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2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (2)

时间:2016-02-21


2015 年全国高中数学联赛福建省预赛
一、 填空题:本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 6 分,请将答案填在答题卡的相应位置. 1.设集合 A ? {x ? Z |

望 E (? ) ? 2.已知 f ( x) ? x ? g ( x) ,其中 g ( x) 是定义在 R 上,最小正周期为 2 的函数,若 f ( x ) 在区间 [2, 4) 上的 最大值为 1,则 f ( x ) 在区间 [10,12] 上的最大值为 3.设 F1 , F2 为椭圆 C :

x?4 ? 0} ,从集合 A 中随机抽取一个元素 x ,记 ? ? x2 ,则随机变量 ? 的数学期 x ?3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点,若椭圆 C 上存在一点 P , a 2 b2

使得 PF1 ? PF2 ,则该椭圆的离心率 e 的取值范围是 4.已知实数 x, y, z 满足 x2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? 24 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最小值是
2 5. 已知函数 f ( x) ? x cos

?x

2 列 {an } 的前 100 项之和 S100 ? 6.如图,在四面体 ABCD 中, DA ? DB ? DC ? 2, DA ? DB, DA ? DC 且 DA 与平

, 数列 {an } 满足 : an ? f (n) ? f (n ? 1)(n ? N * ) , 则数

6 ,则该四面体外接球的半径 R ? , 3 ???? ? ???? ? 7.在复平面内,复数 z1 , z2 , z3 对应的点分别为 Z1 , Z 2 , Z3 ,若 | z1 |?| z2 |? 2, OZ1 ? OZ2 ? 0 且
面 ABC 所成角的余弦值为 ,则 | z3 | 的取值范围是 | z1 ? z2 ? z3| ? 1 8.已知函数 f ( x) ? ex ( x ? aex ) 恰有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则实数 a 的取值范围是 9. 已知函数 f ( x) ? m ? 2 ? x ? nx, 若 {x | f ( x) ? 0} ? {x | f [ f ( x)] ? 0} ? ? , 则 m ? n 的取值范围 是
x 2

10.若 sin

?
9

? sin

2? n? 1 4? ? ? ? sin ? tan ,则正整数 n 的最小值为 9 9 2 9

二、 本大题共 5 小题,共 100 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 11(本小题满分 20 分) 求函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的最小值.

12(本小题满分 20 分) 已知过点 P(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 交双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 于 A, B 两点. 3

(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)若 F2 为双曲线 C 的右焦点,且 | AF2 | ? | BF2 |? 6 ,求 k 的值.

13(本小题满分 20 分) 如图, I , D 分别为 ?ABC 的内心,旁心, BC 与圆 I ,圆 D 相切,,切点分别为 E, F , G 为 AD 与 BC 的交 点.

AI GE ? ;) AD GF (Ⅱ)若 M 为 EF 的中点,求证: AE / / DM .
(Ⅰ求证: (旁心:三角形旁切圆的圆心,它是三角形的一个内角平分线和其它两个内角的外角平分线的交点)

14(本小题满分 20 分) 在坐标平面内,横,纵坐标都是整数的点称为整点 ,三个顶点都是 整点的三角形称为整点三角形.求以 I (2015, 7 ? 2015) 为内心且直角顶点为坐标原点 O 的整点直角 ?OAB 的个数.

15(本小题满分 20 分) 若对任意的正整数 m , 集合 {m, m ? 1, m ? 2,? , m ? 99} 的任意 n(n ? 3) 元子集中 , 总有三个元素两 两互素,求 n 的最小值.


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