nbhkdz.com冰点文库

2011年高考试题数学理(重庆卷)正规解析版

时间:2011-08-18


绝密★ 绝密★启用前

解密时间: 解密时间:2011 年 6 月 7 日 17﹕00 ﹕

【考试时间﹕6 月 7 日 15﹕00—17﹕00】 考试时间﹕ 考试时间 ﹕ ﹕

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 理工农医类) 数学试题卷(理工农医类)

数学试题卷(理工农医类)共 4 页,满分 150 分。考试时间 120 分钟。

注意事项:
1. 答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 答非选择题时, 必须使 0.5 毫米黑色墨水签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5. 考试结束,将试题卷和答题卡一并收回。

选择题: 小题, 在每小题给出的四个备选项中, 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 选择题 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的 (1)复数

i2 + i3 + i 4 = 1? i
(B) ?

(A) ?

1 1 ? i 2 2 1 1 (C) ? i 2 2
2

1 1 + i 2 2 1 1 (D) + i 2 2

(2) x < ?1 ”是“ x ?1 > 0 ”的 “ (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (3)已知 lim(
x →∞

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A) ?6

2 ax ?1 + ) = 2 ,则 a = x ?1 3x
(B)2 (C)3
5 6

(D)6

(4) (1 + 3 x) n (其中 n ∈ N 且 n≥6)的展开式中 x 与 x 的系数相等,则 n = (A)6 (B)7 (C)8 (D)9

(5)下列区间中,函数 f ( x ) = | ln( 2 ? x ) | 在其上为增函数的是 (A) (- ∞,1 ] (B) [ ?1, ]

4 3

(C) [ 0 ,

3 ) 2

(D) [ 1 , 2 )

数学试题卷 第 1 页 共 4 页

(6)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 ( a + b) ? c = 4 ,且 C =60°,
2 2

则 ab 的值为 (A)

4 3

(B) 8 ? 4 3

(C)1

(D)

2 3

(7)已知 a>0,b>0,a + b =2,则 y = (A)

7 2

(B)4

1 4 + 的最小值是 a b 9 (C) 2

(D) 5

(8)在圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 6 y = 0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD , 则四边形 ABCD 的面积为 (A) 5 2 (B) 10 2 (C) 15 2 (D) 20 2

(9)高为

2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S、A、B、C、D 均在 4

半径为 1 的同一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 (A)

2 4

(B)

2 2

(C)1

(D) 2 [来源:学|

(10)设 m,k 为整数,方程 mx ? kx + 2 = 0 在区间(0,1)内有两个不同的根,则 m+k 的
2

最小值为 (A)-8

(B)8

(C)12

(D) 13

填空题: 小题, 把答案写在答题卡相应位置上. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案写在答题卡相应位置上. 填空题 (11)在等差数列 {an } 中, a 3 + a 7 = 37 ,则 a2 + a4 + a6 + a8 = __________ (12)已知单位向量 e1 , e 2 的夹角为 60°,则 | 2e1 ? e 2 | __________ (13)将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为___ (14)已知 sin α =

1 π + cos α ,且 α ∈ ( 0 , ) ,则 2 2

cos 2α sin(α ?

π
4

的值为__________

)

(15)设圆 C 位于抛物线 y 2 = 2 x 与直线 x = 3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 C 的半径能取到的最大值为__________

数学试题卷 第 2 页 共 4 页

解答题: 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题 (16) (本小题满分 13 分) 设 a ∈ R, f ( x ) = cos x ( a sin x ? cos x ) + cos 2 ( 数 f ( x) 在 [

π

π 11π

? x ) 满足 f (? ) = f (0) ,求函 2 3

π

, ] 上的最大值和最小值. 4 24

(17) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房 源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的. 求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ξ 的分布列与期望。

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分.) 设 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + 1 的导数 f '( x ) 满足 f '(1) = 2 a , f '( 2 ) = ? b ,其中常 数 a ,b ∈ R . (Ⅰ)求曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)设 g ( x ) = f '( x )e ? x ,求函数 g ( x ) 的极值。

数学试题卷 第 3 页 共 4 页

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分.) 平面 ABC ⊥ 平面 ACD ,AB ⊥ BC ,AD = CD , 如题 (19) 在四面体 ABCD 中, 图, ∠CAD = 30° 。 (Ⅰ)若 AD = 2 , AB = 2 BC ,求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ) 若二面角 C ? AB ? D 为 60° ,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值.

