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湖北省龙泉中学、襄阳五中、宜昌一中2016届高三9月联考数学(理)试题

时间:2015-09-25


2013~2016 届襄阳五中

宜昌一中 联考

龙泉中学高三年级九月

数学试题(理)
本试卷共 2 页,共 22 题。满分150分,考试用时120分钟。 一、选择题: (本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合 题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。 ) 1.

已知集合 A ? x 0 ? log 2 ? 2 , B ? y y ? 3 ? 2, x ? R , 则 A ? B ?
x x

?

?

?

?

A. ?1, 4 ? 2.下列命题中正确的是 A. ?x0 ? 0, 使“ a
x0

B. ? 2, 4 ?

C. ?1, 2 ?

D. ?1, ?? ?

? b x0 ”是“ a ? b ? 0 ”的必要不充分条件
2 则x ? 2” 2 或x ? ? 2 ,

B.命题“ ?x0 ? ? 0, ??? ,ln x0 ? x0 ?1”的否定是“ ?x0 ? ? 0, ??? ,ln x0 ? x0 ?1 ” C. 命题 “若 x 2 ? 2, 则 x ? 2 或x ? ? 2 ” 的逆否命题是 “若 x ? D.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 3.函数 f ? x ? ? 3 ? x ? lg A. ?1, 2 ?

x 2 ? 3x ? 2 的定义域为 x?2 B. ?1,3? C. ?1,2? ? ? 2,3?

D. ? ?1, 2? ? ? 2,3?

4.如图曲线 y ? sin x, y ? cos x 和直线 x ? 0, x ? A.

?
2

所围成的阴影部分平面区域的面积为

? ? sin x ? cos x ? dx
2 0

?

B. 2 C.

? ? sin x ? cos x ? dx
4 0

?

? ? cos x ? sin x ? dx
2 0

?

D. 2

? ? cos x ? sin x ? dx
4 0

?

2 5.已知函数 f ( x) ? x ? 2cos x ,若 f '( x ) 是 f ( x ) 的导函数,则函数 f '( x ) 在原点附近 的图象大致是

6 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ?x ? ? 2

A

B

C
x ?m

D

?1 ( m ? R ) 为 偶 函 数 . 记

? 4? ?, b ? f l o 2 5 a? f? l o g g , c ? f ?2m ? , 1 ? ? 3 ? ?

?

?

则 a , b, c 的大小关系为 A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. a ? c ? b D. c ? b ? a 7 .已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则

7 2 2 2 C. ? D. 10 10 10 ? ?? ? 8.将函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ? ? ? ? 的图象向左平移 个单位长度后,所得函数 g ? x ? 6 2? ? ? ?? 的图象关于原点对称,则函数 f ? x ? 在 ?0, ? 的最小值为 ? 2? 1 1 3 3 A. ? B. C. ? D. 2 2 2 2 3 2 9.已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? d 的图象如图所示,则函数 y
B.

?? ? sin? 2 ? ? ? 的值为 4? ? 7 2 A. ? 10

c? ? 2 2 y?log bx ? ? 的单调减区间为 1?x ? 3 3? 2? ?1 ? A. ? , ? ? ? ?2 ? 1? ? C. ? ??, ? 2? ?

o
B. ? 3, ? ?? D. ? ??, ?2?

3

?2

x

10.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4000 元的 按超过部分的 14%纳税;超过 4000 元的按全稿酬的 11%纳税.某人出版了一本书共纳税 420 元,则他 的稿费为 A.3000 元 B.3800 元 C.3818 元 D.5600 元 11 . 已 知 函 数 f ? x ? ? cos x , a , b, c 分 别 为 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 , 且

3a2 ? 3b2 ? c2 ? 4ab ,则
A. f ? sin A? ? f ? cos B ? C. f ? cos A? ? f ?sin B ?
2

下列不等式一定成立的是

B. f ?sin A? ? f ?sin B ? D. f ? cos A? ? f ? cos B ?

12.已知函数 f t ? x ? ? ? ? x ? t ? ? t ? t ? R ? , 设 a ? b, f ? x ? ? ?

? ? f a ? x ? , f a ? x ? ? fb ? x ? , 若函 f x , f x ? f x ? ? ? ? ? ? ? b a b ?

b ? a 的取值范围是 y ? f? x b ? ? x? a? 有四个零点,则
A. ??, ?2 ? 5



?

?

B. ??, 2 ? 5

?

?

C. ?2 ? 5, 0

?

?

D. 2 ? 5, 0

?

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln ? x ? a ? 相切,则 a 的值为___________.

