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2011届高考数学文科考点专题复习10


? ●基础知识 ? 一、函数图象的三大基本问题 ? 1.作图:函数图象是函数关系的直观表 达形式,是研究函数的重要工具,是解 决很多函数问题的有力武器. 列表 ? 作函数图象有两种基本方法: 描点 连线 ? ①描点法:其步骤是: (尤其注意 特殊点,零点,最大值最小值,与坐标 轴的交点)、 、 . ? ②图象变换法.

? 2.识图:对于给定的函数的图象,

要能

从图象的左右、上下分布范围、变化趋
势、对称性等方面研究函数的定义域、 值域、单调性、奇偶性、周期性,注意 图象与函数解析式中参数的关系. ? 3.用图:函数的图象形象地显示了函数

的性质,为研究数量关系提供了“形”

? 二、图象变换的四种形式

? 1.平移变换有:
a 左或向右 ? ①水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,

可由y=f(x)的图象向
上或向下 b

平移

个单位而得到.
? ②竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,

? 2.对称变换主要有: ? ①y=f(-x)与y=f(x),y=-f(x)与y=
y轴 原点 x轴 直线y=x f(x),y=-f(-x)与y=f(x),y=f-1(x)与

y=f(x),每组中两个函数图象分别关
直线x=m



、 点(a,b)





对称; ? ②若对定义域内的一切x均有f(x+m)=

? 3.伸缩变换主要有:

? ①y=af(x)(a>0)的图象,可将y=f(x)的 a
图象上每点的纵坐标伸(a>1时)缩(a<1时) 到原来的 倍;

? ②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的
图象上每点的横坐标伸(a<1时)缩(a>1时)

? 4.翻折变换主要有:
x轴下方

? ①y=|f(x)|,作出y=f(x)的图象,将图象 上方 x轴
位于 到 ; 的部分以 y轴
y轴 y轴 为对称轴翻折

? ②y=f(|x|),作出y=f(x)在
图象,以

右边的部分

为对称轴将其翻折到左边得y=

? 三、图象对称性的证明及常见结论
? 1.图象对称性的证明 ? ①证明函数图象的对称性,即证明其图

象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)
的对称点仍在图象上. ? ②证明曲线C1与C2的对称性,即要证明

? 2.有关结论
? ①若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立,则 y=f(x)的图象关于x= 成轴对称图

形;
? ②函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图 2|m-n| 象关于直线x=
T=4a

(b-a)对称;

? ③若函数f(x)关于x=m及x=n对称,则

? ●易错知识
? 一、函数的平移变换 ? 1.把y=f(3x)的图象向________平移

________个单位得到y=f(3x-1)图象.
? 答案:右

? 二、函数的伸缩变换
? 2.将函数y=log3(x-1)的图象上各点的 横坐标缩小到原来的 ,再向右平移半

个单位,所得图象的解析式为
________.

? 答案:y=-log3(2x-2)

? 三、函数的对称变换 ? 对于函数y=|f(x)|与y=f(|x|)一定要区分 开来,前者将y=f(x)处于x轴下方的图象,

翻折到x轴上方,后者将y=f(x)图象y轴
左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图,

? 四、函数的对称性与周期性易混 ? 若函数y=f(x)满足下列条件,则函数具

有的性质为:

a

? ①f(x)=f(a-x) ,则y=f(x)关于x=
2a

对称; ? ②f(x)=f(a+x) ,则y=f(x)以 为周期;

? 3.设函数y=f(x)定义在实数集上,则函 数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于 ( )

? A.直线y=0对称
称 ? C.直线y=1对称

B.直线x=0对

D.直线x=1对

? 常规求解法:因为y=f(x),x∈R,而f(x -1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单 位而得到的,又f(1-x)=f[-(x-1)]的图 象是f(-x)的图象也向右平移1个单位而 得到的,因f(x)与f(-x)的图象是关于y轴 (即直线x=0)对称,因此,f(x-1)与f[- (x-1)]的图象关于直线x=1对称,故选D. ? 特殊函数法:令f(x)=x,则f(x-1)=x- 1,f(1-x)=1-x,两者图象关于x=1对 称,故否定A、B、C,选D.

? 失分警示:因为函数是定义在实数集上 且f(x-1)=f(1-x),所以函数y=f(x)的 图象关于直线x=0对称,选B. ? 这里的错误主要是把两个不同的对称问 题混为一谈,即对称问题中有一结论: 设函数y=f(x)定义在实数集上,且f(a+x) =f(a-x),则函数f(x)关于直线x=a对 称.这个结论只对于一个函数而言,而 本题是关于两个不同函数的对称问题, 若套用这一结论,必然会得到一个错误 的答案.