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题(20)图,椭圆的中心为原点 O ,离心率 e = (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ) 设动点 P 满足: OP = OM + 2ON ,其中 M , N 是椭圆上的点,直线 OM 与

2 ,一条准线的方程为 x = 2 2 . 2

1 ON 的斜率之积为 ? ,问:是否存在两个定点 F1 , F2 ,使得 PF1 + PF2 为定值?若存 2
在,求 F1 , F2 的坐标;若不存在,说明理由.

来源:高考资源网 K

.C

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 设实数数列 {a n } 的前 n 项和 S n ,满足 S n +1 = a n +1 S n (n ∈ N*). (Ⅰ)若 a1 , S 2 ? 2a2 成等比数列,求 S2 和 a3 ; (Ⅱ)求证:对 k≥3 有 0≤ a k +1 ≤ a k ≤

4 . 3

数学试题卷 第 4 页 共 4 页

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学(理工农医类) 数学(理工农医类)答案
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 选择题:本题考查基础知识和基本运算. (1)解析:选 B.

?i (1 + i ) i 2 + i 3 + i 4 ?1 ? i + 1 1? i = = = 。 1? i 1? i (1 ? i )(1 + i ) 2
2 2

(2)解析:选 A. x ? 1 > 0 ? x > 1或,x < ?1 ,故“ x < ?1 ”是“ x ? 1 > 0 ”的充分而不必 要条件 (3)解析:选 D.

? 6 x + ax 2 ? ax ? x + 1 ? ax 2 ? ( a ? 5 ) x + 1 ax ? 1 ? ? 2 lim ? + =2, ? = lim ? = lim ? ? ? x →∞ x →∞ x ? 1 3 x ? x →∞ ? 3 x ( x ? 1) 3x 2 ? 3x ? ?


a =2?a =6 3
n r r 5 6
5 5

(4)解析:选 B。 (1 + 3 x ) 的通项为 Tr +1 = Cn ( 3 x ) ,故 x 与 x 的系数分别为 Cn 3 和
6 Cn 36 ,令他们相等,得:

n! n! 35 = 36 ,解得 n = 7 5!( n ? 5 ) ! 6!( n ? 6 ) !

(5)解析:选 D。用图像法解决,将 y = lg x 的图像关于 y 轴对称得到 y = lg ( ? x ) ,再向 右平移两个单位,得到 y = lg ? ( x ? 2 ) ,将得到的图像在 x 轴下方的部分翻折上来,即得 到 f ( x) = lg(2 ? x) 的图像。由图像,选项中 f ( x ) 是增函数的显然只有 D ( 6 ) 解 析 : 选 A 。 由 (a + b) 2 ? c 2 = 4 得 a + b + 2ab ? c = 4 , 由 C = 60 得
2 2 2 0

(

)

cos C =

4 a 2 + b 2 ? c 2 4 ? 2ab 1 = = ,解得 ab = 2ab 2ab 2 3

(7) 解析:选 C。因为 a+b=2,所以

y=

1 4 ? 1 4 ?? a + b ? 1 ? b 4a b 4a ? 9 ? 1? + = ? + ?? + 4? ≥ ?5 + 2 ?= ? = ?1 + + ? a b ? a b ?? 2 ? 2 ? a b a b ? 2 ? 2? ?
2 2

(8)解析:选 B ,由题意,AC 为直径,设圆心为 F,则 FE ⊥ BD ,圆的标准方程为

( x ? 1) + ( y ? 3)

= 10 ,故 F (1,3) ,由此,易得: AC = 2 10 ,又 k EF =

3 ?1 = 2 ,所 1? 0

数学试题卷 第 5 页 共 4 页

1 ? +1? 3 1 2 以直线 BD 的方程为 y = ? x + 1 , 到 BD 的距离为 F 由此得, = 2 5 BD = 5, 2 5 2
所以四边形 ABCD 的面积为