?? ? tan ? ? ? ? cos 2? ?4 ? 14.计算 =_______________. ?? ? 2cos 2 ? +? ? ?4 ?
1 1 ? 的值为_________. a b 16. 直线 l : y ? m ( m 为实常数)与曲线 E : y ?| ln x | 的两个交点 A、 B 的横坐标分别为 x1 、 x2 ,
15.若正数 a , b 满足 3 ? log2 a ? 2 ? log3 b ? log6 (a ? b) ,则 且

x1 ? x2 ,曲线 E 在点 A、B 处的切线 PA、PB 与 y 轴分别交于点 M、N.下列结论: ???? ? ① | MN |? 2 ; ② 三角形 PAB 可能为等腰三角形; ③ 若点 P 到直线 l 的距离为 d ,则 d 的取值范围为 (0,1) ; ???? 2 ④ 当 x1 是函数 g ( x) ? x ? ln x 的零点时, AO ( O 为坐标原点)取得最小值.
其中正确结论的序号为 .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 4? 设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2 cos 2 x., 3 (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值,并写出使 f ( x) 取最大值时 x 的集合; 3 (Ⅱ) 已知 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 f (B ? C ) ? , , ba ?? c1 ?, 2 求 ?ABC 2 的面积的最大值.

18. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ? ? x ? 2m?? x ? m ? 3? (其中 m ? ?1 ) , g ? x? ? 2 ? 2 .
x

(Ⅰ)若命题“ log2 g ( x) ? 1 ”是真命题,求 x 的取值范围; (Ⅱ)设命题 p : ?x ? ?1, ??? , f ? x ? ? 0或g ? x ? ? 0 ; 命题 q : ?x ?? ?1,0? , f ? x ? ? g ? x ? ? 0 .若 p ? q 是真命题,求 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)
2

已知函数 f ? x ? ? x ? x, g ? x ? ? ln x .

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值; (Ⅱ)已知实数 t ? R ,求函数 y ? f ? ? xg ? x ? ? 2 ? ? , x ? ?1, e ? 的值域.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? ax2 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 ?、? 都属于区间 ?1, 4? , 且 ? ? ? ? 1, f (? ) ? f ( ? ) ,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ex cos x ? x sin x , g ? x ? ? sin x ? 2ex ,其中 e 是自然对数的底数.
? π ? ? π? (Ⅰ) ?x1 ? ? ? , 0 ? , ?x2 ? ?0, ? ,使得不等式 f ( x1 ) ? m ? g ( x2 ) 成立,试求实数 m 的取 2 ? ? ? 2? 值范围; (Ⅱ)若 x ? ?1 ,求证: f ( x) ? g ( x) ? 0 .

22. (本小题满分 10 分)

已知函数 f ? x ? ? m ? x ?1 ? 2 x ?1
2

(Ⅰ)当 m ? 5 时,求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (Ⅱ)若二次函数 y ? x ? 2x ? 3 与函数 y ? f ? x ? 的图象恒有公共点,求实数 m 的取 值范围.

2016 届襄阳五中

宜昌一中

龙泉中学高三年级九月联考

理科数学参考答案及评分标准
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 B A C D A B D C 答案 9 B 10 B 11 C 12 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.2 14.1 15. 72 16.①③④ 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 解: (Ⅰ)f ( x) ? cos(2 x ?

4? 4? 4? ) ? 2cos 2 x ? (cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 3 3 3 1 3 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 2 3 所以 f ( x) 的最大值为 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? 此时 cos(2 x ? ) ? 1,2 x ? ? 2k? (k ? Z ) 3 3 ? ? ? 故 x 的集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 6 ? ? ? 3 ? 1 (Ⅱ)由题意, f ( B ? C ) ? cos[2( B ? C ) ? ] ? 1 ? ,即 cos(2? ? 2 A ? ) ? . 3 2 3 2 ? 1 化简得 cos(2 A ? ) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 2 ? ? 5? ? ? ? Q A ? ? 0,? ? ,? 2 A ? ? (? , ) ,只有 2 A ? ? , A ? . · · · · · · · · · · 9分 3 3 3 3 3 3
在 ?ABC 中, a ? 1, A ?
2 2

?

3

由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?

3

· · · · · · · · · · · · · · ·10 分

即 1 ? b ? c ? bc ? bc ,当且仅当 b ? c 取等号,

1 3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 S?ABC ? bc sin A ? bc ? 2 4 4
18.解: (Ⅰ)∵命题“ log2
g? x ?

? 1”是真命题, 即 log 2

? 2 ? 2?
x

? 1,

x ∴ 0 ? 2 ? 2 ? 2 ,解得 1 ? x ? 2 .