? ●回归教材 ? 1.(课本P1017题改编)函数y=1- 图象是( )



? 答案:B

? 2.(2009·成都诊断Ⅱ)把函数y=lnx的
图象按向量a=(-2,3)平移得到y=f(x)的 图象,则f(x)= ( )

? A.ln(x+2)-3
B.ln(x-2)+3 ? C.ln(x+2)+3 D.ln(x-2)-3

? 3.(2009·北京,4)为了得到函数y=lg 的图象,只需把函数y=lgx的图象上所 有的点 ( ) ? A.向左平移3个单位长度,再向上平移1 个单位长度 ? B.向右平移3个单位长度,再向上平移1 个单位长度 ? C.向左平移3个单位长度,再向下平移1 个单位长度 ? D.向右平移3个单位长度,再向下平移1 个单位长度

? 4.(2008·全国Ⅱ理,3)函数f(x)= -x 的图象关于 ( ) ? A.y轴对称 ? B.直线y=-x对称 ? C.坐标原点对称 ? D.直线y=x对称 ? 解析:∵f(x)= -x, ? ∴f(-x)=- +x=-( -x)=-f(x). ? ∴f(x)是一个奇函数.∴f(x)的图象关于

? 5.(2009·江南十校)已知f(x)=ex,则函 数g(x)=|f-1(1-x)|的大致图象是 ( )

? 【例1】 ? (1)y=

作出下列函数的大致图象: ;(2)y= ;

? (3)y=|log2x-1|;(4)y=2|x-1|.

? [思路点拨] 首先将简单的复合函数化归

? [解析] (1)y=

,利用二次

函数的图象作出其图象,如图①.

? (2)因y=1+

,先作出y= 的图象,

? (3)先作出y=log2x的图象,再将其图象 向下平移一个单位,保留x轴上及x轴上 方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴 上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图 ③. ? (4)先作出y=2x的图象,再将其图象在y

? [方法技巧] 已知函数解析式研究函数图
象问题,主要是将解析式进行恰当的化 简,然后与一些熟知函数的图象相联系,

通过各种图象变换得到要求的函数图象,
此过程中,要善于发现函数的性质(奇偶 性、单调性、周期性等),并用于作图

? 作出下列函数的大致图象: ? (1)y=2-2x;

? 解析:(1)作函数y=2x的图象关于x轴对 称的图象得到y=-2x的图象,再将图象 向上平移2个单位,可得y=2-2x的图 象.如图1;

? (2)因为y=log +2)]

[3(x+2)]=-log3[3(x

? =-log3(x+2)-1. ? 所以可以先将函数y=log3x的图象向左 平移2个单位,可得y=log3(x+2)的图象, 再作图象关于x轴的对称图象,得y=- log (x+2)的图象,最后将图象向下平移

? (3)作y=log x的图象关于y轴对称的
图象,得y=log (-x)的图象,再把x 轴下方的部分翻折到x轴上方,可得到

y=|log

(-x)|的图象,如图3.

? 【例2】 函数y=f(x)与函数y=g(x)的 图象如图.

? 则函数y=f(x)g(x)的图象可能是 ( )

? [解析] 从f(x)、g(x)的图象可知它们分 别为偶函数、奇函数,故f(x)g(x)是奇函 数,排除B. ? 又x<0时,g(x)为增函数且为正值,f(x) 也是增函数, ? 故f(x)g(x)为增函数,且正负取决于f(x)的 正负, ? 注意到x=- 时,f(x)=0,则 f(- )g(- )必等于0,排除C、D.或注意 到x→0-(从小于0趋向于0),f(x)g(x)→+ ∞,也可排除C、D.

? [反思归纳] 要敏锐地从所给图象中找出

诸如对称性、零点、升降趋势等决定函
数走势的因素,进而结合选择填空题,

作出合理取舍.

? (2007·上海春,14)下列四个函数中,图 象如下图所示的只能是 ( )

? A.y=x+lgx lgx

B.y=x-

? 解析:特殊值法:当x=1时,由图象知

y>0,而C、D中y<0,故排除C、D,又
当x= +lg 时,由图象知y>0,而A中y= =- <0,排除A,故选B.

