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高中数学选修1-2


第一章 统计案例

a. 比《数学3》中“回归”增加的内 选修1-2——统计案例 容 数学3——统计
1. 画散点图 2. 了解最小二乘法 的思想 3. 求回归直线方程 y=bx+a 4. 用回归直线方程 解决应用问题 5. 引入线性回归模型 y=bx+a+e 6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因 7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之

间的关系 8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果

1、定义:

自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随
机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 注 1):相关关系是一种不确定性关系; 2):对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫回归分析。

2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如:人的身高与年龄; 产品的成本与生产数量;

商品的销售额与广告费;
家庭的支出与收入。等等

案例1:女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图: 2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系,因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。

例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。

? 和b ? 就是未知参数a和b的最好估计, 根据最小二乘法估计a
b?
?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )

2 ( x ? x ) ? i i ?1

a ? y ?b x

?

?

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx ? y ? nx
2

?x
i ?1

2

i

例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。

于是得到 b ? 0.849 , a ? ?85.712
^ ^

( x, y)称为 样本点的中心

探究P4: ? 身高为172cm 的女大学生的体重一定是 所以回归方程是 y ? 0.849x ? 85.712 60.316kg吗? 如果不是,你能解析一下原因吗? 所以,对于身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报 其体重为

? y ? 0.849 ? 72 ? 85.712 ? 60.316( kg)

探究P4: 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg 吗?如果不是,你能解析一下原因吗?

答:身高为172cm的女大学生的体重不一定是 60.316kg,但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。

60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重 的预测值,而是所有身高为172cm的女大学生平均 体重的预测值。

函数模型与回归模型之间的差别
中国GDP散点图 120000

100000

80000

GDP

60000

40000

20000

0 1992

1993

1994

1995

1996

1997 年

1998

1999

2000

2001

2002

2003

函数模型: y ? bx ? a 回归模型: y ? bx ? a ? e

可以提供 选择模型的准则

思考 产生随机误差项e的原因是什么?
随机误差e的来源(可以推广到一般): 1、其它因素的影响:影响体重y 的因素不只 是身高 x,可能还包括遗传基因、饮食习惯、 生长环境等因素; 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误 差; 3、身高 x 的观测误差。

函数模型与回归模型之间的差别

函数模型: y ? bx ? a 回归模型: y ? bx ? a ? e
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e,因变量y的值 由自变量x和随机误差项e共同确定,即自变量x只能解析部分y 的变化。 在统计中,我们也把自变量x称为解析变量,因变量y称为预 报变量。

表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及 相应的残差数据。
编号
身高/cm 体重/kg 残差

1
165 48
-6.373

2
165 57
2.627

3
157 50
2.419

4
170 54
-4.618

5
175 64
1.137

6
165 61
6.627

7
155 43
-2.883

8
170 59
0.382

使用公式

? i =y ? ? e y i 计算残差 i

我们可以利用图形来分析残差特性,作图时纵 坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数 据,或体重估计值等,这样作出的图形称为残差图。

残差图的制作及作用。 ? 坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择; 几点说明: 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为 ? 若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以 的错误。如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数 据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因。 横轴为心的带形区域; 另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这 ? 对于远离横轴的点,要特别注意。 样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高。

身 高 与 体 重 残 差 图

异 常 点
? 错误数据 ? 模型问题

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是
2 ? ( y ? y ) ? i i 2 ( y ? y ) ? i i ?1 i ?1 n n

R ? 1?
2

残差平方和 ? 1? 。 总偏差平方和

显然,R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是 说模型拟合效果越好。

在线性回归模型中,R2表示解析变量对预报变量变 化的贡献率。
R2越接近1,表示回归的效果越好(因为R2越接近1, 表示解析变量和预报变量的线性相关性越强)。

如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分 析,则可以通过比较R2的值来做出选择,即选取R2较大 的模型作为这组数据的模型。

总的来说: 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中,它代表自变量刻画预报变量的 能力。

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是
2 ? ( y ? y ) ? i i 2 ( y ? y ) ? i i ?1 i ?1 n n

R ? 1?
2

残差平方和 ? 1? 。 总偏差平方和

表1-3
来源 解释变量(身高) 随机误差(e) 平方和 225.639 128.361 比例 0.64 0.36

总计

354

1

从表3-1中可以看出,解析变量对总效应约贡献了64%,即 R2≈0.64,可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”,而随 机误差贡献了剩余的36%。所以,身高对体重的效应比随机误 差的效应大得多。

用身高预报体重时,需要注意下列问题:
——这些问题也使用于其他问题。
1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性; 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围; 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上,它是预报变量的可能取值的平均值。

一般地,建立回归模型的基本步骤为:
(1)确定研究对象,明确哪个变量是解析变量,哪个变量 是预报变量。 (2)画出确定好的解析变量和预报变量的散点图,观察它 们之间的关系(如是否存在线性关系等)。 (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线 性关系,则选用线性回归方程y=bx+a). (4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)。 (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应 残差过大,或残差呈现不随机的规律性,等等),过存在 异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等。

回归分析与相关分析的区别
1.

2.

3.

相关分析中,变量 x 变量 y 处于平等的地位;回归 分析中,变量 y 称为因变量,处在被解释的地位,x 称为自变量,用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量;回 归分析中,因变量 y 是随机变量,自变量 x 可以是 随机变量,也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切 程度;回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影 响大小,还可以由回归方程进行预测和控制


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