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《任意角的三角函数》说课稿


<<任意角的正弦函数、余弦函数的定义>>说课稿
宁陕中学 谢贤会

各位老师好:今天我要说的课题是<<任意角的正弦函数、余弦函数的定义>>。 一、说教材 1、地位和作用: 本节课是北师大版数学 (必修 4) 第一章第 4 节任意角的三角函数第一课时。 它是本章教学内容的基本概念, 也是学好全章内容的关键

, 对三角内容的整体学 习至关重要,同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备,也是 今后高考的必考内容之一。 根据本教材的结构和内容分析,结合学生的认知特点和心理特征,我制定了 如下的教学目标: 2、教学目标: (1)知识与技能方面 掌握任意角的三角函数的定义,会求角α 的各三角函数值;理解并掌握三角 函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式,最后要理解三角函数的两域。 (2)方法与过程上 体验三角函数概念的产生、发展过程,通过对三角函数值的符号,诱导公式 (一)的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力;领悟直角坐标系的工具 功能,丰富数形结合的思想. (3)情感态度与价值观方面 培养学生通过现象看本质的唯物主义观,培养学生实事求是的科学态度. 本着高一新课程标准,在吃透教材基础上,我确定了以下教学重难点: 3、重点、难点: 重点是正确理解任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法,终 边相同角的诱导公式(一) 难点是把三角函数理解为以实数为自变量的函数, 以及单位圆的应用。 为了讲清教材的重难点,使学生能够达到既定的教学目标,在重点上有所掌 握,难点上有所突破,我再从教法和学法上谈谈: 二、说教学方法 教法学法: (1)在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容,发展新知识,形 成新的概念; (2)通过例题讲解分析,逐步引出新知识,完善三角定义 运用多媒体工具:提高直观性增强趣味性. 三、说课堂教学程序 1、复习回顾 开门见山,面对全体学生提问: 在初中我们初步学习了锐角三角函数,角推广后,这样的三角函数的定义是 否再适用?下面探索任意角的三角函数(板书课题) ,请同学们回顾: (问题 1)我们在初中通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余 弦、正切三个三角函数.那么这三个三角函数分别是怎样规定的? 学生口述后再投影展示,教师再根据投影进行强调: 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余
1

弦、正切依次为 s in A

?

a c

, cosA ?

b c

, ta n A ?

a b



(设计意图:通过学生对锐角的三角函数概念的回顾,为后面探索任意角的三 角函数作了铺垫,是一种推广和拓展的过程. 温故知新,让学生体会知识的 产生、发展过程.) 2、引申铺垫、创设情景 (问题 2)前面我们已经以直角坐标系为工具来研究任意角了,我们能否用 直角坐标系来研究锐角三角函数?让学生独立思考或自由讨论, 教师对学困生作 启发引导. 师生共做(学生口述,教师板书图形和结果) : 把锐角 α 安装 (如何安装?角的顶点与原点重合, 角的始边与 x 轴非负半轴 重合)在直角坐标系中,在角 α 终边上任取一点 P,作 PM⊥x 轴于 M,构造一 个 RtΔ OMP,则∠ MOP=α(锐角) ,设 P(x,y) (x>0、y>0) 的邻边|OM |=x、 ,α 对边|MP|=y,斜边长|OP∣=r. 根据锐角三角函数定义用 x、y、r 列出锐角 α 的正弦、余弦、正切三个比 值,并补充对应列出三个比值:
y · P(x,y) O M x sinα=
对边 斜边

=

y r

,cosα=

邻边 斜边

=

x r



除此之外,我们还可以用单位圆(在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度 为半径的圆)定义锐角三角函数,P 点就是α的终边与单位圆的交点,锐角三角 函数可以直接用单位圆上点的坐标表示:sinα= y ,cosα= x , (设计意图:此处做法简单,思想重要. 为了顺利实现推广,可以构建中间桥 梁,使之既与初中的定义一致,又能自然地迁移到任意角的情形. 初中以直角 三角形边角关系来定义锐角三角函数,现在要用坐标系来研究,探索的结论既 要满足任意角的情形,又要包容初中锐角三角函数定义. 体现了学生构建知识 的能力,也是数学发现的重要思想和方法,为学生在以后学习中对某些知识进 行推广拓展奠定了基础. ) (问题 3)各个比值与角之间有怎样的关系?比值是不是函数? 当锐角 α 大小发生变化时,比值会改变吗? 先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释 说明:保持 r 不变,让 P 绕原点 O 旋转即 α 在锐角范围内变化,两个比值 y 随之变化的直观形象。结论是:比值随 α 的变化而变化. P′ P · 引导学生观察图 3,联系相似三角形知识,探索发现: α 对于锐角 α 的每一个确定值,比值都是确定的, M M′x O 不会随 P 在终边上的移动而变化. 得出结论(强调):当 α 为锐角时,比值随α的变化而变化;但对于锐角α的每 一个确定值,比值都是确定的,不会随 P 在终边上的移动而变化. 所以,比值分 别是以角 α 为自变量、以比值为函数值的函数.
2

