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河南省郑州市2013届高三第三次测验预测试题(word版)数学文


2013 年高中毕业年级第三次质量预测 文科数学试题卷
本试卷分第 I 卷(选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分.考试时间 120 分钟, 满分 150 分. 考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效. 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小齒 5 分,共 60 分,在每小題给出的四个选项中,只 有 一项是符合题目要求的

. 1. 已知集合 A={(x,y) |x+y-1=0,x,y ∈ R},B={(x,y) | x2+y2=1,x,y ∈ R },则 集合 A ? B 的元素个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知 x,y ∈ R,i 为虚数单位,若 x-1+yi= A. 2 B. 3

2i ,则 x+y 的值为 1+ i
D. 5

C. 4

3. 下列命题中的假命题是 A ?x ∈ R, x 2 ≥ 0 C ?x ∈ R, lg x < 1 B ?x ∈ R,2 x ?1 > 0 D ?x ∈ R, sin x + cos x = 2

3 2 4. 设 a 为实数,函数 f(x)=x +ax +(a-3)x 的导函数为 f ′( x) ,且 f ′( x) 是偶函数, 则曲

线:y=f(x)在原点处的切线方程为 A. Y=3X B. Y=-3X C. y=-3x+1 D. Y=3X—1

5. 已知实数:x,y 取值如下表:

? ==0. 95x+a,则 a 的值是 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y
A. 1.30 B. 1. 45 C. 1. 65 D. 1. 80

6. 已知直线 l 丄平面 a,直线 m ? 平面β给出下列命题: ①a//β=>l 丄 m;②a 丄β=>l//m ③l//m=>a 丄β;④l 丄 m=>a// β 其中正确命题的序号是 A.①②③ B.②③④

C.①③

D.②④

7. 如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出 相应的 y 值,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等, 则这样的 x 值有 A. 1 个 C 3个 B D. 4 个 . 2 个

? y ≥ x, ? 8. 已知 z=3x+y,x,y 满足 ?2 x + y ≤ 3 ,且 z 的最大值是 ?x ≥ m ?
最小值的 3 倍,则 m 的值是 A.

1 6

B.

1 5

C .

1 4

D.

1 3

9. 抛物线 y = 8x 的准线与双曲线

2

x2 y2 ? = 1 的两条渐近线围成的三角形的面积为 12 4

A.

2 3 4 3 B. C. 3 3

3 D. 2 3 3

10 函数 y = 2 cos(ωx + ? )(ω > 0) 且 | ? |<

π
2

, 在区间 [?

π π

, ] 上单调递增, 且函数值 从 3 6

-2 增大到 2,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 A. 1 B.

2

C.

3

D.

6+ 2 2

11.已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线, 经椭圆反射后, 反射光 线 经过椭圆的另一个焦点.今有一水平放置的楠圆形台球盘,点 A、B 是它的两个焦点,长轴 长 为 2a,焦距为 2c,当静止放在点 A 的小球(半径不计) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹 后 再回到点 A,则小球经过的路径是 A. 4a B.2(a-c) C. 2(a+c) D.以上答案都有可能

12. 在ΔABC 中,a,b,c 分别是角 A ,B,C 的对边,A= 6 ,b=2,且 1 + 2cos(B + C) =0, 则ΔABC 的 BC 边上的高等于 A.

2

B.

6 2

C.

6+ 2 2

D.