1 1 AC BD = × 2 5 × 2 10 = 10 2 2 2
2 2 ,于是 OG = ,用一 2 2

(9)解析:选 C. 设底面中心为 G,球心为 O,则易得 AG =

个与 ABCD 所在平面距离等于

2 的平面去截球,S 便为其中一个交点,此平面的中心设 4
, 故



H





2 2 2 OH = ? = 2 4 4
2 2

? 2? 7 SH = 1 ? ? ? 4 ? =8 ? ? ?
2 2

2





7 ? 2? SG = SH + HG = +? ? =1 ? 8 ? 4 ? ?
2

(10)解析:选 D. 设 f ( x ) = mx ? kx + 2 ,则方程 mx ? kx + 2 = 0 在区间(0,1)内有两
2
2

? f ( 0 ) f (1) > 0 ? k ? 个不同的根等价于 ? 0 < < 1 ,因为 f ( 0 ) = 2 ,所以 f (1) = m ? k + 2 > 0 ,故抛物 2m ? ? k 2 ? 8m > 0 ?
线开口向上, 于是 m > 0 , < k < 2m , m = 1 , 0 令 则由 k ? 8m > 0 , k ≥ 3 , m > 得 则
2

k 3 ≥ , 2 2

所以 m 至少为 2,但 k ? 8m > 0 ,故 k 至少为 5,又 m >
2

k 5 ≥ ,所以 m 至少为 3,又由 2 2

m > k ? 2 = 5 ? 2 ,所以 m 至少为 4,……依次类推,发现当 m = 6, k = 7 时, m, k 首次满
足所有条件,故 m + k 的最小值为 13 填空题: 小题, 把答案写在答题卡相应位置上。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案写在答题卡相应位置上。 (11)解析:74. a2 + a8 = a4 + a6 = a3 + a7 = 37 ,故 a2 + a4 + a6 + a8 = 2 × 37 = 74 (12)解析: 3 。

ur uu r 2ci ? c j =
(13)解析:

( 2c ? c )
ur uu r
i j

2

ur 2 uu 2 r ur uu r = 4 ci + c j ? 4ci c j = 4 + 1 ? 4 × cos 60o = 3

11 。硬币投掷 6 次,有三类情况,①正面次数比反面次数多;②反面次数 32

3 比正面次数多;③正面次数而后反面次数一样多; ,③概率为 C6 ?

5 ?1? ?1? ? × ? ? = ,①② ? 2 ? ? 2 ? 16

3

3

数学试题卷 第 6 页 共 4 页

1?
的概率显然相同,故①的概率为

5 16 = 11 2 32

(14)解析: ?

14 。 2 7 π 2 2 , 故 s in(α ? ) = ( sin α ? cos α ) = , 2 4 2 4 7 cos 2α 14 ,所以 =? π 4 2 sin(α ? ) 4

由 题 设 条 件 易 得 : sin α + cos α =

cos 2α = ( sin α + cos α )( sin α ? cos α ) = ?

(15) 解析: 6 ? 1 。 为使圆 C 的半径取到最大值, 显然圆心应该在 x 轴上且与直线 x = 3 相切,设圆 C 的半径为 r ,则圆 C 的方程为 ( x + r ? 3) + y = r ,将其与 y = 2 x 联立得:
2 2 2

2

x 2 + 2 ( r ? 2 ) x + 9 ? 6r = 0 , 令 ? = ? 2 ( r ? 2 ) ? ? 4 ( 9 ? 6 r ) = 0 , 并 由 r > 0 , 得 : ? ?
2

r = 6 ?1
小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程和清算步骤 解答题: 16. (本题 13 分) 解: f ( x) = a sin x cos x ? cos 2 x + sin 2 x

=
由 f (?

a sin 2 x ? cos 2 x. 2 3 a 1 ? + = ?1, 解得a = 2 3. 2 2 2

π
3

) = f (0)得 ?

因此 f ( x ) = 当 x ∈[

3 sin 2 x ? cos 2 x = 2sin(2 x ?

π
6

).

, ]时, 2 x ? ∈ [ , ], f ( x) 为增函数, 4 3 6 3 2 π 11π π π 3π 当 x ∈[ , ]时, 2 x ? ∈ [ , ], f ( x) 为减函数, 3 24 6 2 4 π 11π π 所以 f ( x )在[ , ]上的最大值为f ( ) = 2. 4 4 3 π 11π 又因为 f ( ) = 3, f ( ) = 2, 4 24 π 11π 11π 故 f ( x )在[ , ] 上的最小值为 f ( ) = 2. 4 24 24
17. (本题 13 分) 解:这是等可能性事件的概率计算问题.