∴ x 的取值范围是 ?1, 2 ? ; · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

(Ⅱ)∵p∧q 是真命题,∴p 与 q 都是真命题.
x

当 x ? 1 时, g ? x ? ? 2 ? 2 ? 0 ,又 p 是真命题,则 f ? x ? ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

? m ? ?1 ? 2 m ? ? m ? 3

? f ? x? ?0 ? x ? 2m 或 x ? ?m 3 ?

?? m ? 3 ? 1 解得 m ? ?4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x 当 ?1 ? x ? 0 时, g ? x ? ? 2 ? 2 ? 0 .
∵q 是真命题,则 ?x ? ? ?1,0? , 使得 f ? x ? ? 0 ,而 f ? x ? ? 0 ? 2m ? x ? ?m ? 3 ,

? m ? ? 1 ? 2 m ? ?1 ??m ? 3 ? ?1 解得 m ? ?2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 综上所述: ?4 ? m ? ?2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

19.解: (Ⅰ)因为 y ? f ? x ? ? g ? x ? ? x2 ? x ? ln x , 所以 y? ? 2 x ? 1 ?

1 2 x 2 ? x ?1 ? 2 x ? 1?? x ?1? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 x x x 因为 x ? 0 ,所以当 0 ? x ? 1 时, y? ? 0 ;当 x ? 1 时, y? ? 0 .
即函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, · · · · · · · · · 4分 故当 x ? 1 时,函数 y 有极小值 0,无极大值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(Ⅱ) y ? f ? ? xg ? x ? ? 2? ? ? ? x ln x ? 2 ? ? ? x ln x ? 2 ? ? ? x ln x ? ? 5 ? x ln x ? ? 6
2 2

令 u ? x ln x ,当 x ??1, e? 时, u? ? ln x ? 1 ? 0 ,所以 u ? x ln x 在 ?1, e? 上单调递增, 所以 0 ? u ? e , y ? h(u) ? u 2 ? 5u ? 6 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

h(u ) 图象的对称轴 u ?

5 5 5 . h(u ) 在 [0, ] 上单减,在 ( , e] 上单增. 2 2 2

1 ?5? h(u )m i n? h ? ? ? ? ,又 h ? 0? ? 6, h ? e? ? e2 ? 5e ? 6 ,则 h(u)max ? 6 . 4 ?2? ? 1 ? 所以所求函数的值域为 ? ? , 6 ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? 4 ?
20.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

2 ? 2ax 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? x ? 0? · x 10 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0, ? ?) 上恒成立,则 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递增;

20 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ?

1 1 ; 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ; a a

则 f ( x ) 在 (0, 1 ) 上单调递增,在 ( 1 , ? ?) 上单调递减; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 a a 综上,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ?) 上单调递增;

1 1 ) 上单调递增,在 ( , ? ?) 上单调递减. · · · · · · · · · 5分 a a (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [1, 4] 上单增,不合题意,故 a ? 0 . · · · · · · · 6分
当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, 由 f (? ) ? f ( ? ) 则 2ln ? ? a? 2 ? 2ln ? ? a? 2 ,即 2ln ? ? 2ln ? ? a(? ? ? ) ? 0 (?) ? ?[ 1 , 3 ] 即 2ln ? ? 2ln(? ? 1) ? a(2? ? 1) ? 0 设 h( x) ? 2ln x ? 2ln( x ? 1) ? a(2 x ? 1)

x ?[ 1 , 3 ] · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

2 2 ? ? 2a ? 0 在 (1,3) 上恒成立;所以 h( x) 在 [1,3] 上递增, · · · · 9分 x x ?1 由 (?) 式,函数 h( x) 在 [1,3] 有零点,则 ? h(1) ? 0 ??2ln 2 ? 3a ? 0 2 4 2 ?? ? ln ? a ? ln 2 ? 7 3 3 ?h(3) ? 0 ?2ln 3 ? 2ln 4 ? 7a ? 0 2 4 2 故实数 a 的取值范围为 [ ln , ln 2] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 7 3 3 h?( x) ?
? π ? ? π? 21.解: (Ⅰ) 由题意, ?x1 ? ? ? , 0 ? , ?x2 ? ?0, ? ,使得不等式 f ( x1 ) ? m ? g ( x2 ) 成立, ? 2 ? ? 2?

f ? ? x ? ? ex (cos x ? sin x) ? (sin x ? x cos x) ? (ex ? x)cos x ? (ex ? 1)sin x ,

等价于 f ( x1 )max ? ? m ? g ( x2 )?max . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