3 +1 2

第 II 卷 本卷包括必考題和选考題两部分.第 13 題 考生根据要求作答. 二、填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分. 13.如图,在正方形内有一扇形(见阴影部分) ,扇形对应的圆心是 正 方形的一顶点,半径为正方形的边长.在这个图形上随机撒一粒黄 豆,它 落在扇形外正方形内的概率为______.(用分数表示) 14.已知数列{an}的通项公式 an=2013·sin +a2013=_____. 15.已已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 4,8,h,且它的 8 个顶点都在同一个 球 面上,这个球面的表面积为 100 π ,则 h= ____.. 16. 已知函数:Y=F(X)的图象与函数 y=2-x-1 的图象关于直线 Y=X 对称,则 F(3)=____ 三.解答題:本大題共 6 个小題,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.> 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a2,,a3, a4+1 成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式; (II)设 bn=an+ 2 an ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn 21 題为必考題, ?第 第 22 題 ? 24 題为选考 題.

nπ ,则 a1+a2 +… 2

18. (本小题满分 12 分) 2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》,其中规定:居民区 的 PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米.某城市环保部门在 2013 年 1 月 1 日到 2013 年 4 月 30 日这 120 天对某居民区的 PM2. 5 平均浓度的监测数据统计如下:

(I)在这 120 天中抽取 30 天的数据做进一步分析,每一组应抽取多少天? (II)在(I)中所抽取的样本 PM2. 5 的平均浓度超过 75(微克/立方米)的若干天中,随 机 抽取 2 天,求恰好有一天平均浓度超过 115(微克/立方米)的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示的几何体中,四边形 PDCE 为矩形,ABCD 为直 角梯形,且 ∠BAD = ∠ADC 90°,平面 PDCE 丄平面 ABCD,AB=AD=

1 CD=1,PD= 2 2

(I)若 M 为 PA 的中点,求证:AC//平面 MDE; (II)求原几何体被平面 PBD 所分成的左右两部分的体积比

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 6 ,短轴 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率 e = 2 a b 3

右端点为 A,P(1,0)为线段 QA 的中点. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过点 p 任作一条直线与椭圆 c 相交于两点 M,N,试问在 x 轴上是否存在定点 Q,使得 ∠MQP = ∠NQP ,若存在,求出点 Q 的 坐标;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f(x)=(2-a)lnx-1,g(x)=lnx+ax +x(a ∈ R),令 ? ( x) = f ( x) + g ′( x)

(I)当 a=0 时,求 ? ( x) 的极值; (II)当 a<-2 时,求 ? ( x) 的单调区间; (III )当-3<a< -2 时, 若对 ?l1 , l 2 ∈ [1,3] , 使得 | ? (l1 ) ? ? (l 2 ) |< (m + ln 2)a ? 2 ln 3 恒成立,求实数 m 的取值范围.

选做題(本小題满分 10 分, 请从 22、 23、 24 三个小题中任选一題作答, 并用铅笔在对应 方 框中涂黑) 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图,AB 是 0 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD, CGE 都是 O 的割线,已知 AC=AB. (1)求证:FG//AC; (II)若 CG=1,CD=4,求

DE 的值. GF

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐

1 ? x = 2 ? t, ? 2 ? 标系,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数). 3 ?y = 1+ t, ? 2 ?
(I)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标系下的方程; (II)设曲线 C 经过伸缩变换 ?

? x ′ = x, 得到曲线 C ′ 设曲线 C ′ 上任一点为 M(x,y),求 ? y ′ = 2 y,

3x +

1 y 的取值范围. 2

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x) = log2(|2x-1|+|x+2|-a). (I)当 a = 4 时,求函数 f(x)的定义域; (II)若对任意的 x ∈ R,都有 f(x) ≥ 2 成立,求实数 a 的取值范围.

2013 年高中毕业年级第三次质量预测 数学(文科) 参考答案 一、选择题 CBDBB CCDAA 二、填空题 13. DC

4 ?π 4

14. 2013

15. 2 5

16. -2

三、解答题 17.解: (Ⅰ)设数列 {a n }的公差为 d ,由 a1 = 2 和 a 2 , a 3 , a 4 + 1 成等比数列,得

(2 + 2d ) 2 = (2 + d )(3 + 3d ) ,
分 解得 d = 2 ,或 d = ?1 ,

………………………………2

当 d = ?1 时, a3 = 0 ,与 a 2 , a 3 , a 4 + 1 成等比数列矛盾,舍去.

