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两角和与差的正弦、余弦和正切公式


第 5讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的 正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

板块一 知识梳理· 自主学习

/> [必备知识] 考点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点2

二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名 二倍角的正弦 sin2α= 2sinαcosα 二倍角的余弦 cos2α= cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1 二倍角的正切 公式

2tanα 2 tan2α= 1-tan α

[必会结论] 1.降幂公式:cos2α= 1+cos2α 1-cos2α ,sin2α= . 2 2

2.升幂公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α. 3.公式变形:tanα± tanβ=tan(α± β)(1?tanα· tanβ).

[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( √ ) 2.两角和与差的正切公式中的角α,β是任意的.( × ) 1 3.cos80° cos20° -sin80° sin20° =cos(80° -20° )=cos60° = .( × ) 2
? π? ?.( 4.sinα± cosα= 2sin?α± ) ? 4? √

1-tanθ ?π ? 5. =tan?4+θ?.( × ) 1+tanθ ? ? 6.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.( √ ) 7.在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.( × )

二、小题快练 1.[课本改编]计算sin43° cos13° +sin47° cos103° 的结果等于( A. C. 1 2 2 2 B. D. 3 3 3 2 )

解析

1 原式=sin43° cos13° -cos43° sin13° =sin(43° -13° )=sin30° = . 2

1 2.[2016· 黑龙江阶段考试]已知sinα= ,则cos2α等于( 5 A.- 2 5 B. 2 5

)

23 C.- 25

23 D. 25

解析

2 23 本题考查二倍角公式的应用.cos2α=1-2sin2α=1- = . 25 25

1 1 3.[2015· 重庆高考]若tanα= ,tan(α+β)= ,则tanβ=( 3 2 A. C. 1 7 1 B. 6 D. 5 6

)

5 7

解析

1 1 - tan?α+β?-tanα 2 3 1 tanβ=tan[(α+β)-α]= = = . 1 1 7 1+tan?α+β?tanα 1+ × 2 3

4.[课本改编] A.2+ 3 C.2

sin7° +cos15° sin8° 的值为( cos7° -sin15° sin8° B.2- 3 1 D. 2

)

解析 原式= 1-

sin?15° -8° ?+cos15° sin8° sin15° tan45° -tan30° cos8° = =tan15° =tan(45° -30° )= = cos8° cos?15° -8° ?-sin15° sin8° cos15° 1+tan45° tan30°

3 3-1 3 = =2- 3. 3 3+1 1+ 3

3- 2 π 2 5.[2015· 浙江高考]函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是________ ,最小值是________ .

解析 3- 2 . 2

1-cos2x 1 π? 3 2 ? 2π f(x)= + sin2x+1= sin?2x-4?+ ,所以函数f(x)的最小正周期T= =π,最小值为 2 2 2 2 ? ? 2

板块二 典例探究· 考向突破

考向 例1 3 2 3 2 1 2

给角求值问题 )

(1)[2015· 课标全国卷Ⅰ]sin20° cos10° -cos160° sin10° =( B. D.

A.- C.-

1 2

[解析]

1 sin20° cos10° -cos160° sin10° =sin20° cos10° +cos20° sin10° =sin(10° +20° )=sin30° = . 2

(2)[2016· 临沂模拟]计算 A. 1 2 1 2

sin110° sin20° 的值为( cos225° -sin225° 3 2 3 2

)

B.

C.-

D.-

[解析]

1 sin40° sin?90° +20° ?sin20° sin20° cos20° 2 1 原式= = = = . cos50° cos50° cos50° 2

(3)[2013· 重庆高考]4cos50° -tan40° =( A. 2 C. 3 B. 2+ 3 2

)

D.2 2-1

[解析]

4sin40° cos40° -sin40° 4cos50° -tan40° = cos40°

2sin80° -sin40° 2sin100° -sin40° = = cos40° cos40° 2sin?60° +40° ?-sin40° = cos40° 2× = 3 1 cos40° +2× sin40° -sin40° 2 2 = 3. cos40°

解决给角求值问题的基本思路 对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: (1)化为特殊角的三角函数值; (2)化为正、负相消的项,消去求值; (3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.

