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2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版)


2016-2017 学年辽宁省重点高中协作校高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分)设 P={质数},Q={偶数},则 P∩Q 等于( ) A.{2} B.2 C.N D.? x 2. (5 分)若 a>0 且 a≠1,那么函数 y=a 与 y=lo

gax 的图象关于( ) A.原点对称 B.直线 y=x 对称 C.x 轴对称 D.y 轴对称 3. (5 分)无论 a 取何值,函数 f(x)=logax﹣2 的图象必过( )点. A. (0,﹣2) B. (1,0) C. (1,﹣2) D. (0,2) 4. (5 分)下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A.f(x)=lgx ,g(x)=4lgx B.
4



C.

,g(x)=x+2

D.



5. (5 分)已知 f(x)是一次函数,且 3f(1)﹣2f(2)=﹣5,2f(0)﹣f(﹣1)=1,则 f(x)的解析式 为( ) A.f(x)=3x﹣2 B.f(x)=3x+2 C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x﹣3 6. (5 分)下列说法正确的是( ) A.对于任何实数 a, B.对于任何实数 a, 都成立 都成立

C.对于任何实数 a,b,总有 ln(a?b)=lna+lnb D.对于任何正数 a,b,总有 ln(a+b)=lna?lnb 7. (5 分)已知集合 A={0,1},B={x,y,z},则从集合 A 到集合 B 的映射可能有( )种. A.6 B.8 C .9 D.12 8. (5 分)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A. B. C. D. )

9. (5 分)函数 y=

(x≥1)的值域是(

A.[﹣1,1] B.[﹣1,1)

C. (﹣1,1] D. (﹣1,1) 的一个零点,x1∈(0,x0) ,x2∈(x0,+∞) ,则( )

10. (5 分)若 x0 是函数 f(x)=2

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)>0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D. f (x1) <0,f(x2)>0 11. (5 分)下列四个命题: (1)函数 f(x)在 x>0 时是增函数,x<0 时也是增函数,所以 f(x)是增函数; (2)若 m=loga2,n=logb2 且 m>n,则 a<b; 2 (3)函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 a≤﹣3; 2 (4)y=log (x +x﹣2)的减区间为(1,+∞) .

1页

其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C .2 D.3 12. (5 分)已知函数 f(x)=( ) ,g(x)=x ,对于不相等的实数 x1,x2,设 m=
x 2



n=

,则下列说法正确的有(



①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m<0; ②对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 n<0; ③存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n. A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)设 f(x)的图象在区间[a,b]上不间断,且 f(a)f(b)<0,用二分法求相应方程的根时, 若 f(a)<0,f(b)>0,f( )>0,则取有根的区间为 . ﹣2)的定义域为 .

14. (5 分)设函数 f(x+1)的定义域为[﹣1,0],则函数 f( 15. (5 分)若函数 y=ln 为奇函数,则 a= .

16. (5 分)设 x∈R,[x]表示不超过 x 的最大整数,若存在实数 t,使得[t]=1,[t ]=2,…,[t ]=n 同时成 立,则正整数 n 的最大值是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分)已知集合 A=[2,log2t],集合 B={x|y= },

2

n

(1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为 b﹣a,若 A 的区间“长度”为 3,试求实数 t 的值. (2)若 A?B,试求实数 t 的取值范围. 18. (12 分)化简: (1) (2) (lg2)?[(ln ?( ) +log
﹣1



; 5].
2 2

19. (12 分)设全集 U=R,A={x|2x ﹣x=0},B={x|mx ﹣mx﹣1=0},其中 x∈R,如果(?UA)∩B=?, 求 m 的取值范围. 20. (12 分)如图所示的函数 F(x)的图象,由指数函数 f(x)=a 与幂函数 g(x)=x “拼接”而成. (1)求 F(x)的解析式; b a (2)比较 a 与 b 的大小; ﹣b ﹣b (3)已知(m+4) <(3﹣2m) ,求 m 的取值范围.
x b

