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§3-1 函数


初中函数的概念
?

? ? ?

在一个变化过程中有两个变量X和Y,若对 于X的每一个值,Y都有唯一的值与它对应, 那么说Y是X的函数,X叫做自变量,Y叫做 应变量。 一次函数:y=ax+b(a≠0) 反比例函:y=k/x(K≠0) 二次函数:y=ax? +bx+c(a≠0)

引例一 一枚炮弹发射后,经

过26s落到地面击中目标。炮弹的射高 为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间(单 位:s)变化的规律是 h=130t-5t2 炮弹发行时间t的变化范围是数集A= t | 0 ? t ? 26? ,炮弹 离地面的高度h的变化范围是B=?t | 0 ? t ? 845? 。从问题 的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间t,按照对 应关系,在数集中都有唯一确定的高度h和它对应。

?

引例二:
近几年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.下图 中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化 情况 据图中的曲线可知, 时间t变化范围是数集 A= ?t |1979 ? t ? 2001? 臭氧层空洞面积S的变 化范围是数集b=

?s | 0 ? s ? 26?
并且,对于数集A中 的每一个时刻t,按照 图中的曲线,在数集B 中都有唯一确定的臭 氧层空洞面面积S与它 对应。

引例三 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间 1991 1992 199 3 (年) 恩格 53.8 52.9 尔系 数 (%) 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

请问: (1)我们可以用什 么方法表示函数? (2)如何用集合与对应 的语言来描述这些关系?

函数的概念:
设A,B是非空的数集,如果按照某种对应关 系f,使A的任何一个数x,在B中都有唯一确定的 数f(x)和它对应,那么就称 f:A B为从集 合A到集合B的一个函数。记作

y ? f x , x?A
? ? ? ? ? ? ? ?

x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域, 与x的值对应的y值叫做函数值 函数值的集合{f ? x? | x ? A}叫做函数的值域 值域是集合B的子集

例1 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ?

(1)求函数的定义域 2 (2)求 f (?3), f ( 3 ) 的值

1 x?2

(3)当a>0时,求 f (a), f (a ?1) 的值 解(1) x ? 3 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3} 1 x ? 2 有意义的实数x的集合是{x|x≠-2} 所以 这个函数的定义域就是
{x | x ? ?3} ? {x | x ? ?2} ? {x | x ? ?3, 且x ? ?2}

1 f (?3) ? ? 3 ? 3 ? ? ?1 (2) ?3? 2 2 2 1 11 3 3 33 f( )? ?3? ? ? ? ? 2 3 3 3 8 8 3 ?2 3 (3)因为a>0,所以f(a),f(a-1)有意义 1 f (a) ? a ? 1 ? a?2 1 1 f (a ? 1) ? a ? 1 ? 3 ? ? a?2? a ?1 ? 2 a ?1

课堂练习:P19练习1、2

注意:研究函数关系时,通常要指明它的定义域; 当定义域为实数时,通常省略不写。 几类函数的定义域 (1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是 实数集R。
(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是 使分母不为零的实数的集合。 (3)如果函数f(x)是偶次根式,那么函数的定义 域是使被开方式大于或等于零的实数集合。

(4)如果函数f(x)几部分的数学式子构成,那么 函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合(即 求各集合的交集)。
(5)满足实际问题有意义。

定义域

函数

对应关系 值域

*值域是由定义域和对应关系决定的 *如果两个函数的定义域和对应关系完全一致, 就称这两个函数相等

函数 一次函数 二次函数 反比例函数

定义域 R R

值域 R
2 ? 4ac ? b2 ? 或 ? y | y ? 4ac ? b ? ? ? ?y | y ? ? ? 4a ? 4 a ? ?

?x | x ? 0?

? y | y ? 0?

例2下列函数哪个与函数y=x相等

(1) y ? (

x)

2

( 2) y ? 3
( 4) y ?

x3
x2

(3) y ?

x2
2

解(1) y ? ( x ) ? x ( x ? 0) ,这个函数与y=x(x∈R) 对应一样,定义域不同,所以和y=x (x∈R)不相等 (2) y ? 3 x3 ? x ( x ? R ) 这个函数和y=x (x∈R) 对应关系一样 ,定义域相同x∈R,所以和y=x (x∈R)相等 x,x≥0 (3) 这个函数和y=x(x∈R) 2 y ? x ?| x |? -x,x<0
定义域相同x ∈R,但是当x<0时,它的对应关系为y=-x 所以和y=x(x∈R)不相等

x

(4) y?

x2

x

? x 的定义域是{x|x≠0},与函数 y=x(x∈R)

的对应关系一样,但是定义域 不同,所以和y=x(x∈R)不相 等

课堂练习:P19 练习3

函数表示法
解析法、列表法、图像法

二、函数的三种表示 表示函数的方法,常用的有公式法、表格法和图像法三种。 1.解析法(或公式法) 2 3 y ? x S ? ? r2 以前我们学过的函数如 , y ? 2 x ? 、圆的面积公式 等,

它们都是用一个公式表示的。像这样,用一个或几个 等式来表示函数的方法,叫做公式法,这样的等式称 为该函数的解析表达式,简称解析式。 用这种方法表示函数时,有时将函数的定义域标明 出来,而有时不标明。此时我们约定:函数的定义域 指所有使解析式有意义的实数x组成的集合。有些函 数在整个定义域上不能用一个公式来表示,而是在各 个小区间上分别用不同的公式来表示,这种函数称为 分段函数。

