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2013年高中数学竞赛辅导试题:集合


第 2 节集合总复习 教学目的: 1.理解集合的概念,知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。 2.理解元素与集合的“属于”关系,会判断某一个元素属于或不属于某一个集合,了解数集 的记法,掌握元素的特征,理解列举法和描述法的意义。 3 理解子集、真子集概念,会判断和证明两个集合包含关系,理解“?、 ” ≠ “?”的含义。 4.会判断简单集合的相等关系 (1)结合集

合的图形表示,理解交集与并集的概念; (2)掌握交集和并集的表示法,会求两个集合的交集和并集。 5.理解交集与并集的概念,熟练掌握交集和并集的表示法,会求两个集合的交集和并集,掌 握集合的交、并的性质。 教学重点: 1.集合的基本概念及表示方法。 2.交集和并集的概念 ,集合的交、并的性质。 3.子集的概念、真子集的概念。 教学难点: 1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示。 2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。
王新敞
奎屯 新疆

3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。 4.集合的交、并的性质。 (一)集合的有关概念: 1、集合的概念 (1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合。 (2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 (1)非负整数集(自然数集) :全体非负整数的集合。记作 N (2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集。记作 N*或 N+ (3)整数集:全体整数的集合。记作 Z (4)有理数集:全体有理数的集合。记作 Q (5)实数集:全体实数的集合。记作 R (二)集合的表示方法:列举法,描述法 (三)集合中元素的特性 (1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能 模棱两可。 (2)互异性:集合中的元素没有重复。 (3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出) 1.子集 (1)定义:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元 素,我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,记作 A?B(或 B?A) 这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集. 2.交集的定义 一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.

记作 A ? B(读作‘A 交 B’,即 A ? B={x|x ? A,且 x ? B} ) . 2.并集的定义 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集. 记作:A ? B(读作‘A 并 B’,即 A ? B ={x|x ? A,或 x ? B}). ) 3.两个集合相等 一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时集 合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A=B. 用式子表 示:如果 A?B,同时 B?A,那么 A=B. 例 1:用描述法表示下列集合 ①{1,4,7,10,13} ②{-2,-4,-6,-8,-10}

{x | x ? 3n ? 2, n ? N且n ? 5} {x | x ? ?2n, n ? N且n ? 5}

用列举法表示下列集合 ①{x∈N|x 是 15 的约数} {1,3,5,15} ②{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}} {(1,1)(1,2)(2,1) , , (2,2)}

例2 已知集合A={x|x 2 + mx+1=0},如果A∩R=?,则实数m的 取 值 范 围
是[ ] A.m<4 B.m>4 C.0<m<4 D.0≤m<4

?m≥ 0, ? ? 2 所以x + M x+1= 0无实数根,由 ?Δ = ( m) 2 - 4 < 0, ?

分析 ∵A∩R=?,∴A=?.

可得 0≤m<4.答选 D. 例 3:已知 M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=-x2+1,x∈R}则 M∩N 是[ A.{0,1} B.{(0,1)} C.{1} 分析先考虑相关函数的值域. 解∵M={y|y≥1},N={y|y≤1}, ∴在数轴上易得 M∩N={1}.选 C. 例 4:设集合 A={x|-5≤x<1},B={x|x≤2},则 A∪B= [ ] A.{x|-5≤x<1} B.{x|-5≤x≤2} C.{x|x<1} D.{x|x≤2} 分析画数轴表示 ]

? 得A∪B={x|x≤ 2},A∪B=B. ( 注意A ≠ B,也可以得到A∪B= B).答 D.
例5 下列四个推理:①a∈(A∪B) ? a∈A;②a∈(A∩B) ? a∈(A ∪ B) ;

③A ? B ? A∪B=B;④A∪B=A ? A∩B=B,其中正确的个数 为 [

]

A.1 B.2 C.3 分析根据交集、并集的定义,①是错误的推理.答选 C 例 6:集合 A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则 A∩B=________. 分析 A∩B 即为两条直线 x+y=0 与 x-y=2 的交点集合.