2页

21. (12 分)某产品关税与市场供应量 P 的关系近似地满足:P(x)=2

(其中 t 为关税

的税率,且 t∈[0, ],x 为市场价格,b,k 为正常数) ,当 t= 时,市场供应量曲线如图所示: (1)根据函数图象求 k,b 的值; (2)若市场需求量 Q,它近似满足 Q(x)=2 格控制在不低于 9 元的范围内,求税率 t 的最小值. .当 P=Q 时的市场价格为均衡价格,为使均衡价

22. (12 分)已知函数 f(x)=x+ (x>0,m>0)和函数 g(x)=a|x﹣b|+c(x∈R,a>0,b>0) .问: (1)证明:f(x)在( ,+∞)上是增函数; (2)把函数 g1(x)=|x|和 g2(x)=|x﹣1|写成分段函数的形式,并画出它们的图象,总结出 g2(x)的 图象是如何由 g1(x)的图象得到的.请利用上面你的结论说明:g(x)的图象关于 x=b 对称; (3)当 m=1,b=2,c=0 时,若 f(x)>g(x)对于任意的 x>0 恒成立,求 a 的取值范围.

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2016-2017 学年辽宁省重点高中协作校高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)设 P={质数},Q={偶数},则 P∩Q 等于( ) A.{2} B.2 C.N D.? 【分析】通过唯一的质偶数是 2,与 Q 集合求出交集即可. 【解答】解:因为 P={质数},Q={偶数}, P 中唯一的偶数是 2, 所以 P∩Q={2}. 故选 A. 【点评】本题考查集合的交集的求法,质数与偶数的定义,基本知识的应用. 2. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)若 a>0 且 a≠1,那么函数 y=a 与 y=logax 的图象关于( ) A.原点对称 B.直线 y=x 对称 C.x 轴对称 D.y 轴对称 【分析】利用互为反函数的图象关于直线 y=x 对称即可得出. x 【解答】解:∵a>0 且 a≠1,那么函数 y=a 与 y=logax 互为反函数,因此其图象关于直线 y=x 对称. 故选:B. 【点评】本题考查了互为反函数的图象关于直线 y=x 对称的性质,属于基础题. 3. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)无论 a 取何值,函数 f(x)=logax﹣2 的图象必过( A. (0,﹣2) B. (1,0) C. (1,﹣2) D. (0,2) 【分析】根据对数函数的性质,令 x=1,求出 f(1)的值即可. 【解答】解:令 x=1,得:f(x)=﹣2, 故函数 f(x)过(1,﹣2) , 故选:C. 【点评】本题考查了对数函数的性质,考查函数求值问题,是一道基础题. 4. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)下列四组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=lgx ,g(x)=4lgx B.
4 x

)点.





C.

,g(x)=x+2

D.



【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,判断它们是同一函数即可 4 【解答】解:对于 A:f(x)=lgx 的定义域是{x|x≠0},而 g(x)=4lgx 的定义域是{x|x>0},定义域不 相同,∴不是同一函数; 对于 B: =|x|, ,定义域相同,对应关系也相同,∴是同一函数;

4页

对于 C: 函数; 对于 D:

的定义域是{x|x≠2},而 g(x)=x+2 的定义域是 R,定义域不相同,∴不是同一

的定义域是{x|﹣1≤x≤1},而 g(x)=

的定义域是{x|1≤x 或 x≤

﹣1},定义域不相同,∴不是同一函数; 故选:B. 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,是基础题目. 5. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)已知 f(x)是一次函数,且 3f(1)﹣2f(2)=﹣5,2f(0)﹣f(﹣1)=1, 则 f(x)的解析式为( ) A.f(x)=3x﹣2 B.f(x)=3x+2 C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x﹣3 【分析】根据题意,设 f(x)=kx+b,利用 3f(1)﹣2f(2)=﹣5,2f(0)﹣f(﹣1)=1,求出 k,b 的值 即可得 f(x)的解析式. 【解答】解:由题意:f(x)是一次函数,设 f(x)=kx+b, ∵3f(1)﹣2f(2)=﹣5,2f(0)﹣f(﹣1)=1, 可得:3k+3b﹣4k﹣2b=﹣5,2b+k﹣b=1, 解得:k=3,b=﹣2. 所以得 f(x)的解析式为 f(x)=3x﹣2 故选:A. 【点评】本题考查了函数的解析式的求法和计算能力.属于基础题. 6. (5 分) (2014?埇桥区校级学业考试)下列说法正确的是( A.对于任何实数 a, B.对于任何实数 a, 都成立 都成立 )

