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角平分线的性质1 教案


角平分线的性质 1 教案
教学目标: (1)掌握角平分线的性质定理;
(2)能够运用性质定理证明两条线段相等;

教学重点:角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点:角平分线定理的应用; 教学方法:引导学生发现、探索、研究问题,归纳结论的方法 教学过程:
1、 复习引入 ★ 什么是角的平分线? ★怎样画一个角的平分线?? 操作 1

)不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?(对折) 2) 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢? 如图,是一个角平分仪,其中 AB=AD,BC=DC。 原理:将点 A 放在角的顶点,AB 和 AD 沿着角的 两边放下,沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是角平分线,你能说明它的道理吗?

A

证明: 在△ACD 和△ACB 中 AD=AB(已知) DC=BC(已知) CA=CA(公共边) ∴ △ACD≌ △ACB(SSS) ∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应边相等) ∴AC 平分∠DAB(角平分线的定义)

D

B

3)根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(要求尺规作图)

2、 探究新知 (1)尺规作角的平分线

C E

画法: 1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N. 2) 分别以M, N为圆心. 大于 3)作射线 OC. 则射线OC即为所求.

1 MN的长为半径作弧. 两弧在∠AOB 的内部交于C. 2

试一试: 平分平角∠AOB.反向延长OC.得直线CD,则直线CD与直线AB是什么关 系? 结论: 作平角的平分线即可平分平角, 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。 (2)探究角平分线的性质 实验:将∠AOB 对折后,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开, 观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?

角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 下面证明之。 已知:如图,OC 平分∠AOB,点 P 在 OC 上,PD⊥OA 于点 D,PE⊥OB 于点 E 求证: PD=PE

证明:∵OC 平分∠ AOB (已知) ∴ ∠AOC= ∠BOC(角平分线的定义) ∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB(已知) ∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定义) 在△PDO 和△PEO 中 ∠PDO= ∠PEO(已证) ∠AOC= ∠BOC (已证) OP=OP (公共边) ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等) 证明几何命题的一般步骤: 1、明确命题的已知和求证
O D P E B A

C

图1

2、根据题意,画出图形,并用数学符号 表示已知和求证; 3、经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。

思考:如图所示 OC 是∠AOB 的平分线,P 是 OC 上任意一点,问 PE=PD 吗?为什么?

E O D P

A C
B

小试牛刀:( 2007 广东茂名)在 Rt?ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D,CD=2,则点 D 到 AB 的距离是( )

A

B
3.例题讲解

D

C

A.1

B.2

C.3

D.4

例 1. 已知:如图,∠C=∠C′=90°,∠ABC=∠ABC ′. 求证:(1) AC=AC′ ; (2)BC=BC′ .(要求不用三角形全等)

A

C C′ B
练一练 1.在 Rt△ABC 中,BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于 E,则: 若 AB=10,BC=8,AC=6。求 BE,AE 的长和△AED 的周长。

E

A D

B

C

2.如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F。 求证:EB=FC

A

E B
5. 小结与拓展 本节课我学到了: 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

F D C
A D P O E B

C

图2

∵OC 是∠AOB 的平分线,P 是 OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).

方法:用尺规作角的平分线.


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