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数列练习题

时间:2017-07-13


强力推荐人教版数学高中必修 5 习题

第二章 数列
1. n}是首项 a1=1, {a 公差为 d=3 的等差数列, 如果 an=2 005, 则序号 n 等于( A.667 B.668 C.669 D.670 ).

2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5= ( ). A

.33 B.72 C.84 D.189 ).

3.如果 a1,a2,…,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( A.a1a8>a4a5 B.a1a8<a4a5 C.a1+a8<a4+a5

D.a1a8=a4a5
1 的等差数列,则 4

4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 |m-n|等于(
A.1

).
B. 3 4 C. 1 2 D. 3 8

5.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168

).
D.192

6.若数列{an}是等差数列,首项 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,则使前 n 项

和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是(
A.4 005 B.4 006

).
C.4 007 D.4 008

7.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a2=( A.-4 B.-6 C.-8

).

D. -10

8.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.-1

a5 5 S = ,则 9 =( a3 9 S5
C .2

).
D. 1 2

9.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则

a2 ? a1 b2

的值是(
A. 1 2

).
B.- 1 2 C.- 1 1 或 2 2 D. 1 4

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2 10. 在等差数列{an}中, n≠0, n-1- an +an+1=0(n≥2), S2n-1=38, n=( a a 若 则

).

A.38 二、填空题 11.设 f(x)=
1 2 + 2
x

B.20

C.10

D.9

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 f(-5)
.

+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为
12.已知等比数列{an}中,

(1)若 a3·a4·a5=8,则 a2·a3·a4·a5·a6= (2)若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6= (3)若 S4=2,S8=6,则 a17+a18+a19+a20=

. .
.

8 27 在 之间插入三个数, 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数的乘积为 13. 和 2 3 14. 在等差数列{an}中, (a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24, 3 则此数列前 13 项之和为 15.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= .


.

16.设平面内有 n 条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过

同一点.若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)= = . 三、解答题

;当 n>4 时,f(n)

17.(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列.

(2)已知

1 1 1 b+c c+a a+b , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列. a b c a b c

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18.设{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设{bn}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.

19.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= 求证:数列{
Sn }是等比数列. n

n+2 Sn(n=1,2,3…). n

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第二章 数列
参考答案
一、选择题 1.C 解析:由题设,代入通项公式 an=a1+(n-1)d,即 2 005=1+3(n-1),∴n=699. 2.C 解析:本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),由题意得 a1+a2+a3=21, 即 a1(1+q+q2)=21,又 a1=3,∴1+q+q2=7. 解得 q=2 或 q=-3(不合题意,舍去), ∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×22×7=84. 3.B. 解析:由 a1+a8=a4+a5,∴排除 C. 又 a1·a8=a1(a1+7d)=a12+7a1d, ∴a4·a5=(a1+3d)(a1+4d)=a12+7a1d +12d2>a1·a8. 4.C 解析: 解法 1:设 a1=
1 1 1 1 ,a2= +d,a3= +2d,a4= +3d,而方程 x2-2x+m=0 中两 4 4 4 4

根之和为 2,x2-2x+n=0 中两根之和也为 2, ∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4, ∴d= ∴
1 1 7 3 5 , 1= , 4= 是一个方程的两个根, 1= , 3= 是另一个方程的两个根. a a a a 2 4 4 4 4

7 15 , 分别为 m 或 n, 16 16 1 ,故选 C. 2

∴|m-n|=

解法 2:设方程的四个根为 x1,x2,x3,x4,且 x1+x2=x3+x4=2,x1·x2=m,x3·x4 =n. 由等差数列的性质:若γ+s=p+q,则 aγ+as=ap+aq,若设 x1 为第一项,x2 必为第四

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项,则 x2= ∴m=

7 1 3 5 7 ,于是可得等差数列为 , , , , 4 4 4 4 4

7 15 ,n= , 16 16

∴|m-n|= 5.B

1 . 2

解析:∵a2=9,a5=243,

a5 243 = q 3= =27, a2 9

∴q=3,a1q=9,a1=3, ∴S4=
6 .B 3-35 240 = =120. 1-3 2

解析: 解法 1:由 a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数, 又 a1>0,则公差为负数,否则各项总为正数,故 a2 003>a2 004,即 a2 003>0,a2 004<0. ∴S4 006=
∴S4 007= 4 006 a1+a4 006 ) ( 2 = 4 006 a2 003+a2 004 ) ( 2 >0,

4 007 4 007 ·(a1+a4 007)= ·2a2 004<0, 2 2

故 4 006 为 Sn>0 的最大自然数. 选 B. 解法 2:由 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,同 解法 1 的分析得 a2 003>0,a2 004<0, ∴S2 003 为 Sn 中的最大值. ∵Sn 是关于 n 的二次函数,如草图所示, ∴2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小, ∴ 4 007 在对称轴的右侧. 2
(第 6 题)