C.对于任何实数 a,b,总有 ln(a?b)=lna+lnb D.对于任何正数 a,b,总有 ln(a+b)=lna?lnb 【分析】利用排除法,举反例即可得正确结果. 【解答】解:∵ ≠|﹣3|,排除 B

∵a=﹣2,b=﹣3 时 ln(a?b)=ln6,但 lna、lnb 无意义,排除 C ∵a=1,b=1 时 ln(a+b)=ln2≠0 而 lna?lnb=0,排除 D 故选 A 【点评】本题考查了根式的性质、对数的运算性质,属基础题 7. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)已知集合 A={0,1},B={x,y,z},则从集合 A 到集合 B 的映射可能有 ( )种. A.6 B.8 C .9 D.12 【分析】运用分步计数原理求解. 【解答】解:集合 A 中的元素 0 在集合 B 中有 3 种不同的对应方式(x,y,z 三选一) , 集合 A 中的元素 1 在集合 B 中也有 3 种不同的对应方式(x,y,z 三选一) , 根据“分步计数原理(乘法原理)”, 集合 A 到集合 B 的映射共有 N=3×3=9,
5页

故选 C. 【点评】本题主要考查了映射的概念,以及两集合间构成映射个数的确定,可用列举法,也可用乘法计数 原理,属于基础题. 8. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( A. B. C. D. )

【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性分别判断即可. 【解答】解:对于 A:y= 对于 B:y= = = ,是偶函数,递增,不合题意;

,是奇函数,不合题意;

对于 C:函数在(0,+∞)递增,不合题意; 对于 D:y= = 是偶函数,在(0,+∞)递减,符合题意;

故选:D. 【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断,是一道基础题.

9. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)函数 y=

(x≥1)的值域是(



A.[﹣1,1] B.[﹣1,1) C. (﹣1,1] D. (﹣1,1) 【分析】利用分离常数法求函数的值域.注意定义域范围. 【解答】解:由题意:函数 y= ∵ ∴y≠﹣1 又∵x≥1, ∴0< 则:y=﹣1 . ∈(﹣1,1], = =﹣1

所以得函数 y 的值域为(﹣1,1], 故选 C. 【点评】本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反函数法,4、 判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单调性法,10、利用导数求函 数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意选择.注意定义域范围. 10. (5 分) (2016?大庆一模)若 x0 是函数 f(x)=2 的一个零点,x1∈(0,x0) ,x2∈(x0,+∞) ,

则( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)>0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D. f (x1) <0,f(x2)>0 【分析】因为 x0 是函数 f(x)的一个零点 可得到 f(x0)=0,再由函数 f(x)的单调性可得到答案.
6页