π π

π

π π

数学试题卷 第 7 页 共 4 页

(I) 解法一: 所有可能的申请方式有 34 种, 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 C4 ? 2
2

2

种,从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为

2 C4 ? 2 2 8 = . 4 27 3

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P ( A) =

1 . 3

从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人申请 A 片区 房源的概率为

1 2 8 P4 (2) = C42 ( )2 ( ) 2 = . 3 3 27
(II)ξ 的所有可能值为 1,2,3.又

3 1 = , 4 27 3 C 2 (C1 C 3 + C 2 C 2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P (ξ = 2) = 3 2 4 4 4 2 = (或P (ξ = 2) = 3 4 = ) 27 27 3 3 P (ξ = 1) =
1 2 1 3 C3 C4 C2 4 C42 A3 4 = (或P (ξ = 3) = 4 = ). P (ξ = 3) = 9 9 34 3

综上知,ξ 有分布列 ξ P 从而有 1 2 3

1 27

14 27

4 9

Eξ = 1 ×

1 14 4 65 + 2× + 3× = . 27 27 9 27

18. (本题 13 分) 解: (I)因 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + 1, 故 f ′( x ) = 3 x 2 + 2ax + b. 令 x = 1, 得f ′(1) = 3 + 2a + b, 由已知 f ′(1) = 2a,因此3 + 2a + b = 2a, 解得b = ?3. 又令 x = 2, 得f ′(2) = 12 + 4a + b, 由已知 f ′(2) = ?b, 因此 12 + 4a + b = ?b, 解得 a = ? . 因此 f ( x ) = x ?
3

3 2

3 2 5 x ? 3 x + 1, 从而f (1) = ? 2 2

又因为 f ′(1) = 2 × ( ? ) = ?3, 故曲线 y = f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为

3 2

5 y ? (? ) = ?3( x ? 1), 即6 x + 2 y ? 1 = 0. 2
数学试题卷 第 8 页 共 4 页

(II)由(I)知 g ( x) = (3 x ? 3 x ? 3)e ,从而有 g ′( x) = ( ?3 x + 9 x)e .
2 ?x 2 ?x

令 g ′( x ) = 0, 得 ? 3 x + 9 x = 0, 解得x1 = 0, x2 = 3.
2

当 x ∈ ( ?∞, 0)时, g ′( x) < 0, 故g ( x)在( ?∞, 0) 上为减函数; 当 x ∈ (0,3)时, g ′( x) > 0, 故g ( x) 在(0,3)上为增函数; 当 x ∈ (3, +∞) 时, g ′( x) < 0, 故g ( x)在(3, +∞) 上为减函数; 从而函数 g ( x )在x1 = 0 处取得极小值 g (0) = ?3, 在x2 = 3 处取得极大值 g (3) = 15e . 19. (本题 12 分) (I)解:如答(19)图 1,设 F 为 AC 的中点,由于 AD=CD,所以 DF⊥AC. 故由平面 ABC⊥平面 ACD,知 DF⊥平面 ABC, 即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高,且 DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°= 3 . 在 Rt△ABC 中,因 AC=2AF= 2 3 ,AB=2BC, 由勾股定理易知 BC =
?3

2 15 4 15 , AB = . 5 5 1 1 1 4 15 2 15 4 ? S ?ABC ? DF = × × × = . 3 3 2 5 5 5

故四面体 ABCD 的体积 V =

(II) 解法一: 如答 (19) 1, G, 分别为边 CD, 的中点, FG//AD, 图 设 H BD 则 GH//BC, 从而∠FGH 是异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角. 设 E 为边 AB 的中点, EF//BC, AB⊥BC, EF⊥AB.又由 则 由 知 (I) DF⊥平面 ABC, 有 故由三垂线定理知 DE⊥AB. 所以∠DEF 为二面角 C—AB—D 的平面角,由题设知∠DEF=60° 设 AD = a, 则DF = AD ? sin CAD =

a . 2
a 3 3 1 3 ? = a, 从而 GH = BC = EF = a. 2 3 6 2 6 1 a BD = , 2 2

在 Rt ?DEF中, EF = DF ? cot DEF =

因 Rt△ADE△Rt△BDE,故 BD=AD=a,从而,在 Rt△BDF 中, FH = 又 FG =

1 a AD = , 从而在△FGH 中,因 FG=FH,由余弦定理得 2 2

FG 2 + GH 2 ? FH 2 GH 3 cos FGH = = = 2 FG ? GH 2 FG 6
因此,异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为

3 . 6

数学试题卷 第 9 页 共 4 页

解法二:如答(19)图 2,过 F 作 FM⊥AC,交 AB 于 M,已知 AD=CD, 平面 ABC⊥平面 ACD,易知 FC,FD,FM 两两垂直,以 F 为原点,射线 FM,FC, FD 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 F—xyz. 不妨设 AD=2,由 CD=AD,∠CAD=30°,易知点 A,C,D 的坐标分别为