【变式训练1】 A.- 3 C.-1

(1)[2016· 南昌质检] B. 3 D .1

2sin43° - 3sin13° =( cos13°

)

解析

2sin43° - 3sin13° 2sin?30° +13° ?- 3sin13° = =1. cos13° cos13°

(2)(tan10° - 3)sin40° 的值为( A.-1 C.1
解析 =

)

B.0 D .2

? sin10° sin60° ? ?· - (tan10° - 3)· sin40° =?cos10° sin40° cos60° ? ?

-sin50° · sin40° cos10° · cos60° 2sin40° · cos40° cos10° sin80° =-1. cos10°

=- =-

3 (3)计算:tan20° +4sin20° =__________.

解析 =

原式=

sin20° +4sin20° cos20°

sin20° +4sin20° cos20° sin20° +2sin40° = cos20° cos20°

sin?30° -10° ?+2sin?30° +10° ? = cos20° 3 3 cos10° + sin10° 2 2 = cos20° 3 1 cos10° + sin10° 2 2 = 3 cos20° cos?30° -10° ? = 3 = 3. cos20°

[解]

给值求值问题 3 1 例2 [2016· 常州模拟]已知α,β均为锐角,且sinα= ,tan(α-β)=- . 5 3 (1)求sin(α-β)的值; (2)求cosβ的值.? ?
π? π π ? 0 , (1)∵α,β∈? ,从而- < α - β < . ? 2? 2 2 ?

考向

1 π 又∵tan(α-β)=- <0,∴- <α-β<0. 3 2 10 ∴sin(α-β)=- . 10 3 10 (2)由(1)可得,cos(α-β)= . 10 3 4 ∵α为锐角,且sinα= ,∴cosα= . 5 5 ∴cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 4 3 10 3 ? 10? ? ? = × + ×?- 5 10 5 ? 10 ? ? 9 10 = . 50

延伸探究1

在本例条件下,求sin(α-2β)的值.



∵sin(α-β)=-

10 3 10 ,cos(α-β)= , 10 10

cosβ=

9 10 13 10 ,sinβ= . 50 50

24 ∴sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cosβ-cos(α-β)sinβ=- . 25

延伸探究2

在本例条件下,求tan(2α-β)的值.



3 4 ∵α为锐角,sinα= ,∴cosα= , 5 5

3 1 ∴tanα= ,又tan(α-β)=- , 4 3 tanα+tan?α-β? 1 ∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]= = . 1-tanαtan?α-β? 3

三角函数的给值求值问题的破解关键 解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示 “所求角”. (1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差. (2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系. 角的变换是求值的关键环节,常用角的变换如下: α α=2·,α=(α+β)-β, 2
? π π ?π α=β-(β-α), +α= -?4-α?, 4 2 ? ? ? π ?π ? ?等. - α α= - 4 4 ? ?

【变式训练2】 [2015· 广东高考]已知tanα=2. ? π? (1)求tan?α+4?的值; ? ? sin2α (2)求 2 的值. sin α+sinαcosα-cos2α-1 π tanα+tan ? 4 tanα+1 2+1 π? 解 (1)tan?α+4?= = = =-3. π 1-tanα 1-2 ? ? 1-tanαtan 4 sin2α (2) 2 sin α+sinαcosα-cos2α-1 2sinαcosα = 2 sin α+sinαcosα-?2cos2α-1?-1 2sinαcosα = 2 sin α+sinαcosα-2cos2α 2tanα = 2 tan α+tanα-2 2×2 = 2 =1. 2 +2-2

点击观看
考向 例3 给值求角问题

考点视频

1 13 π (1)[2016· 江苏徐州质检]已知cosα= ,cos(α-β)= ,且0<β<α< ,求β. 7 14 2 π π [解] ∵0<β<α< ,∴0<α-β< . 2 2 13 又∵cos(α-β)= , 14 3 3 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= . 14 1 π 4 3 ∵cosα= ,0<α< ,∴sinα= . 7 2 7 ∴cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π π ∵0<β< ,∴β= . 2 3

1 1 (2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)= ,tanβ=- ,求2α-β的值. 2 7
1 1 - tan?α-β?+tanβ 2 7 1 [解] ∵tanα=tan[(α-β)+β]= = = >0, 1 1 3 1-tan?α-β?tanβ 1+ × 2 7 π ∴0<α< . 2 1 2× 3 3 2tanα 又∵tan2α= = ?1? =4 >0, 1-tan2α ?2 1-? ?3? ? ? π ∴0<2α< , 2 3 1 + tan2α-tanβ 4 7 ∴tan(2α-β)= = =1. 3 1 1+tan2αtanβ 1- × 4 7 1 π ∵tanβ=- <0,∴ <β<π, 7 2 3π -π<2α-β<0,∴2α-β=- . 4

1.解决给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值; (2)确定角的范围; (3)根据角的范围写出要求的角. 2.在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数 (1)已知正切函数值,选正切函数;
? π? (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是 ?0,2? ,选正、余弦皆可;若角的范围是 ? ? ? π π? (0,π),选余弦较好;若角的范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ?