【解答】解:∵x0 是函数 f(x)=2 ﹣ 的一个零点, ∴f(x0)=0, 又∵f′(x)=2 ln2+
x x

x

>0,

∴f(x)=2 ﹣ 是单调递增函数,且 x1∈(0,x0) ,x2∈(x0,+∞) , ∴f(x1)<f(x0)=0<f(x2) . 故选:D. 【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题,属中档题 11. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)下列四个命题: (1)函数 f(x)在 x>0 时是增函数,x<0 时也是增函数,所以 f(x)是增函数; (2)若 m=loga2,n=logb2 且 m>n,则 a<b; 2 (3)函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 a≤﹣3; 2 (4)y=log (x +x﹣2)的减区间为(1,+∞) . 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C .2 D.3 【分析】根据函数的单调性以及对数函数、二次函数的性质分别判断即可. 【解答】解:对于(1) ,例如 f(x)=﹣ 在 x>0 时是增函数,x<0 也是增函数;但 f(x)在定义域上不 是增函数,故(1)错; 对于(2)若 m=loga2,n=logb2 且 m>n,则 a<b;故(2)正确; 2 对于(3)函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 的对称轴 x=1﹣a, 若函数在区间(﹣∞,4]上是减函数,则 1﹣a=4,解得:a=﹣3, 则实数 a 的取值范围是 a=﹣3;故(3)错误; 2 对于(4)由 y=x +x﹣2>0,解得:x>1 或 x<﹣2, 对称轴 x=﹣ ,故 y=x +x﹣2 在(1,+∞)递增, 故 y=log (x +x﹣2)的减区间为(1,+∞) , (4)正确;
2 2

故选:C. 【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查对数函数以及二次函数的性质,考查复合函数的性质,是一 道中档题.
x 2

12. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)已知函数 f(x)=( ) ,g(x)=x ,对于不相等的实数 x1,x2,设

m=

,n=

,则下列说法正确的有(



①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m<0; ②对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 n<0; ③存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n. A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 【分析】画出函数的图象,以及根据 m,n 的几何意义即可判断.
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【解答】解:分别画出函数 f(x) ,g(x)的图象, 则 m= 率, 由图象可知,①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m<0,故①正确, 对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0 或 n<0,故②错误, 存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n,故③正确, 故选:B 表示曲线 f(x)上两点的斜率,n= 表示曲线 g(x)上两点的斜

【点评】本题考查了函数图象的画法和函数图象的几何意义,属于基础题. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)设 f(x)的图象在区间[a,b]上不间断,且 f(a)f(b)<0,用二分法 求相应方程的根时,若 f(a)<0,f(b)>0,f( 【分析】根据零点存在定理即可判断 【解答】解:f(a)<0,f(b)>0,f( ∴f(a)?f( )>0, , , )>0, )>0,则取有根的区间为 .

取有根的区间为: 故答案为:

【点评】本题考查二分法,考查零点存在定理,考查学生的计算能力,属于基础题. 14. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)设函数 f(x+1)的定义域为[﹣1,0],则函数 f( ﹣2)的定义域为 [4, 9] . 【分析】由 f(x+1)的定义域求出 f(x)的定义域,再由 ﹣2 在 f(x)的定义域范围内求得 x 的取值范 围得答案. 【解答】解:∵函数 f(x+1)的定义域为[﹣1,0],即﹣1≤x≤0, ∴0≤x+1≤1,即函数 f(x)的定义域为[0,1],
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由0 ,解得 4≤x≤9, ∴函数 f( ﹣2)的定义域为[4,9]. 故答案为:[4,9]. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的求解方法,是中档题.

15. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)若函数 y=ln

为奇函数,则 a= 2 .

【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程进行求解即可. 【解答】解:若函数 y=ln 则 f(﹣x)=﹣f(x) , 即 f(﹣x)+f(x)=0, 则 ln 则 ln( 则 ? +ln ? =0, )=0, =1, 为奇函数,

即(ax+1) (ax﹣1)=(2x﹣1) (2x+1) , 2 2 2 则 a x ﹣1=4x ﹣1, 2 即 a =4,则 a=2 或 a=﹣2, 当 a=﹣2 时,f(x)=ln 当 a=2 时,f(x)=ln =ln(﹣1)无意义, ,满足条件.

故答案为:2 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,根据函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键. 16. (5 分) (2016 秋?辽宁期中) 设 x∈R, [x]表示不超过 x 的最大整数, 若存在实数 t, 使得[t]=1, [t ]=2, …, n [t ]=n 同时成立,则正整数 n 的最大值是 4 . 【分析】由新定义可得 t 的范围,验证可得最大的正整数 n 为 4. 【解答】解:若[t]=1,则 t∈[1,2) , 2 若[t ]=2,则 t∈[ , ) (因为题目需要同时成立,则负区间舍去) , 若[t ]=3,则 t∈[ 若[t ]=4,则 t∈[ 若[t ]=5,则 t∈[ 其中 ≈1.732,
5 4 3 2

