AB⊥CD 成立.

4

答案:B 5.在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论:

①BC∥平面 PDF;②DF⊥平面 PAE; ③平面 PDF⊥平面 ABC;④平面 PAE⊥平面 PBC.
其中正确结论的序号是 答案:①②④

.

解析:画出图形,由判定定理得①②④正确.

6. 导学号 62180047 如图所示,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,DE⊥平面 ABCD. 求证:(1)AB∥EF; (2)平面 BCF⊥平面 CDEF. 证明:(1)因为四边形 ABCD 是矩形, 所以 AB∥CD,CD? 平面 CDEF,AB?平面 CDEF, 所以 AB∥平面 CDEF.又 AB? 平面 ABFE, 且平面 ABFE∩平面 CDEF=EF,所以 AB∥EF. (2)因为 DE⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD, 所以 DE⊥BC. 因为 BC⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE? 平面 CDEF, 所以 BC⊥平面 CDEF.又因为 BC? 平面 BCF, 所以平面 BCF⊥平面 CDEF. 7.如下图所示,已知在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+,过点 A 作 AE⊥CD,垂足 为 E,G,F 分别为 AD,CE 的中点,现将△ADE 沿 AE 折叠,使得 DE⊥EC.

(1)求证:BC⊥平面 CDE; (2)求证:FG∥平面 BCD. (1)证明:由已知得 DE⊥AE,∵DE⊥EC,AE∩EC=E,

∴DE⊥平面 ABCE.又∵BC? 平面 ABCE,∴DE⊥BC.
又 BC⊥CE,DE∩CE=E,∴BC⊥平面 DCE. (2)证明:取 AB 中点 H,连接 GH,FH.则 GH∥BD,FH∥BC,则易得 GH∥平面 BCD,FH∥平面 BCD. 则易得平面 FHG∥平面 BCD,∴GF∥平面 BCD.

5


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