根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧 零点 B 的左侧,4 007,4 008 都在其右侧,Sn>0 的最大自然数是 4 006. 7.B 解析:∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6, 又由 a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8,
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∴a2=-8+2=-6. 8.A
9( a1 + a9 ) 9 ? a5 S9 9 5 2 解析:∵ = = = · =1,∴选 A. 5(a1 + a5 ) 5 ? a3 S5 5 9 2
9.A

解析:设 d 和 q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)q4, ∴d=-1,q2=2, ∴
a2 ? a1 d 1 = = . b2 ? q2 2

10.C
2 2 解析:∵{an}为等差数列,∴ an =an-1+an+1,∴ an =2an,

又 an≠0,∴an=2,{an}为常数数列, 而 a n=
S 2 n ?1 38 ,即 2n-1= =19, 2n ? 1 2

∴n=10. 二、填空题
11. 3 2 .

解析:∵f(x)=

1 2 + 2
x



1 x 2 1 2 ∴f(1-x)= 1?x = = 2 x , 2 + 2 2 + 2 ? 2x 2+2
x

1 1 1 ? 2x 1+ ? 2x ( 2 + 2x ) 2 2 ∴f(x)+f(1-x)= + 2 x = = 2 = . x x x 2 2+2 2 +2 2 +2 2+2 1

设 S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6), 则 S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5), ∴2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+[f(-5)+f(6)]=6 2 , ∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3 2 .
12. 1)32; 2)4; 3)32. ( ( (
2 解析: 1)由 a3·a5= a4 ,得 a4=2, (

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5 ∴a2·a3·a4·a5·a6= a4 =32.

?a1 + a2 = 324 1 (2) ? ? q2 = , 9 (a1 + a2 )q 2 = 36 ?

∴a5+a6=(a1+a2)q4=4.
? ?S 4=a1+a2+a3+a4=2 (3 ) ? ? q 4=2 , ?S8=a1+a2+ ? ? ? +a8=S 4+S 4 q 4 ?

∴a17+a18+a19+a20=S4q16=32.
13.216.

解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与
8 27 8 27 8 27 ∴ , 同号, 由等比中项的中间数为 ? =6, 插入的三个数之积为 × ×6=216. 3 2 3 2 3 2
14.26.

解析:∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10, ∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4, ∴S13=
13 a1+a13 ) 13 a4+a10 ) 13 × 4 ( ( = = =26. 2 2 2

15.-49. 解析:∵d=a6-a5=-5, ∴a4+a5+…+a10 = = 7(a4+a10 ) 2 7(a5-d+a5+5d ) 2

=7(a5+2d) =-49. 16.5, 1 (n+1)(n-2). 2

解析: 同一平面内两条直线若不平行则一定相交, 故每增加一条直线一定与前面已有的 每条直线都相交,∴f(k)=f(k-1)+(k-1). 由 f(3)=2, f(4)=f(3)+3=2+3=5,

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f(5)=f(4)+4=2+3+4=9, …… f(n)=f(n-1)+(n-1), 相加得 f(n)=2+3+4+…+(n-1)= 三、解答题
17. 分析: 判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项 1 (n+1)(n-2). 2

差为常数. 证明: 1)n=1 时,a1=S1=3-2=1, ( 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5, n=1 时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*). 首项 a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*), ∴数列{an}成等差数列且 a1=1,公差为 6. (2)∵ ∴
1 1 1 , , 成等差数列, a b c

2 1 1 = + 化简得 2ac=b(a+c). b a c

b+c a+b bc+c 2+a 2+ab b(a+c) a 2+c 2 + (a+c)2 (a+c)2 + = = = = = b(a+c) a c ac ac ac 2



a+c , b ∴ b+c c+a a+b , , 也成等差数列. a b c

18.解: (1)由题设 2a3=a1+a2,即 2a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, ∴q=1 或- 1 . 2

n(n-1) n 2+3n = . 2 2 (n-1)(n+2) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= >0,故 Sn>bn. 2 (2)若 q=1,则 Sn=2n+ n(n-1) -n 2+9n 1 1 ,则 Sn=2n+ (- )= . 2 2 2 4 (n-1)(10-n) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= , 4
若 q=- 故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn;当 n=10 时,Sn=bn;当 n≥11 时,Sn<bn.
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19.证明:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=

n+2 S n, n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得 nSn+1=2(n+1) Sn, 所以 故{
S n+1 2S = n. n+1 n

Sn }是以 2 为公比的等比数列. n

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