, , ,

) , ) , ) , ≈1.495, ≈1.431<1.495,

≈1.587,

通过上述可以发现,当 t=4 时, 可以找到实数 t 使其在区间[1,2)∩[ , )∩[ , )∩[ , )上,

9页

但当 t=5 时,无法找到实数 t 使其在区间[1,2)∩[



)∩[



)∩[



)∩[





上, ∴正整数 n 的最大值 4, 故答案为:4. 【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分) (2016 秋?辽宁期中)已知集合 A=[2,log2t],集合 B={x|y= },

(1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为 b﹣a,若 A 的区间“长度”为 3,试求实数 t 的值. (2)若 A?B,试求实数 t 的取值范围. 【分析】 (1)由已知列关于 t 的等式求得 t 值; (2)求函数的定义域得到 B,再由 A?B,分类求解得答案. 【解答】解: (1)由题意可得,log2t﹣2=3,即 log2t=5,∴t=2 =32; (2)A=[2,log2t], 由(x﹣2) (5﹣x)≥0,得(x﹣2) (x﹣5)≤0,得 2≤x≤5, ∴B=[2,5], ∵A?B, ∴若 log2t<2,即 0<t<4,符合题意; 若 t≥4,则 log2t≤5,得 t≤32,∴4≤t≤32. 综上,实数 t 的取值范围为(0,32]. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查了集合的包含关系及其应用,考查数学转化思想方法,是 中档题. 18. (12 分) (2016 秋?辽宁期中)化简: (1) (2) (lg2)?[(ln ?( ) +log
﹣1

5



; 5].

【分析】 (1)利用根式以及有理指数幂化简求解即可. (2)利用对数运算法则化简求解即可. 【解答】解: (1) = = ; ) +log
﹣1

?(



(2) (lg2)?[(ln =2lg2(log22+log25) =2lg2× =2.

5]=lg2(2+2log25)

10 页

【点评】本题考查有理指数幂的运算以及对数运算法则的应用,考查计算能力. 19. (12 分) (2016 秋?辽宁期中)设全集 U=R,A={x|2x ﹣x=0},B={x|mx ﹣mx﹣1=0},其中 x∈R, 如果(?UA)∩B=?,求 m 的取值范围. 【分析】把集合 A 化简后,求其补集,然后根据(?UA)∩B=?选取 m 的取值范围. 【解答】解:由题意 ,
2 2

因为(?UA)∩B=?,所以 B? A, 当 B=?时,当 m=0,符合题意, 2 当 m≠0 时,△=m +4m<0,解得﹣4<m<0,符合题意, 当 B≠?时,当 B 中只有一个元素时, 2 △=0,即 m +4m=0,解得 m=0(舍) ,m=﹣4, 检验,此时 当 B 中有两个元素时,由题意 ,符合题意; ,将 0, 代入方程可知此时无解.

综上所述,m 的取值范围为﹣4≤m≤0. 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,解答的关键是熟练交、并、补集的概念,同时注意端点值 得选取,属易错题. 20. (12 分) (2016 秋?辽宁期中)如图所示的函数 F(x)的图象,由指数函数 f(x)=a 与幂函数 g(x) b =x “拼接”而成. (1)求 F(x)的解析式; b a (2)比较 a 与 b 的大小; ﹣b ﹣b (3)已知(m+4) <(3﹣2m) ,求 m 的取值范围.
x

【分析】 (1)根据图象过点( , ) ,求出 a,b,可得 F(x)的解析式; (2)根据指数函数和幂函数的图象比较即可; (3)根据幂函数的单调性,即可求 m 的取值范围.

【解答】解: (1)由题意得

解得

,∴

因(2)为

,所以

,即 a <b .

b

a

11 页

(3)由题意



所以

解得



所以 m 的取值范围是



【点评】本题考查了指数函数和幂函数图象和性质,关键是求出 a 和 b,属于中档题.

