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全国高中数学联赛江苏赛区2011年初赛试题答案


全国高中数学联赛江苏赛区 2011 年初赛试题答案
班级 __________ 姓名 __________

一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分) 1.复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? ________ 解: (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? [(1 ? i)2 ]2 ? [(1 ? i)2 ]2

? (2i)2 ? (?2i) 2 ? 4i 2 ? 4i 2 ? 8i 2 ? ?8 . 2.已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 m ? ________

3 解:直线一定经过圆心,才能是圆的对称轴;而圆心为 (2, ? 2) ,代入直线方程,得 m ? ? . 2
3.某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率是 . ________ (结果用最简分数表示)
2 解:事件总数: C30 ?

30 ? 29 1 1 2 ? 435 ,符号条件的事件数: C2C28 ? C2 ? 2 ? 28 ? 1 ? 57 , 2 ?1

所以所求的概率是: P ? 4.已知 cos 4? ? 解:由 cos 4? ?

57 19 . ? 435 145

1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? ________ 5

1 1 2 ? 1 ? 2sin 2 2? ? ? sin 2 2? ? , 5 5 5

1 1 4 得 sin 4 ? ? cos4 ? ? (sin 2 ? ? cos2 ? )2 ? 2sin 2 ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 2? ? 1 ? ? . 2 5 5
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.已知向量 a , b 满足 | a |?| b |? 2 , ? a, b ?? ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段为邻边的 3

平行四边形的面积为 ________
? ? ? ? ? 解:由题意可设: a ? (2, 0) ,则由 a 与 b 的夹角为 可取: b ? (1, 3 ??? ? ? ? ??? ? ? ? 于是可令 OA ? 2a ? b ? (5, 3) , OB ? 3a ? b ? (5, ? 3) ;

3) ;

易知,所求的平行四边形的面积等于 2 S ?OAB ,而 A B 两点关于 x 对称; 、

1 所以 2S?OAB ? 2 ? ? 5 ? 2 3 ? 10 3 ;即平行四边形的面积为 10 3 . 2
6.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若 {S n } 是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列 {an3 } 的前 n 项和 等于 ________

1

解:由已知可得: Sn ? 2n ,从而 an ? 2n ?1 (n ? 2) , a1 ? 2 ;

?8, n ? 1 所以 an3 ? ? n ?1 , ?8 , n ? 2
所以 a13 ? a23 ? a33 ? ? ? an3 ? 8 ? 8 ? 82 ? ? ? 8n ?1 ? 7 ? 1 ? 8 ? 82 ? ? ? 8n ?1 ? 检验可知:当 n ? 1 时,也适合上述等式. 7.设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f (a) ? f (b) ,且 0 ? a ? b ,则 ab 的取值范围是 ________ 解:易知: 0 ? a ? 2 ? b ;所以 f (a) ? f (b) ? 2 ? a 2 ? b2 ? 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? 2ab ? 4 ; 所以 ab ? (0, 2) . 8.设 f (m) 为数列 {an } 中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * ,则 f [ f (2011)] ? ________ 解: f (2011) 是表示在数列: an ? n2 , n ? N * 中小于 2011 的项数,即 f (2011) ? 44 ; 从而 f [ f (2011)] ? f (44) ? 6 . 9.一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角形的斜边 长是 ________ 解:将等腰直角 ?MPN ( ?MPN ? Rt? )的点 M 与正三棱柱的 顶点 C 重合放置,如图所示;正三棱柱的底面是正三角形且 侧棱与底面垂直;可设 PB ? x ,则 NA ? 2x ; 因为 CN 2 ? CP 2 ? PN 2 ? 2CP 2 ; 所以 42 ? (2 x)2 ? 2(42 ? x2 ) ? x2 ? 8 ; 所以,斜边 CN ? 2CP2 ? 2(42 ? x2 ) ? 2(16 ? 8) ? 4 3 .
2x P A 4 B x 4 4 C (M) A1 N C1 B1

1 n (8 ? 48) ; 7

10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 ________ 解:原方程变形为: 20 ? 2( 10 ? x )2 ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 ; 即m??
2( 10 ? x ) 2 ? 30 10 ? x ? 1 ?? 2[( 10 ? x ? 1) 2 ? 2( 10 ? x ? 1) ? 14] 10 ? x ? 1

? 4 ? 2[( 10 ? x ? 1) ?
所以, 4 ? 2[( 10 ? x ? 1) ?

