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高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

时间:2015-05-05


《圆与方程》知识点整理
一、标准方程 ? x ? a ? 2 ? ? y ? b ? 2 ? r 2 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心 ? a, b? 和半径 r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材 P 119 例 2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ?
1. Ax2 ? By 2 ? Cxy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆方程则

? ? ?A ? B ? 0 ?A ? B ? 0 ? ? ? ?C ? 0 ?C ? 0 ? ? D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 2 2 ? ?? D ? ? ? E ? ? 4 ? F ? 0 ? ? ? ? ? A ?? A ? ? A ?
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法: 3. D ? E ? 4F ? 0 常可用来求有关参数的范围
2 2

三、圆系方程: 四、参数方程: 五、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系 d ? r ? 点在圆内; d ? r ? 点在圆上; d ? r ? 点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点 B ,圆上一动点 P ,讨论 PB 的最值

PB min ? BN ? BC ? r PB max ? BM ? BC ? r
(2)圆内一点 A ,圆上一动点 P ,讨论 PA 的最值

P Am i n? A N? r ? AC

PA max ? AM ? r ? AC

思考:过此 A 点作最短的弦?(此弦垂直 AC )
1

六、直线与圆的位置关系 1.判断方法( d 为圆心到直线的距离) (1)相离 ? 没有公共点 ? ? ? 0 ? d ? r (2)相切 ? 只有一个公共点 ? ? ? 0 ? d ? r (3)相交 ? 有两个公共点 ? ? ? 0 ? d ? r 这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 (1)知识要点 ①基本图形 ②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等 问题:直线 l 与圆 C 相切意味着什么? 圆心 C 到直线 l 的距离恰好等于半径 r (2)常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ... i)点在圆外
2 2 如定点 P ? x0 , y0 ? ,圆: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,[ ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ] 2 2 2 2

第一步:设切线 l 方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 第二步:通过 d ? r ? k ,从而得到切线方程 特别注意:以上解题步骤仅对 k 存在有效,当 k 不存在时,应补上——千万不要漏了! 如:过点 P ?1, 1? 作圆 x ? y ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 的切线,求切线方程.
2 2

答案: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 和 x ? 1 ii)点在圆上 1) 若点 ? x0, y0 ? 在圆 x ? y ? r 上,则切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2
2 2 2

会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目. 2) 若点 ? x0, y0 ? 在圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 上,则切线方程为
2 2

? x0 ? a?? x ? a? ? ? y0 ? b?? y ? b? ? r 2
碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果. 由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断 点与圆的位置关系,得出切线的条数. ③求切线长:利用基本图形, AP ? CP ? r ? AP ?
2 2 2

CP ? r 2

2

3.直线与圆相交 (1)求弦长及弦长的应用问题 垂径定理 及勾股定理——常用 ....

2

弦长公式: l

?

1 ? k 2 x1 ? x2 ?

x ?1 ? k ? ? ??
2

1

? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ?
2

(暂作了解,无需掌握)

(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合) :直线过定点,而定点恰好在圆内. (3)关于点的个数问题
2 例:若圆 ? x ? 3? ? ? y ? 5 ? ? r 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离为 1,则 2 2

半径 r 的取值范围是_________________.

答案: ? 4, 6?

4.直线与圆相离 会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时) 七、对称问题
2 2 2 1.若圆 x ? y ? m ? 1 x ? 2my ? m ? 0 ,关于直线 x ? y ? 1 ? 0 ,则实数 m 的值为____.

?

?

答案:3(注意: m ? ?1 时, D ? E ? 4F ? 0 ,故舍去)
2 2

变式: 已知点 A 是圆 C : x2 ? y 2 ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点,A 点关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点在圆 C 上,则实数 a ? _________. 2.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 1 关于直线 x ? y ? 0 对称的曲线方程是________________.
2 2

变式:已知圆 C1 :? x ? 4 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 与圆 C2 :? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 1 关于直线 l 对称,
2 2 2 2

则直线 l 的方程为_______________. 3.圆 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 关于点 ? 2, 3? 对称的曲线方程是__________________.
2 2

八、最值问题 方法主要有三种: (1)数形结合; (2)代换; (3)参数方程 1.已知实数 x , y 满足方程 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 ,求:
2 2

y 的最大值和最小值;——看作斜率 x?5 (2) y ? x 的最小值;——参数法; 截距(线性规划)
(1) (3) x ? y 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2 2

2.已知 ?AOB 中, OB ? 3 , OA ? 4 , AB ? 5 , 点 P 是 ?AOB 内切圆上一点, 求以 PA ,

PB , PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可!
2 3.设 P ? x, y ? 为圆 x ? ? y ? 1? ? 1 上的任一点,欲使不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,则 c 的取 2

值范围是____________. 答案: c ? 2 ? 1 (数形结合和参数方程两种方法均可! ) 七、圆的参数方程
3

? x ? r cos ? , ? 为参数 x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? ? ? ? y ? r sin ?