A(0, ? 3, 0), C (0, 3, 0), D(0, 0,1), uuur 则 AD = (0, 3,1).
显然向量 k = (0, 0,1) 是平面 ABC 的法向量.已知二面角 C—AB—D 为 60°, 故可取平面 ABD 的单位法向量 n = (l , m, n) ,使得 < n, k >= 60 , 从而n =
o

1 . 2

uuur 3 由n ⊥ AD, 有 3m + n = 0, 从而m = ? . 6 6 由l 2 + m 2 + n 2 = 1, 得l = ± . 3
设点 B 的坐标为 B ( x, y , 0);由AB ⊥ BC , n ⊥ AB, 取l =

uuu r

uuu r

uuu r

6 ,有 3

? 4 6 ? x 2 + y 2 = 3, , ?x = ? ? ? 9 ? x = 0, (舍去) 解之得, ? ? 6 ? 3 x? ( y + 3) = 0, ? ? ?y = 7 3 ,?y = ? 3 6 ? 3 ? 9 ?
易知 l = ?

6 与坐标系的建立方式不合,舍去. 3
uuu r 4 6 7 3 4 6 2 3 , , 0). 所以 CB = ( ,? , 0). 9 9 9 9

因此点 B 的坐标为 B (

uuur uuu r uuur uuu r AD ? CB r 从而 cos < AD, CB >= uuur uuu = | AD || CB |

3(? 3 +1 (

2 3 ) 9

=?

4 6 2 2 3 2 ) + (? ) 9 9

3 . 6

故异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为 20. (本题 12 分)

3 . 6

c 2 a2 解: (I)由 e = = , = 2 2, a 2 c
解得 a = 2, c =

2, b 2 = a 2 ? c 2 = 2 ,故椭圆的标准方程为
数学试题卷 第 10 页 共 4 页

x2 y 2 + = 1. 4 2

(II)设 P ( x, y ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由 OP = OM + 2ON 得

uuu r

uuuu r

uuur

( x, y ) = ( x1 , y1 ) + 2( x2 , y2 ) = ( x1 + 2 x2 , y1 + 2 y2 ), 即x = x1 + 2 x2 , y = y1 + 2 y2 .
因为点 M,N 在椭圆 x + 2 y = 4 上,所以 x1 + 2 y1 = 4, x2 + 2 y2 = 4 ,
2 2
2 2 2 2

故 x + 2 y = ( x1 + 4 x2 + 4 x1 x2 ) + 2( y1 + 4 y2 + 4 y1 y2 )
2 2 2 2 2 2

2 2 = ( x12 + 2 y12 ) + 4( x2 + 2 y2 ) + 4( x1 x2 + 2 y1 y2 )

= 20 + 4( x1 x2 + 2 y1 y2 ).
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON =

y1 y2 1 = ? , 因此 x1 x2 + 2 y1 y2 = 0, x1 x2 2
x2 (2 5)2 + y2 ( 10) 2

所以 x 2 + 2 y 2 = 20.

所以 P 点是椭圆

= 1 上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2,则由

椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值,又因 c = 为 F1 ( ? 10, 0), F2 ( 10, 0). 21. (本题 12 分)

(2 5) 2 ? ( 10) 2 = 10 ,因此两焦点的坐标

2 ?S2 = ?2a1a2 , 2 得S2 = ?2S2 , S2 是等比中项知 S 2 ≠ 0.因此S 2 = ?2. (I) 由题意 ? 解: 由 ?S2 = a2 S1 = a1a2 ,

由 S 2 + a3 = S3 = a3 S 2 解得

a3 =

S2 ?2 2 = = . S2 ? 1 ?2 ? 1 3

(II)证法一:由题设条件有 S n + an +1 = an +1 S n , 故 S n ≠ 1, an +1 ≠ 1且an +1 =

Sn a , Sn = n +1 , Sn ? 1 an +1 ? 1
ak ?1 +

ak ?1 Sk ?1 a +S ak ?1 ? 1 a2 = k ?1 k ?2 = = 2 k ?1 . ① 从而对 k ≥ 3 有 ak = ak ?1 Sk ?1 ? 1 ak ?1 + Sk ?2 ? 1 ak ?1 ? ak ?1 + 1 ak ?1 + ?1 ak ?1 ? 1
因 ak ?1 ? ak ?1 + 1 = ( ak ?1 ? ) +
2 2

1 2

3 > 0且ak2?1 ≥ 0 ,由①得 ak ≥ 0 4

数学试题卷 第 11 页 共 4 页

要证 ak ≤
2

ak2?1 4 4 ,由①只要证 2 ≤ , 3 ak ?1 ? ak ?1 + 1 3
2 2

即证 3ak ?1 ≤ 4( ak ?1 ? ak ?1 + 1), 即( ak ?1 ? 2) ≥ 0. 此式明显成立. 因此 ak ≤

4 (k ≥ 3). 3 ak2 > ak , 2 ak ? ak + 1
因此 ak +1 ≤ ak ( k ≥ 3).