?x+y= 0, ?x=1, 解 由? 得? 所以 A∩B={(1,-1)}. ?x-y= 2 ?y=-1.
例 7 : 设 A = {x ∈ R|f(x) = 0} , B = {x ∈ R|g(x) = 0} , ]

C={x∈R|

f(x) = 0},全集U=R,那么 [ g(x)
UR)

A.C=A∪(

B.C=A∩(

UB)

C.C=A∪B

D.C=(

UA)∩B

分析依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归

C={x∈R|
=A∩(

f(x) = 0} ={x∈R|f(x)=0 且 g(x)≠0}={x∈R|f(x)=0}∩{x∈R|g(x)≠0} g(x)
B.说明:本题把分式的意义与集合相结合.

UB).答选

例 8 集合 A 含有 10 个元素,集合 B 含有 8 个元素,集合 A∩B 含有 3 个元素,则集 合 A∪B 有________个元素. 分析一种方法,由集合 A∩B 含有 3 个元素知,A,B 仅有 3 个元素相同,根据集合元 素的互异性,集合 A∪B 的元素个数为 10+8-3=15. 另一种方法,画图 1-10 观察可得.

答填 15. 例9 已知全集 U={x|x 取不大于 30 的质数},A,B 是 U 的两个子集,且 A∩(
UA)∩B={11,19,29},( UA)∩( UB)={3,7}求 UB)

={5,13,23},(

A,B.

分析由于涉及的集合个数,信息较多,所以可以通过画图 1-11 直观地求解.

解∵U={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}

用图形表示出 A∩(

UB),(

UA)∩B

及(

UA)∩(

UB)得

U(A∪B)={3,7},A∩B={2,17},所以

A={2,5,13,17,23},

B={2,11,17,19,29}.说明:对于比较复杂的集合运算,可借助图形. 例 10 设集合 A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若 A∩B={9},求 A∪B. 分析欲求 A∪B,需根据 A∩B={9}列出关于 x 的方程,求出 x,从而确定 A、B,但若 将 A、B 中元素为 9 的情况一起考虑,头绪太多了,因此,宜先考虑集合 A,再将所得 值代入检验. 解由 9∈A 可得 x2=9 或 2x-1=9,解得 x=±3 或 5. 当 x=3 时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B 中元素违反互异性,故 x=3 应 舍去; 当 x=-3 时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意,此时 A∪ B={-7,-4,-8,4,9} 当 x=5 时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时 A∩B={-4,9},这与 A∩B ={9}矛盾.故 x=5 应舍去.从而可得 x=-3,且 A∪B={-8,-4,4,-7,9}. 说明:本题解法中体现了分类讨论思想,这在高中数学中是非常重要的. 例 11 设 A={x|x2+4x=0}, B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}, A∩B=B, a 的值. 若 求

分析 由A∩B=B,B ? A,而A={x|x 2 +4x=0}={0,-4},所以
需要对 A 的子集进行分类讨论.

解 假如B≠?,则B含有A的元素.
设 0∈B,则 a2-1=0,a=±1,当 a=-1 时,B={0}符合题意;当 a=1 时,B={0, -4}也符合题意. 设-4∈B,则 a=1 或 a=7,当 a=7 时,B={-4,-12}不符合题意.

假如B=?,则x 2 +2(a+1)x+a 2 -1=0无实数根,此时Δ <0得a <-1.
综上所述,a 的取值范围是 a≤-1 或 a=1.

说明:B=?这种情形容易被忽视.
例 12(1998 年全国高考题)设集合 M={x|-1≤x<2},N={x|x

-k≤0},若M∩N≠?,则k的取值范围是 [
A.(-∞,2] B.[-1,+∞) C.(-1,+∞)

] D.[-1,2]

分析分别将集合 M、N 用数轴表示,可知:k≥-1 时,M∩ N≠?. 答选 B.


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