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倍角公式和半角公式一

时间:2017-08-02


倍角公式和半角公式一
目标认知: 学习目标:
1.能从两角和差公式导出二倍角的正弦,余弦,正切公式; 2.能运用倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出半角公式,积化和差,和差化积公 式) ; 3.体会换元思想,化归思想,方程思想等在三角恒等变换中的作用.

学习重点:
倍角公式及其变形.

学习难点:

倍半角公式变形及应用.

内容解析: 1.倍角公式
在和角公式中令 = ,即得二倍角公式: ; ;

. 注意: (1)二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数,它适用于二 倍角与单角的三 角函数之间的互化问题.

(2) “倍角” 的意义是相对的, 不局限于 等,也为



的形式. 例如







引出半角作准备. (3)二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式.

(4)二倍角的正切公式成立的条件: (5)熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次) .



(6)公式的逆用及变形:



2.半角公式
由倍角公式变形得到:







前两个公式在化简中多用于降次,而开方即得到半角公式:







其中正负号由

的象限确定.

借助倍角公式还可得到另一个半角公式: 不必考虑正负.

,好处在于可以

3.积化和差与和差化积(整理的方向,适当换元)
(1)积化和差:

(2)和差化积:

本周典型例题:

1.已知

,求 sin2a,cos2a,tan2a 的值.

解析:∵



∴sin2a = 2sinacosa =

cos2a =

tan2a =

2.已知

,求



解析:注意公式的选择,避开不必要的计算和讨论.

=



3.求值:

(1)



(2)



(3)



(4)



(5)cos20°cos40°cos80°;

解析: (1)

=



(2)





(3)





(4)





(5)cos20°cos40°cos80° =

注意:关注(5)的结构特点.

4.化简:

(1)

(2) (3)

(4)

解析: (1)

(2) (3)

(4)

5.已知: 解析: 先关注角——已知中的两个角互为余角.则有:

,求







6.证明

解析:左=

=右,

另解:右= 7.已知函数 (1)求 的周期与单调区间; .

左.

(2)设



,求

的值.

解析:倍角公式与辅助角公式相结合. (1)整理化简

所以周期为

,增区间

,减区间

(2)

,进而

所以

8.已知函数

(Ⅰ)求函数

的最小正周期和图象的对称轴方程;

(Ⅱ)求函数

在区间

上的值域.

解析: (1)



函数图象的对称轴方程为

(2)

因为 单调递减,

在区间

上单调递增,在区间



所以当

时,

取最大值 1



,当

时,

取最小值

所以函数

在区间

上的值域为

9.已知函数 (Ⅰ)求函数 的最小正周期及最值;



(Ⅱ)令

,判断函数

的奇偶性,并说明理由.

解析: (Ⅰ)



的最小正周期





时,

取得最小值





时,

取得最大值 2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

.又





. 函数 参考答案: 是偶函数.

DCB

2008

8.解:

——降次






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