其优点是:简明准确,便于理论分析和计算,是表示函数的一种最 常用的方法;其缺点是:不直观,同时,有些实际问题中的函数关 、 系,很难甚至不能用解析式表示出来。 2.表格法 将自变量的一系列值与其对应的函数值列成表格来表示函数的 方法称为表格法或列表法。 例如,初中时用的数学用表,就是把常用的一些函数关系用表 格的形式表示出来,以方便我们使用时查阅, 又如,我国建国后进行了五次人口普查,每次的数据如下:
年 总人口数 (亿) 1953 5.9 1964 6.9 1982 10.1 1990 11.0 2000 13.0

表1-1 其优点是:在表中直接由自变量的值查到对应的函数值; 其缺点是:不可能把自变量的所有值都列在表内,不直观,不便于理论分析。

3.图像法 在平面直角坐标系中把自变量与因变量之间的函数关系用几 何图形来表示出来的方法叫做图像法。例如,心血管病人 所作的心电图,反映的就是时间与心率等参数之间的关系。 其优点是:形象直观,由函数的图像可以一目了然地看出函 数的若干性质,便于对函数作定性分析;同时,实际问题 中的不少函数关系,不能用解析式表示,只能用实验的方 法记录出它们的图像。又例如,气象台用温度自动记录仪 描绘出某地区某一天的气温变化曲线, 它表示了某天中的气温与时间的函 关系(图3-2)。函数的以上三种表 示方法在具体使用时应以解析法为主, 其它两种方结合使用。 例5 某运输公司规定吨公里(每吨货物每公里)运价在a公 里内k元,超过公里部分为八折优惠。每吨货物运价元和 路程公里之间的函数关系并写出定义域。

解: 依题意,


s 只能取正值。 当 0 ? s ? a

时, m ? kS

m ? ka ? 0.8k ? s ? a ? ? 0.2ka ? 0.8ks 当 S ? a 时,
这就是所求的函数关系,它的定义域为 ? 0, a? ? ? a, ??
ks, 0 ? s ? a ? m?? ?ka ? 0.8k ? s ? a ? , s ? a

例4 国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的邮资如 表 表3-2 信函质量 (m) / g 0 ? m ? 20 20 ? m ? 40 40 ? m ? 60 60 ? m ? 80 80 ? m ? 100
邮资 (M)/g

1.20

2.40

3.60

4.80
M元 7.20 6.00 4.80 3.60 2.40 1.20 O 20 40 60 80

6.00

画出像, 并写出函数的解析式。 解 邮资是信函质量的函数, 函数图像如图3-3 函数的解析式为

100

m /g

?2.40, ? ? M ? ?3.60, ?4.80, ? ? ?6.00,

20 ? m ? 40, 40 ? m ? 60, 60 ? m ? 80, 80 ? m ? 100

0.5 元,买 x 个零件需付款 例4.某机某机械零件的单价为: f ( x) 求 f ( x) ,并作出它的图像。

解:由题设可得

f ( x) ? 0.5x, x ? N ,

这个函数的图像有一些点组成。如图3-4。

引例一 一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标。炮弹的射高 为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间(单 位:s)变化的规律是 h=130t-5t2 炮弹发行时间t的变化范围是数集A= t | 0 ? t ? 26? ,炮弹 离地面的高度h的变化范围是B=?t | 0 ? t ? 845? 。从问题 的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间t,按照对 应关系,在数集中都有唯一确定的高度h和它对应。

?

引例二:
近几年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.下图 中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化 情况 据图中的曲线可知, 时间t变化范围是数集 A= ?t |1979 ? t ? 2001? 臭氧层空洞面积S的变 化范围是数集b=

?s | 0 ? s ? 26?
并且,对于数集A中 的每一个时刻t,按照 图中的曲线,在数集B 中都有唯一确定的臭 氧层空洞面面积S与它 对应。

引例三 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间 1991 1992 199 3 (年) 恩格 53.8 52.9 尔系 数 (%) 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

请问: (1)我们可以用什 么方法表示函数? (2)如何用集合与对应 的语言来描述这些关系?


§1.3-函数的基本性质

练习: 1.已知是定义在 R 上的奇函数,且当时, ,则= ___ 2.已知函数是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则 a=___,b=___。 3.函数的图像关于( ) A....

§1.3-函数的基本性质

练习: 1.已知是定义在 R 上的奇函数,且当时, ,则= ___ 2.已知函数是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则 a=___,b=___。 3.函数的图像关于( ) A....

§ 3.2.1几个常见函数的导数以及导数的运算法则

释为 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. ( 1) y ? x ? 2 x ? 3 3 1 4.函数 y ? f ( x ) ? 的导数 x (2) y ? ...

§1.3 函数的基本性质

1 x-1, x≥0, 2 6.已知 f(x)=若 f(a)>a,则实数 a 的取值范围是___. 1 , x<0, x 双基演练:1.若函数 y=(2k+1)x+b 在 R 上是减函数,...

第一章 集合与函数概念 §1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大(小)值 1. 函数单调性的概念 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,2,...

§1.3 函数的基本性质

1.3函数的基本性质单调性教... 4页 免费 新课标高一数学——函数的... 3页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此...

§1.3.1函数的单调性(原创)

§1.3.1函数的单调性(原创)_数学_高中教育_教育专区。§1.3.1 函数的单调性教学目标 ? 1、知识目标: ? 1).理解函数的单调性概念. ? 2).会判定函数的...

§3.1.1 函数的概念

函数的基本性质 § 3.1.1 函数的概念 1.理解函数的概念,会用集合与对应的语言刻画函数; 2.会求一些简单函数的定义域和值域; 3.会求简单函数的解析式...

§3.3 函数的运算

高一数学【学案】 第章《函数的基本性质—函数的运算》 § 函数的运算 3.3 1.理解两个函数的和函数与积函数的意义; 2.会求两个函数的和函数,积函数; 3...

§1.3.1函数的单调性

§1.3.1 函数的单调性教学目的: (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意 义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够...