(设计意图:学生对函数理解较肤浅,在这让学生在思维上更上了一个层次, 扣准函数概念的内涵, 且从函数知识演绎三角函数知识,是准确理解三角函数概 念的关键,也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键) 3、分析归纳、自主定义 (问题 4)能将锐角的比值情形推广到任意角 α 吗? 由上述分析自然水到渠成,师生共同进行探索和推广:对于一个任意角 α, 它的终边所在位置包括下列两类共八种情形(投影展示并作分析) : 终边分别在四个象限的情形: 终边分别在四个半轴上的情形:
y y 角α终边 y · P(x,y) y P(x,y) P(x,y) x O x O x O · P(x,y) x

O



y

y

y

y x

O P(x,y)

x

O

x P(x,y)

· P(x,y)

O

x

O ·P(x,y)

怎样刻画任意角的三角函数呢?研究它的两个比值: 1) 三角函数定义: 在直角坐标系中, 设α 是一个任意角, 终边上任意一点 P(除 α 原点外) 的坐标为 ( x , y ) , 它与原点的距离为 r ( r 那么 (1)比值 (2)比值
y r

?

|x| ?| y| ?
2 2

x ? y
2

2

? 0) ,

叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 s in ? 叫做α 的余弦,记作 co s ? ,即 c o s ?

?

y r

; ;

x r

?

x r

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例, 锐角三角函数是以边的比来定 义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义 的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上, 由锐角三角函数的定义到任意角的三 角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程. 2)诱导公式 在三角函数的定义,结合角的概念可知:随着角旋转当终边相同时,不同角三 角函数值却相同。即有: sin(? ? 2 k ? ) ? sin ? , cos(? ? 2 k ? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角 函数值问题. 3)三角函数的定义域、值域 引导学生从定义出发,利用坐标平面内的点的特征的定义域,函数值的范围由 学生填写表格: 函 数 定 义 域 值 域
3

y ? sin ?

R R

[ ? 1,1] [ ? 1,1]

y ? cos ?

(设计意图:把角的终边分别在四个象限、四条半轴上的情形全作出来,有利于 对任意性的全面把握. 明确比值存在与否的条件,为确定函数定义域和值域作准 备. 动画演示比值与角之间的依赖性与确定性关系,深化理解三角函数内涵. 引 导学生在理解的基础上自主地对三角函数作出明确定义, 是本节课的中心任务. ) 4、符号判断、形象识记 (问题五)如何判断三角函数值的正、负? 引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析,r>0,三角函数值的符号决定于 x、 y 值的正负,根据终边所在位置总结出形象的识记口诀:
y + - + - x - + - y + x

sinα= y/r:上正下负横为 0

cosα=x/r:左负右正纵为 0

说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 (设计意图:判断三角函数值的正负符号,是本章教材的一项重要的知识、 技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号, 并总结出形象的识记口诀,这也是理解和记忆的关键. ) 四、例题分析、练习巩固 自学例 1 例 2,完成变式 1-2: 变式 1:已知角α 的终边经过点 P(2,-3) ,求α 的正余弦函数值. 思考:计算什么?对照解答,模仿书面表达格式,巩固定义. 点评:角α 终边上有无穷多个点,根据三角函数的定义,只要知道α 终边上 任意一个点的坐标,就可以计算这个角的三角函数值(或判断其无意义). 变式 2:已知角α 的终边经过点 P(x,-3) ,cosα =4/5,求α 的正弦函数值. 师生探索:已知 y=-3,要求正弦函数值,须知 r=?,x=?.根据定义得
x x
2

? ( ? 3)

2

=4

5

(方程思想) x>0,解得 x=4,解答略. ,

课堂练习:p15 动手实践(改编)填表: 角α(角度) 0° 90° 180° 270° 360° 角α(弧度) sinα cosα tanα 处理:要求取点用定义求解,针对计算过程提问、点评,理解巩固定义. 强调:终边在坐标轴上的角叫轴线角,如 0、π /2 、π 、3π /2 等,今后 经常用到轴线角的三角函数值,要结合三角函数定义记熟这些值. (设计意图: 及时安排自学例题、 自做教材练习题, 一般性与特殊性相结合, 进行适量的变式练习, 以巩固和加深对三角函数概念的理解,通过课堂积极主动
4

的练习活动进行思维训练,把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课 的课堂教学始终. ) 五、课时小结 要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记,提问检查并强调: (设计意图: 在课堂内及时总结识记,让学生自己归纳识记本节课的主体内 容,抓住要害,人人参与,及时建构知识网络,优化知识结构,培养认知能力. ) 六、布置作业 完成导学案第一面 各位老师,本节课我根据学生的心理特征及其认知结构,采用直观教学和活 动探究的教学方法,以“教师为主导,学生为主体”,教师的“导”立足于学生 的“学”,以学法为重心,放手让学生自主探索的学习,主动地参与到知识形成 的整个思维过程,力求使学生在积极、愉快的课堂氛围中提高自己的认识水平, 从而达到预期的教学效果。我的说课完毕,谢谢大家。

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