] ;其中: x 可取整数, m 是正整数; 10 ? x ? 1 ] ? 0 ? ( 10 ? x ? 1)2 ? 2( 10 ? x ? 1) ?14 ? 0 ; 10 ? x ? 1 14

14

所以, [( 10 ? x ? 1) ? 1]2 ? 15 ? 0 ? ( 10 ? x )2 ? 15 ? 0 ? 10 ? x ? 15 ; 所以,当 x ? 10 时, m ? 30 ;当 x ? 9 时, m ? 14 ;当 x ? 1 时, m ? 3 ;
2

故 m 的所有可能的值是 30,14,3. (整数分析法,要注意这里 x 有特殊要求) 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分) 11.已知圆 x 2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 解:设公共点 P(cos ? , sin ? ) ,代入抛物线方程: (著名的“三角换元”一换就灵)

1 5 得: h ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? )2 ? ;………………………………10 分 2 4

? 5 ? 因为 sin ? ? ? ?1, 1? ,所以 h ? ?? ,1? .……………………………………………………20 分 ? 4 ?
12.设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c (b, c ? R) .若 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (2, 3] 上的最大值为 1, 求 b 2 ? c 2 的最大值和最小值. 解:由题意函数图像为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在闭端点取得; 故有 f (2) ≤ f (3) ? 1 ,从而 b ≥ ?5 且 c ? ?3b ? 8 ;………………………………………5 分 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b 2 ? 4c ≥ 0 ;

4 ? ? ?b ≤ ? 5 ? f (?2) ? 0 4 ? 2b ? c ≥ 0 ? ? ? ? 在区间 ? ?2, 2? 上,有 ? f (2) ? 0 即 ?4 ? 2b ? c ≥ 0 ;消去 c ,解出 ?b ≤ ?4 ; ??4 ≤ b ≤ 4 ? ??4 ≤ b ≤ 4 b ??2 ? ? 2 ? ? ? 2 ?
即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 ;………………………………………………………10 分 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入,解得 ?8 ? b ? ?4 ; 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 .………………………………………………………………………15 分 所以, b2 ? c 2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,在 b ? [?5, ? 4] 上是单调递减的; 故 (b2 ? c2 )min ? 32, (b2 ? c 2 )max ? 74 .…………………………………………………20 分 13.如图, P 是 ?ABC 内一点;

1 (1)若 P 是 ?ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明: P 是 ?ABC 的内心. 2 2
证明: (1)因为内心是内角平分线的交点;
A

1 所以 ?BPC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) 2 1 ? 180? ? (180? ? ?BAC ) 2

P

B

C 3

1 ? 90? ? ?BAC ,…………………………………………………8 分 2 1 (2)因为 ?BPC ? 90? ? ?BAC 是大于 90? 的定角, BC 是定线段; 2
所以点 P 在 BC 为弦的圆上,

1 ? 其中 ?BPC ? 90? ? ?BAC ,且劣弧 BPC 与 A 在 BC 的同侧; 2
同理,点 P 在 AC 为弦的圆上,

1 APC 其中 ?APC ? 90? ? ?ABC ,且劣弧 ? 与 B 在 AC 的同侧; 2
所以点 P 是这两个圆的公共点;……………………………………………16 分 由(1)可推知, ?ABC 的内心也是这两个圆的公共点; 又点 C 是此两圆的另一个公共点,但不在 ?ABC 内, 所以点 P 是内心.……………………………………………………………20 分 14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n 0 ,使得 n0 ? ? 为正有理数,证明:存在无穷多个正整数 n , 使得 n ? ? 为有理数. 证明:设 n0 ? ? ?
q q2 ,其中 p、q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 ;………………5 分 p p

设 k 为任意的正整数,构造: n ? p 2 k 2 ? 2qk ? n0 , 则 n ?? ?

p 2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ?

p 2 k 2 ? 2qk ?

q2 q ? pk ? ? Q .………………20 分 p p2

4


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