21. (12 分) (2016 秋?辽宁期中) 某产品关税与市场供应量 P 的关系近似地满足: P (x) =2 (其中 t 为关税的税率,且 t∈[0, ],x 为市场价格,b,k 为正常数) ,当 t= 时,市场供应量曲线如图 所示: (1)根据函数图象求 k,b 的值; (2)若市场需求量 Q,它近似满足 Q(x)=2 格控制在不低于 9 元的范围内,求税率 t 的最小值. .当 P=Q 时的市场价格为均衡价格,为使均衡价

【分析】 (1)能根据图象知

时,有

,即可求出 k、b 的值;

(2)能根据题意构造函数,并能在定义域内求函数的最小值.

【解答】解: (1)由图可知

时,有

解得

(2)当 P=Q 时,得 解得

, .

令 在 ∴

,∵x≥9,∴

, 中,对称轴为直线 , ,且图象开口向下,

时,t 取得最小值

,此时 x=9.

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【点评】此题是个指数函数的综合题,但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内 求最值的知识.考查的知识全面而到位!

22. (12 分) (2016 秋?辽宁期中)已知函数 f(x)=x+ (x>0,m>0)和函数 g(x)=a|x﹣b|+c(x∈R, a>0,b>0) .问: (1)证明:f(x)在( ,+∞)上是增函数; (2)把函数 g1(x)=|x|和 g2(x)=|x﹣1|写成分段函数的形式,并画出它们的图象,总结出 g2(x)的 图象是如何由 g1(x)的图象得到的.请利用上面你的结论说明:g(x)的图象关于 x=b 对称; (3)当 m=1,b=2,c=0 时,若 f(x)>g(x)对于任意的 x>0 恒成立,求 a 的取值范围. 【分析】 (1)利用函数单调性的定义可直接证明 f(x)在 是增函数. ; (2)由题意知 g2(x)的图象是由 g1(x)的图象向右平移 1 个单位得到的;根据函数的性质与平移可证 明 g(x)的图象关于 x=b 对称; (3)利用转化思想:由题意可知 , 即(a﹣1)x ﹣2ax﹣1<0 对于任意 x≥2 恒成立. 【解答】证明: (1)在 内任取两个实数 x1,x2,且 x1<x2,则△x=x2﹣x1>0, , 因为 , ,所以 x1x2>m>0,又有 x2﹣x1>0,所以△y>0, 是增函数. , ;
2

对于任意的 x>0 恒成立.当 x≥2 时,不等式化为

所以 f(x)在 解: (2)

g2(x)的图象是由 g1(x)的图象向右平移 1 个单位得到的, 先考虑函数 h(x)=a|x|+c(x∈R,b>0) , 在 h(x)的定义域内任取一个实数 x,则﹣x 也在其定义域内, 因为 h(﹣x)=a|﹣x|+c=a|x|+c=h(x) ,所以函数 h(x)是偶函数, 即其图象的对称轴为 x=0, 由上述结论,g(x)的图象是由 h(x)的图象向右平移 b 个单位得到, 所以 g(x)的图象关于 x=b 对称. (3)由题意可知 当 x≥2 时,不等式化为
2

对于任意的 x>0 恒成立. ,

即(a﹣1)x ﹣2ax﹣1<0 对于任意 x≥2 恒成立, 当 a﹣1=0 时,即 a=1,不等式化为 2x+1>0,满足题意; 当 a﹣1≠0 时,由题意
2

进而对称轴



所以(a﹣1)2 ﹣2a?2﹣1<0,解得 0<a<1; 结合以上两种情况 0<a≤1.
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当 0<x<2 时,不等式
2



即(a+1)x ﹣2ax+1>0 对于任意 0<x<2 恒成立, 由题意
2

进而对称轴
2



所以△=4a ﹣4(a+1)<0,即 a ﹣a﹣1<0,解得 所以 .



综上所述,a 的取值范围为(0,1].

【点评】本题主要考查了函数单调性的定义法证明,函数图形的平移与函数性质以及恒等转化问题,属中 等偏上题.

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