【变式训练3】 (1)求sinα的值; (2)求β的值.

π α 1 2 [2016· 济南模拟]已知0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10



α α α 1 2sin cos 2tan 2× ? α? 2 2 2 2 α 1 α α 4 ?=2sin · (1)因为tan = ,所以sinα=sin?2· cos = = = = . 2 2 2 2 ?1?2 5 ? 2? 2α 2α 2α ? ? sin +cos 1+tan 2 2 2 1+?2?

π 4 3 (2)因为0<α< ,sinα= ,所以cosα= . 2 5 5 π 又0<α< <β<π,所以0<β-α<π. 2 2 π 由cos(β-α)= ,得0<β-α< . 10 2 所以sin(β-α)= 98 7 2 = , 10 10

7 2 3 2 4 25 2 2 所以sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)· sinα= × + × = = . 10 5 10 5 50 2 π 3 ? 2 3 ? 由 <β<π得β= π.?或求cosβ=- ,得β= π? 2 4 ? 2 4 ?

核心规律 解三角函数问题的基本思想是“变换”,通过适当的变换达到由此及彼的目的,变换的基本方向有两 个,一个是变换函数的名称,一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系 式、二倍角的余弦公式等;变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等. 满分策略 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活 运用,要注意“1”的各种变通. 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 2 所对应的角α+β不是唯一的. 2

3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.

板块三 启智培优· 破译高考

题型技法系列 8——三角函数中“角”的转化技巧 ? 3π? ? cos?α-10? ? π ? ? [2015· 重庆高考]若 tanα=2tan ,则 =( ) ? ? 5 π? ? sin?α-5? ? ? A.1 B.2 C.3 D.4 [解题视点] 本题应着眼于“所求角”与已知角的和差关系,应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. π [解析] 因为tanα=2tan , 5 ? ? ? 3π? 3π π? π? ? ? ? ? ? cos?α-10? sin?α-10+2? sin?α+5? ? ? ? ? ? ? ? 所以 = = ? ? ? ? ? ? π? π? π? ? ? α - α - α - sin? sin sin ? ? ? 5? 5? 5? ? ? ? ? ? ? π π sinαcos +cosαsin 5 5 = π π sinαcos -cosαsin 5 5 π π tanα+tan 3tan 5 5 = = =3. π π tanα-tan tan 5 5

答题启示

三角函数中往往会出现较多的差异角,解题时要注意观察题中角与角之间的和、差、倍、

半、互余、互补的关系,把“目标角”变成“已知角”,运用角的变换,化复角为单角或想方设法减少未 知角的数目,沟通条件与结论中角的联系,使问题顺利解决.

跟踪训练

- ? π? 4 cos2x 5 ? ? x - [2016· 南京模拟]已知sin = , x ∈ (π , 2π) ,则 = ________. 4? 5 ?π ? ? cos?4+x? ? ?
解析 因为x∈(π,2π), 3 π 7 所以 π<x- < π, 4 4 4
? π? 4 又sin?x-4?= >0, ? ? 5 3π π 所以 <x- <π, 4 4 ? π? ? 所以cos x-4?=- ? ?

6

π? 3 ? ? 1-sin x-4 =- , 5 ? ?

2?

?π ? ?π ? ? π?? π? 4 ? ? ? ? ? ? ? cos 4+x =cos + x-4 =-sin x-4?=- , 5 ? ? ?2 ? ?? ? ?

?π ? ? π? cos2x=sin?2-2x?=-sin?2x-2? ? ? ? ? ? π? ? π? =-2sin?x-4?cos?x-4? ? ? ? ?

4 ? 3? 24 =-2× ×?-5?= , 5 ? ? 25 24 25 6 所以原式= =- . 4 5 - 5

板块四 模拟演练· 提能增分

板块五 限时· 规范· 特训


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