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2013版【名师一号】高中数学(人教A版)选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入 测试题(含详解)


第三章测试
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题正确的是( A.复数的模是正实数 B.虚轴上的点与纯虚数一一对应 C.实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数 D.相等的向量对应着相等的复数 解析 复数的模可能为 0,故 A 错.

虚轴上原点对应的复数不是 纯虚数,故 B 错.实部相等,虚部互为相反数的两个复数为共轭复 数,故 C 错,D 正确. 答案 D ) B.-2-4i D.2-4i )

10i 2. =( 2-i A.-2+4i C.2+4i 解析 答案

10i?2+i? 20i-10 10i = = =-2+4i. 2-i ?2-i??2+i? 4+1 A )

1+i 4 3.(2010· 福建)i 是虚数单位,( ) 等于( 1-i A.i C.1 B.-i D.-1

1+i ?1+i?2 2i 解析 ∵ = = 2 =i, 1-i ?1-i??1+i?

∴(

1+i 4 4 ) =i =1. 1-i C

答案

a?a+2? 4.复数 z= +(a2+2a-3)i(a∈R)为纯虚数,则 a 的值为 a-1 ( ) A.a=0 C.a=0,或 a=-2 a?a+2? ? ? a-1 =0, 依题意得? ? ?a2+2a-3≠0, B.a=0,且 a≠-1 D.a≠1,或 a≠-3

解析

解得 a=0,或 a=-2. 答案 C ) B.1 D.i

?1+2i?2 5.复数 的值是( 3-4i A.-1 C.-i

?1+2i?2 -3+4i 解析 = =-1. 3-4i 3-4i 答案 A z+2 是实数,那么 z 等于( 1-i B.i D.-2i )

6.已知 z 是纯虚数, A.2i C.-i

解析 设 z=bi(b∈R,且 b≠0), 则 z+2 2+bi ?2+bi??1+i? = = 1-i 1-i ?1-i??1+i?

1 =2[(2-b)+(2+b)i]. ∵ z+2 ∈R, 1-i

∴2+b=0,b=-2. ∴z=-2i. 答案 D

7.设 z 是复数,α(z)表示满足 zn=1 的最小正整数 n,则对虚数 单位 i,α(i)=( A.8 C.4 解析 由已知得 α(i)=in=1, ∴n 的最小正整数为 4. 答案 C ) ) B.6 D.2

i 8.(2010· 陕西)复数 z= 在复平面上对应的点位于( 1+i A.第一象限 C.第三象限 i?1-i? i 解析 z= = 1+i ?1+i??1-i? 1 1 1 =2(i+1)=2+2i. ∴复数 z 的对应点在第一象限. 答案 A ) B.2 D.2i B.第二象限 D.第四象限

3+2i 3-2i 9.复数 - =( 2-3i 2+3i A.0 C.-2i

解析 =

3+2i 3-2i - 2-3i 2+3i

i?2-3i? i?2+3i? + 2-3i 2+3i

=i+i=2i. 答案 D
?1 -1? b? ?=ad-bc,则符合条件? ?=4+2i 的 d? ?z zi ?

?a 10.定义运算? ?c

复数 z 为( A.3-i C.3+i

) B.1+3i D.1-3i
?1 ?z

解析 依题意知,? ∴z(1+i)=4+2i. ∴z= 答案

-1? zi ?

?=zi+z=4+2i,

4+2i =(2+i)(1-i)=3-i. 1+i A

11.复数 z=a+bi(a,b∈R)是方程 z2=-3+4i 的一个根,则 z 等于( ) B.-1± 2i D.2+i,或-2-i

A.1± 2i C.1+2i,或-1-2i

解析 若按复数相等的充要条件去解方程组,计算量很大,本题 可采用验证的方法.∵(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i,∴z=1+2i 或-1-2i. 答案 C

12.对任意复数 z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论 正确的是( )

A.|z- z |=2y C.|z- z |≥2x 解析 ∵z=x+yi,(x,y∈R), 则 z =x-yi,∴z- z =2yi,

B.z2=x2+y2 D.|z|≤|x|+|y|

∴|z- z |=|2y|≥2y,故 A、C 错. 又 z2=x2-y2+2xyi≠x2+y2,故 B 错.因此,正确答案为 D. 答案 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填 在题中的横线上) 2+i 13.复数 的共轭复数是________. 1+i 解析 2+i ?2+i??1-i? 3-i 3 1 = = 2 =2-2i. 1+i ?1+i??1-i?