? x ? a? ? ? y ? b?
2

2

? x ? a ? r cos? , ? 为参数 ? r 2 ? r ? 0? ? ? ? y ? b ? r sin ?

八、相关应用 1.若直线 mx ? 2ny ? 4 ? 0 ( m , n ? R ) ,始终平分圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的周长, 则 m ? n 的取值范围是______________. 2.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,问:是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得 的弦为 AB ,以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程,若不存在,说明理 由. 提示:x1 x2 ? y1 y2 ? 0 或弦长公式 d ? 1 ? k
2 2

2

x1 ? x2 . 答案:x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0

3. 已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 ,点 A ? 0, 1? , B ? 0, 1? ,设 P 点是圆 C 上的动点,

d ? PA ? PB ,求 d 的最值及对应的 P 点坐标.
4.已知圆 C : 直线 l : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 25 , ? 2m ?1? x ? ? m ?1? y ? 7m ? 4 ? 0( m ? R )
2 2

2

2

(1)证明:不论 m 取什么值,直线 l 与圆 C 均有两个交点; (2)求其中弦长最短的直线方程.
2 5.若直线 y ? ? x ? k 与曲线 x ? ? 1 ? y 恰有一个公共点,则 k 的取值范围.

6.已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P , Q 两点, O 为坐标原点,
2 2

问:是否存在实数 m ,使 OP ? OQ ,若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 九、圆与圆的位置关系 1.判断方法:几何法( d 为圆心距) (1) d ? r 1 ?r 2 ? 外离 (3) r 1 ?r 2 ?d ?r 1 ?r 2 ? 相交 (5) d ? r 1 ?r 2 ? 内含 2.两圆公共弦所在直线方程 圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 2 ? 0, 1 ? 0 ,圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F
2 2

(2) d ? r 1 ?r 2 ? 外切 ( 4) d ? r 1 ?r 2 ? 内切

则 ? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? ? F 1 ?F 2 ? ? 0 为两相交圆公共弦方程. 补充说明:
4

若 C1 与 C2 相切,则表示其中一条公切线方程; 若 C1 与 C2 相离,则表示连心线的中垂线方程. 3 圆系问题
2 2 (1)过两圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 2 ? 0 交点的 1 ? 0 和 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F
2 2 2 2 圆系方程为 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ( ? ? ?1 )

?

?

说明:1)上述圆系不包括 C2 ;2)当 ? ? ?1 时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦) ( 2 ) 过 直 线 A x? B y ? C? 0 与 圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 交 点 的 圆 系 方 程 为

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0
(3)有关圆系的简单应用 (4)两圆公切线的条数问题 ①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相交时,有两条公切线;④相 离时,有四条公切线 十、轨迹方程 (1)定义法(圆的定义) :略 (2)直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标 的关系式——轨迹方程. 例:过圆 x 2 ? y 2 ? 1外一点 A? 2, 0? 作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析: OP ? AP ? OA
2 2 2

(3)相关点法(平移转换法) :一点随另一点的变动而变动

?

?

动点 主动点 特点为:主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动.

5

法 2: (参数法) 设 B ?3cos? , 3sin ? ? ,由 ?BOC ? 2?BAC ?

2? ,则 3

? 2? ? C ? 3cos ?? ? 3 ? ?
设 G ? x, y ? ,则

2? ? ? ? ? ? , 3sin ?? ? ? 3 ?? ? ? ?

? 2? ? ? 3 ? 3cos ? ? 3cos ? ? ? ? ? xA ? xB ? xC 2? ? 3 ? ? ? ?x ? ? ? 1 ? cos ? ? cos ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? 2? ? ? ? 3sin ? ? 3sin ? ? ? ? ? y A ? yB ? yC 2? ? 3 ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? 2? ?y ? ? 3 3 3 ? ? ?

?1?

? 2 3 ? 2 2 ? 3? ? ? 4? ? ? ? ? ? , ? ,由 ? ?1? ? 1? ? ? 2 ? 得: ? x ? 1? ? y 2 ? 1 x ? ?0, ?, y ? ? ? 2 , 1? ? 2? ?3 3 ? ? ?
参数法的本质是将动点坐标 ? x, y ? 中的 x 和 y 都用第三个变量(即参数)表示,通过消 . 参 得到动点轨迹方程,通过参数的范围得出 x , y 的范围. . (4)求轨迹方程常用到得知识

x ?x ?x x ?x ? ? x? A B C x? 1 2 ? ? ? ? 3 2 ①重心 G ? x, y ? , ? ②中点 P ? x, y ? , ? ? y ? y A ? yB ? yC ? y ? y1 ? y2 ? ? ? 2 3 ?
③内角平分线定理:

BD CD

?

AB AC

④定比分点公式: ⑤韦达定理.

x ? ? xB y ? ? yB AM ? ? ,则 xM ? A , yM ? A MB 1? ? 1? ?

6


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