∴d = 2 .
4分

………………………………

∴ a n = a1 + (n ? 1)d = 2 + 2(n ? 1) = 2n, 即数列 {a n }的通项公式为 a n = 2n. ………………6
分 (Ⅱ)? bn = 2n + 2 2 n = 2n + 4 n , ……………………………… 8 分

∴ S n = 2 + 41 + 4 + 4 2 + ? ? ? + 2n + 4 n = (2 + 4 + ? ? ? + 2n ) + 41 + 4 2 + ? ? ? + 4 n

(

) (

)

(

)

(

)

n ( 2 + 2n ) 4 (1 ? 4 = + 2 1? 4
12 分

n

)=

n2 + n +

4 n ( 4 ? 1) . 3

………………………………

18. 解: (Ⅰ)这 120 天中抽取 30 天,应采取分层抽样, 第一组抽取 32 ×

30 30 = 8 天;第二组抽取 64 × = 16 天; 120 120 30 30 第三组抽取 16 × = 4 天;第四组抽取 8 × = 2 天. 120 120


……………………4

(Ⅱ)设 PM2.5 的平均浓度在(75,115]内的 4 天记为 A1 , A2 , A3 , A4 ,PM2.5 的平均浓度在 115 以上的两天记为 B1 , B2 .所以 6 天任取 2 天的情况有:

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 B1 , A1 B2 , A2 A3 , A2 A4 , A2 B1 , A2 B2 ,

A3 A4 , A3 B1 , A3 B2 , A4 B1 , A4 B2 , B1 B2 共 15
种. ……………………8 分

记“恰好有一天平均浓度超过 115(微克/立方米)”为事件 A,其中符合条件的有:

A1 B1 , A1 B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 , A4 B1 , A4 B2 共 8
种. ……………………10 分

所求事件 A 的概率

P ( A) =

8 . 15

……………………12 分

19. (Ⅰ) 证明: 连结 PC ,交 DE 于 N ,连结 MN , 在 DPAC 中 , M , N 分 别 为 两 腰 PA, PC 的 中 点,∴ MN // AC. ………………3 分 因为 MN ? 面MDE, AC ? 面MDE, 所以 AC // 平面 MDE . ………………6 分 (Ⅱ)由四边形 PDCE 为矩形,知 PD ⊥ DC , 又平面 PDCE ⊥ 平面 ABCD ,

∴ PD ⊥ 平面ABD,
三棱锥 P ? ABD 的体积为

VP ? AB D =


1 1 1 1 2 . S DABD × PD = × AB × AD × PD = × 1 × 1 × 2 = 3 3 2 6 6

…………8

由已知 AD ⊥ DC , 又平面 PDCE ⊥ 平面 ABCD ,

∴ AD ⊥ 平面PDCE , ? AB // CD, 四棱锥的体积为
V B ? PDCE = V A? PDCE =
0分

1 1 1 2 2 .………1 S 矩形PDCE × AD = CD × PD × AD = × 2 × 2 × 1 = 3 3 3 3

2 VP ? AB D 1 ? = 6 = , VB ? PDCE 2 2 4 3
所 以 原 几 何 体 被 平 面

PBD 所 分 成 的 两 部 分 的 体 积 比

1 . 4

……… ………………12 分

20.解:(Ⅰ)由已知, b = 2 ,又 e =

6 , 3

y



a2 ? 4 6 ,解得 a = 2 3 , = a 3
M
…………………4 分

所以椭圆方程为

x2 y2 + = 1. 4 12

O

P

A

Q

x

(Ⅱ)存在.证明如下: N 假设存在点 Q ( x 0 ,0) 满足题设条件. 当 MN ⊥ x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有 ∠MQP = ∠NQP ,即 x0 ∈ R ; …………6 分 当 MN 与 x 轴不垂直时,设 MN 所在直线的方程为 = y k ( x ? 1) ,代入椭圆方程化简得:

(k 2 + 3) x 2 ? 2k 2 x + k 2 ? 12 = 0 ,
设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则 x1, 2 =

2k 2 ± 4k 4 ? 4(k 2 + 3)(k 2 ? 12) 2(k 2 + 3)

=

k2 ±3 k2 + 4 k2 +3

x1 + x 2 =
k MQ + k NQ =

2k 2 k 2 ? 12 . x x , = 1 2 k2 +3 k2 +3
y1 y2 k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) += + x1 ? x0 x 2 ? x0 x1 ? x0 x2 ? x0
= k ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) + k ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) , ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 )
………………………9 分

∵ ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) + ( x2 ? 1)( x1 ? x0 )= 2 x1 x2 ? (1 + x0 )( x1 + x2 ) + 2 x0

=

2(k 2 ? 12) 2(1 + x0 )k 2 ? + 2 x0 k2 +3 k2 +3

, ……………………………………11 分

若 ∠MQP = ∠NQP , 则 k MQ + k NQ = 0 , 即 k[

2(k 2 ? 12) 2(1 + x0 )k 2 ? + 2 x0 k2 +3 k2 +3

]= 0,

整理得 k ( x0 ? 4) = 0,

∵ k ∈ R ,∴ x0 = 4 .∴ Q (4,0) . 综上,在 x 轴上存在定点 Q (4,0) ,使得 ∠MQP = ∠NQP . ………………………12 分 21.解: (Ⅰ) ? g / ( x) = + 2ax + 1, ? ( x) = (2 ? a ) ln x +

1 x

1 + 2ax, 其定义域为 x

(0,+∞ ) .…………1 分
当 a = 0 时,

2 1 2x ?1 1 / ( x ) = ? = 2 . φ x x2 x x, 1 令 ? ' ( x) = 0, 解得 x = . 2 1 1 当 0 < x < 时, ? ' ( x) < 0; 当 x > 时, ? ' ( x) > 0. 2 2

? ( x) = 2 ln x +

……………………2 分

所以 ? ( x) 的单调递减区间为 ? 0, ?, 单调递增区间为 ? ,+∞ ?;

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

所以当 x = 值.

1 ?1? 时, ?( x) 有极小值 ? ? ? = 2 ? 2 ln 2, 无极大 2 ?2?
……………………4 分

(Ⅱ) ? ? ( x) = (2 ? a ) ln x +

1 + 2ax, x
2

1 a (2 x ? 1)( x + ) 2?a 1 2ax + (2 ? a )x ? 1 a ( x > 0 ). ∴ ? ' ( x) = ? 2 + 2a = = 2 2 x x x x
……5 分 当 a < ?2 时, ?

……

1 1 1 1 < .令 ? ' ( x) < 0 ,得 0 < x < ? ,或 x > . a 2 a 2 1 1 令 ? ' ( x) > 0 ,得 ? < x < . a 2

当 a < ?2 时, ? ( x) 的单调递减区间为 ? 0,?

? ?

1? ?1 ? ?, ? ,+∞ ?; 单调递增区间为 a? ?2 ?

? 1 1? ? ? , ?. ? a 2?

…………8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 ? 3 < a < ?2 时, ? ( x) 在 [1,3]上单调递减, 所以 ? ( x) max = ? (1) = 2a + 1, ? ( x) min = ? (3) = (2 ? a ) ln 3 + 所以

1 + 6a. 3

? (l1 ) ? ? (l2 ) max = ? (1) ? ? (3) = (2a + 1) ? ?(2 ? a ) ln 3 + + 6a ? =
因为对 ?λ1 , λ 2 ∈ [1,3] , φ (l1 ) ? φ (l2 ) < (m + ln 2)a ? 2 ln 3 恒成立, 所以

? ?

1 3

? ?