3 1 ∴共轭复数为2+2i. 3 1 答案 2+2i 14.若 z1=1+i,z1· z 2=2,则 z2=__________. 解析 ∵z1=1+i,z1· z 2=2, 2 ∴ z 2= =1-i. 1+i ∴z2=1+i. 答案 1+i 15.若复数 z1=4+29i,z2=6+9i,其中 i 是虚数单位,则复数 (z1-z2)i 的实部是________. 解析 (z1-z2)i

=[4+29i-(6+9i)]i =(-2+20i)i =-20-2i. ∴(z1-z2)i 的实部是-20. 答案 -20

16.若复数 z1,z2 满足|z1|=|z2|=2,|z1-z2|=2 2,则|z1+z2|= ________. 解析 由复数及模的几何意义知,以 z1,z2 对应向量为邻边的平 行四边形为正方形,所以|z1+z2|=|z1-z2|=2 2. 答案 2 2 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) a2+2a-15 17.(10 分)要使复数 z=a -a-6+ i 为纯虚数,实数 a2-4
2

a 是否存在?若存在求出 a 的值;若不存在说明理由. 解 若 z 为纯虚数,则 a -a-6=0, ? ?2 ?a +2a-15 ? ? a2-4 ≠0,
2

① ②

由①解得 a=3,或 a=-2, 分别代入②都不合题意,所以不存在使 z 为纯虚数的实数 a. 18.(12 分)已知复数 z1 满足(z1-2)i=1+i,复数 z2 的虚部为 2, 且 z1· z2 为实数,求 z2. 解 由(z1-2)i=1+i 得, 1+i z1-2= i =(1+i)(-i)=1-i,

∴z1=3-i. 依题意可设 z2=x+2i(x∈R), 则 z1· z2=(3-i)(x+2i)=3x+2+(6-x)i 为实数, ∴x=6,∴z2=6+2i. 19.(12 分)复平面内关于原点对称的两点对应的复数为 z1,z2, 且满足 3z1+(z2-2)i=2z2-(1+z1)i,求 z1,z2 的值. 解 设 z1=a+bi(a,b∈R),则 z2=-a-bi, ∴3z1+(z2-2)i=2z2-(1+z1)i. ∴3(a+bi)+(-a-bi-2)i=2(-a-bi)-(1+a+bi)i, 即(3a+b)+(3b-a-2)i=(-2a+b)-(2b+a+1)i,
? ?3a+b=-2a+b, ∴? ? ?3b-a-2=-?2b+a+1?.

1 1 1 解得 a=0,b=5,∴z1=5i,z2=-5i. 20.已知 1+i 是实系数方程 x2+ax+b=0 的一个根. (1)求 a,b 的值; (2)试判断 1-i 是否是方程的根. 解 (1)∵1+i 是方程 x2+ax+b=0 的根,

∴(1+i)2+a(1+i)+b=0, 即(a+b)+(a+2)i=0,
? ? ?a+b=0, ?a=-2, ? ∴ ∴? ?a+2=0, ? ? ?b=2.

∴a,b 的值分别为 a=-2,b=2. (2)方程为 x2-2x+2=0, 把 1-i 代入方程 左边=(1-i)2-2(1-i)+2=-2i-2+2i+2

=0 显然方程成立. ∴1-i 也是方程的一个根. 1 3 21.(12 分)设 w=- 2+ 2 i, (1)计算:1+w+w2; (2)计算:(1+w-w2)(1-w+w2). 解 (1)证明 1 3 ∵w=-2+ 2 i,

1 3 ∴w2=(-2+ 2 i)2 1 1 3 3 =4+2(-2)( 2 i)+( 2 i)2 1 3 3 1 3 =4- 2 i-4=-2- 2 i. 1 3 1 3 ∴1+w+w2=1-2+ 2 i-2- 2 i=0. (2)由 1+w+w2=0 知, (w-1)(1+w+w2)=0, ∴w3-1=0,∴w3=1. ∴(1+w-w2)(1-w+w2) =(-2w2)(-2w) =4w3=4. 22.设 z1,z2∈C, (1)求证:|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2; (2)设|z1|=3,|z2|=5,|z1+z2|=6,求|z1-z2|. 解 (1)证明 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),

则|z1+z2|2+|z1-z2|2 =|(a+c)+(b+d)i|2+|(a-c)+(b-d)i|2

=(a+c)2+(b+d)2+(a-c)2+(b-d)2 =2a2+2c2+2b2+2d2 =2(a2+b2)+2(c2+d2), 又 2|z1|2+2|z2|2=2(a2+b2)+2(c2+d2), 故|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2. (2)∵|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2, ∴62+|z1-z2|2=2×32+2×52. ∴|z1-z2|2=68-36=32. ∴|z1-z2|=4 2.


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