? 答案:B

? 【例3】 (1)(2007·黄冈3月模拟)函数y =ax+1的图象与函数y=loga(x+1)(其中 a>0且a≠1)的图象关于( ) ? A.直线y=x对称 B.直线y=x-1 对称 ? C.直线y=x+1对称 D.直线y=-x +1对称 ? [解析] ∵y=ax与y=logax互为反函数, 它们的图象关于直线y=x对称.又∵y= ax+1与y=loga(x+1)分别是由y=ax与y

? (2)(2007·浙江九校联考)如果函数f(x+1) 是偶函数,那么函数y=f(2x)的图象的一 条对称轴是直线 ( ) ? A.x=-1 B.x=1 ? C.x=- D.x= ? [解析] y=f(x+1)右移一个单位得y= f(x)的图象. ? 因此,y=f(x)关于x=1对称,y=f(x)图

象上的点纵坐标不变,横坐标缩小为原
来的 ,得y=f(2x)的图象,因此对称轴

?

? ? ?
? ?

(2009·辽宁,8)将函数y=2x+1的图 象按向量a平移得到函数y=2x+1的图象, 则 ( ) A.a=(-1,-1) B.a=(1,-1) C.a=(1,1) D.a=(-1,1) 解析:y=2x+1向下平移1个单位,得y =2x, 由y=2x向左平移1个单位得y=2x+1. 故向量a=(-1,-1).

? (2009·山东,4)设函数f(x)=|x+1|+|x -a|的图象关于直线x=1对称,则a的值 为 ( ) ? A.3 B.2 C.1 D.-1 ? 解析:方法1:由题意可得对于x∈R, f(x+1)=f(1-x)恒成立, ? 即|x+2|+|x+1-a|=|-x+2|+|-x+1 -a|, ? |x+2|+|x+1-a|=|x-2|+|x-1+a|,

? 方法2:利用绝对值的几何意义,知f(x) 是点x到-1、a的距离之和,由于关于x =1对称,因此,-1与a关于x=1对称, 所以a=3.

? 答案:A

? 【例4】 (2007·沪,16)设定义域为R的
函数 ? f(x)= ,则关于x的方

程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解
的充要条件是 ? A.b<0且c>0 ( ) B.b>0且c<0

? [分析] 通过数形结合法、筛选法获得正 确答案. ? [解析] f(x)= ? 故函数f(x)的图象如图.

? 注意f(0)=0有三个根x1=0,x2=1,x3 =2,且有f(x)≥0,令f(x)=t≥0,则方程 为:t2+bt+c=0有实数解(t≥0)需满足: t1+t2=-b≥0,即b≤0,t1·t2=c≥0,排 除B、D,(因B项:c<0,D项b≥0)对于A 不妨令b=-3,c=2,则方程为t2-3t+ 2=0.解之t1=1,t2=2. ? 即f(x)=1,或f(x)=2,由图知有8个根, 排除A.故选C.
2

?

f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数, 其图象如下图所示.令g(x)=af(x)+b, 则下列关于函数g(x)的叙述正确的是 ( )

? A.若a<0,则函数g(x)的图象关于原点 对称 ? B.若a=1,0<b<2,则方程g(x)=0有大 于2的实根 ? C.若a=-2,b=0,则函数g(x)的图象 关于y轴对称 ? D.若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有三个 实根 ? 命题意图:本题主要考查函数图象、方 程等综合知识的运用能力.

? 解析:解法一:用淘汰法,当a<0时, g(x)=af(x)+b是非奇非偶函数,不关于 原点对称,淘汰A.当a=-2,b=0时, g(x)=-2f(x)是奇函数,不关于y轴对称,

淘汰C.当a≠0,b=2时,因为g(x)=af(x)
+b=af(x)+2,当g(x)=0有af(x)+2=0, ∴f(x)=- ,从图中可以看到,当-2<

? 解法二:当a=1,0<b<2时,g(x)=f(x)+ b,由图可知, ? g(2)=f(2)+b=0+b>0,g(c)=f(c)+b< -2+b<0,所以当x∈(2,c),必有g(x) =0,故B正确. ? 答案:B ? 总结评述:本题属于读图题型.解答读 图题型的思维要点是:仔细观察图象所 提供的一切信息,并和有关知识结合起 来,全面判断与分析.上述解法一为淘 汰法;解法二为直接法,两法均属于解

? 1.作图要准确、要抓住关键点:最高、 低点,与坐标轴的交点、极值点等. ? 2.当图形不能准确地说明问题时,可借 助“数”的精确,注意数形结合的数学 思想方法的运用.


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