2 ? 4a + (a ? 2 ln 3). 3

2 ? 4a + ( a ? 2 ln 3) < ( m + ln 2 ) a ? 2 ln 3 , 3
分 整理得 ma >

……………………………………10

2 3 ? 4a + a ln , 3 2 3 2 又 a < 0 ,所以 m < ln + ? 4, 2 3a 13 3 13 2 28 1 2 2 又 ? 3 < a < ?2 ,得 ? < ? 4 < ? , 所以 m ≤ ? + ln . <? , ? < 3 2 3 3a 9 3 3a 9 故实数 m 的取值范围是

13 3? ? ? ?∞, ? + ln ? . 3 2? ?

……………………………………12 分

22.解:(Ⅰ)因为 AB 为切线, AE 为割线,
2 = AD ? AE , 所以 AB

又因为 AC = AB ,所以 AD ? AE = AC 2 .

G O

C

AD AC = ∠DAC , ,又因为 ∠EAC = 所以 AC AE 所以 △ ADC ∽ △ ACE , ∠EGF , ∠ACE ,又因为 ∠ADC = 所以 ∠ADC = ∠ACE , 所以 ∠EGF = 所以 FG // AC . ……………………5 分 (Ⅱ)由题意可得: G , E , D, F 四点共圆,

F
D A

E
B
第 22 题图

∴ ∠CGF = ∠CDE , ∠CFG = ∠CED .
∴ DCGF ∽ DCDE .



DE CD . = GF CG

又? CG = 1, CD = 4 ,



DE =4. GF

………………………………10 分

23.解: (Ⅰ)直线 l 的直角坐标方程

3 x + y ? 2 3 ? 1 = 0,
曲线 C 的直角坐标方程

………………………………2 分

x2 + y2 = 4 .
(Ⅱ)曲线 C 经过伸缩变换 ?

………………………………4 分

? x ′ = x, y2 2 得到曲线 C ′ 的方程为 x + = 4, 4 ? y′ = 2 y

则点 M 参数方程为 ?

? x = 2 cos θ , 1 (θ参数) ,代入 3 x + y 得, 2 ? y = 4 sin θ

π 1 1 y = 3 ? 2 cos θ + ? 4 sin θ = 2 sin θ + 2 3 cos θ = 4 sin(θ + ) , 2 3 2 1 ∴ 3 x + y 的取值范围为 2
3x +

[? 4,4].

………………………………10 分

24.解: (Ⅰ)由题意得 f ( x) = log 2 ( 2 x ? 1 + x + 2 ? 4) ,

2x ? 1 + x + 2 ? 4 > 0 .

5 当x < ?2时, ? (2 x ? 1) ? ( x + 2) ? 4 > 0 , ∴ x < ? , 3

即 x < ?2 .
1 当 ? 2 ≤ x ≤ 时, ? (2 x ? 1) + ( x + 2) ? 4 > 0,∴ x < ?1 , 2

即 ? 2 ≤ x < ?1 ,
1 (2 x ? 1) + ( x + 2) ? 4 > 0,∴ x > 1 . 当x > 时, 2

即 x > 1.
综 上 所 述 , 函 数

f ( x)











{x x < ?1, 或x > 1}.

………………………………5 分

(Ⅱ)由题意得 log 2 ( 2 x ? 1 + x + 2 ? a ) ≥ 2 = log 2 4 恒成立, 即 2 x ? 1 + x + 2 ? a > 4 ,∴ 2 x ? 1 + x + 2 ? 4 > a 恒成立,

? ?? 3x ? 5, x < ?2, ? 1 ? 令 g ( x) = 2 x ? 1 + x + 2 ? 4 = ?? x ? 1,?2 ≤ x ≤ , 2 ? 1 ? 3x ? 3, x > , ? 2 ?

显然 x = 分

3 1 3 时,g ( x) 取得最小值 ? , ∴a < ? . 2 2 2

………………………………10

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