π π 当 x ?[? , 0] 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 [0, ] 上单调递增, 2 2 所以 x ? 0 时, f ? x ? 取得最大值 1.即 f ( x)max ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

π ] 时, g? ? x ? ? cos x ? 2ex , g?? ? x ? ? ? sin x ? 2ex ? 0 2 π 所以 g ? ? x ? 在 [0, ] 上单调递减,所以 g? ? x ? ? g? ? 0? ? 1 ? 2 ? 0 , 2 π 故 g ? x ? 在区间 [0, ] 上单调递减,因此, x ? 0 时, g ( x)max ? g (0) ? ? 2 . 2 所以 1 ? m ? 2 ,则 m ? 2 ? 1 . 2 ? 1, ? ? . · 实数 m 的取值范围是 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ?
又当 x ?[0,

?

(Ⅱ)当 x ? ?1 时,要证 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ,只要证 e x cos x ? x sin x ? sin x ? 2e x ? 0 , 即证 e x cos x ? 2 ? ? x ? 1? sin x ,由于 cos x ? 2 ? 0, x ? 1 ? 0 ,
sin x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 cos x ? 2 x 下面证明 x ? ?1 时,不等式 e ? cos x 成立. x ? 1 sin x ? 2 x ?1 ?
x 令 h ? x? ? e

?

?

只要证 e

x

x ?1

? x ? ?1? ,则 h? ? x ? ?

e x ? x ? 1? ? e x

? x ? 1?

2

?

xe x

? x ? 1?

2



当 x ? ? ?1,0 ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减; 当 x ? ? 0, ??? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增. 所以当且仅当 x ? 0 时, h ? x ? 取最小值为 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 法一: k ?
sin x ,则 k cos x ? 2k ? sin x ,即 sin x ? k cos x ? 2k ,即 sin( x ? ? ) ? 2k , cos x ? 2 1? k 2
2k 1? k2 ? 1 ,即 ?1 ? k ? 1 ,所以 kmax ? 1 ,而 h ? x ? min ? h ? 0? ? 1 ,

由三角函数的有界性,

但当 x ? 0 时, k ? 0 ? 1 ? h ? 0? ; x ? 0 时, h ? x ? ? 1≥ k
ex ? 所以, ? ? ? ? x ? 1 ?min
x sin x ? sin x ? ,即 e ? ?? ? x ? 1 cos x? 2 ? cos x ? 2 ?max

综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 法二:令 ? ( x) ?
sin x ,其可看作点 A? cos x,sin x ? 与点 B ? 2,0 连线的斜率 k , cos x ? 2

?

?

所以直线 AB 的方程为: y ? k x ? 2 , 由于点 A 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上,所以直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相交或相切, 当直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切且切点在第二象限时, 直线 AB 取得斜率 k 的最大值为 1 .而当 x ? 0 时, ? (0) ? 0 ? 1 ? h ? 0? ;
x x ? 0 时, h ? x ? ? 1≥ k .所以, h( x)min ? ? ( x)max ,即 e ?

?

?

x ?1

综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 法三:令 ? ( x) ?
4

sin x cos x ? 2

sin x ,则 ? ?( x) ? 1 ? 2 cos x2 , (cos x ? 2) cos x ? 2

当 x ? 3? ? 2k? , (k ? N ) 时, ? ( x) 取得最大值 1,而 h ? x ? min ? h ? 0? ? 1 ,

但当 x ? 0 时, ? ? 0? ? 0 ? 1 ? h ? 0? ; x ? 0 时, h ? x ? ? 1≥ k
x 所以, h( x)min ? ? ( x)max ,即 e ?

x ?1

综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

sin x cos x ? 2

? 3 x ? 6, x ? ?1 ? 22.解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ? x ? ? ? ? x ? 2, ?1 ? x ? 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? 4 ? 3 x, x ? 1 ?

? 4 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ,0? ? 3 ? 2 2 (Ⅱ) y ? x ? 2 x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2 ,该函数在 x ? ?1 处取得最小值 2,
由 f ? x ? ? 2 易得不等式解集为 ? ?

? 3 x ? 1 ? m, x ? ?1 ? 因为 f ? x ? ? ?? x ? 3 ? m, ?1 ? x ? 1 在 x ? ?1 处取得最大值 m ? 2 , ? ?3 x ? m ? 1, x ? 1 ?
2

· · · · · · · · · · 7分

所以二次函数 y ? x ? 2x ? 3 与函数 y ? f ? x ? 的图像恒有公共点, 只需 m ? 2 ? 2 ,即 m ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分


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