最后证 ak +1 ≤ ak . 若不然 ak +1 =

又因 ak ≥ 0, 故

ak > 1,即(ak ? 1) 2 < 0. 矛盾. a ? ak + 1
2 k

证法二:由题设知 S n +1 = S n + an +1 = an +1 S n , 故方程 x ? S n +1 x + S n +1 = 0有根S n 和an +1 (可能相同).
2

因此判别式 ? = S n +1 ? 4 S n +1 ≥ 0.
2

又由 S n + 2 = S n +1 + an + 2 = an + 2 S n +1得an + 2 ≠ 1且S n +1 =
2 an + 2 4 an + 2 2 ? ≥ 0, 即3an + 2 ? 4an + 2 ≤ 0 , 2 an + 2 ? 1 (an + 2 ? 1)

an + 2 . an + 2 ? 1

因此

解得 0 ≤ an + 2 ≤ 由 ak =

4 . 3

因此 0 ≤ ak ≤

4 3

(k ≥ 3).

Sk ?1 ≥ 0 (k ≥ 3) ,得 Sk ?1 ? 1
Sk S k ?1 S ? ak = ak ( ? 1) = ak ( 2 k ?1 ? 1) Sk ? 1 ak S k ?1 ? 1 S k ?1 ?1 S k ?1 ? 1 S
2 k ?1

ak +1 ? ak =

=?

ak =? ? S k ?1 + 1

ak ≤ 0. 1 2 3 ( S k ?1 ? ) + 2 4

因此 ak +1 ≤ ak

(k ≥ 3).

数学试题卷 第 12 页 共 4 页


赞助商链接

2011年高考理科数学-重庆卷 解析版

2011年高考理科数学试题及... 9页 免费 2011年高考理科数学试题及... 9页 ...2011年高考理科数学-重庆卷 解析版2011年高考理科数学-重庆卷 解析版隐藏>> 2011...

2011年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析_高考_高中教育_教育专区。答案精准,解析详尽!2011 年重庆市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 ...

2011年重庆高考数学理科试卷(带详解)

2011年重庆高考数学理科试卷(带详解)_高考_高中教育...2011 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学...【参考答案】 3 【试题解析】 2ei ? e j = (...

2006-2011年高考理科数学试题及解析-重庆卷

2006-2011年高考理科数学试题解析-重庆卷 隐藏>> 2006 (1)已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},A= {2,4,5, 7},B = {3,4,5},则(CUA)∪(CUB)= ...

2009年高考试题——数学理(重庆卷)解析版

2011年高考试题——数学理... 10页 1财富值喜欢此文档的还喜欢 2008年高考试题...2009年高考试题——数学理(重庆卷)解析版 简要介绍资料的主要内容,以获得更多的...

2011年高考数学文科试题解析版(重庆卷)

2011年高考数学文科试题解析版(重庆卷) 隐藏>> 高中数学辅导网 www.shuxuefudao.com 绝密★启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷(文史...

2011年重庆市高考数学试卷(理科)

2010-2014 菁优网 菁优网 www.jyeoo.com 2011 年重庆市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3...

2010年高考数学理科试题解析版(重庆卷)1

2010年高考数学理科试题解析版(重庆卷)1 隐藏>> 高中数学辅导网 www.shuxuefudao.com 绝密*启用前 绝密 启用前 解密时间: 解密时间:2010 年 6 月 7 日 17:...

2009年高考试题——数学理(重庆卷)解析版

2009年高考试题——数学理(重庆卷)解析版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2009年高考试题——数学理(重庆卷)解析版高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 20...

2013年高考试题——数学理(重庆卷)解析版[

2013年高考试题——数学理(重庆卷)解析版[_高考_高中教育_教育专区。2013年高考试题——数学理(重庆卷)解析版[2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学...

更多相关标签