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高考数学最新联考试题分类大汇编第4部分数列

时间:2012-11-22


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湖南省各地市 2010 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 4 部分:数列
一、选择题: 7. (湖南省湘潭市 2010 届 高三第三次模拟考试理科)设数列 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,已 知 a1 ? a4 ? a7 ? 99, a2 ? a5 ? a8 ? 93 , 若 对 任 意 n ? N , 都 有
*

Sn ? Sk

成立,则 k 的值为



) A.22

B .21

C.20

D.19

8. (湖南省长沙市四县 2010 届高三调研联考文科)把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角 形数表(每行比上一行多一个数) :设 aij (i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从 左往右数第 j 个数,如 a42 =8, 若 i ? 65, j ? 3, 则 aij 的值为(C)www.51xcedu.com A.2010 教学过程 B.2051 C.2053 D.2055

二、填空题: 12. (湖南省师大附中 2010 届高三第七次月考理科)设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知

S10 ? ? (1 ? 2 x)dx , S20 ? 18 ,则 S30 = _____ . www.xcydy.com
0

3

15. (湖南省长沙一中、雅礼中学 2010 届高三 3 月联考理科)下面的数组均由三个数组成,它们是: (1,2,3),(2,4,6),(3,8,11),(4,16,20),(5,32,37),…,(an,bn,cn). (1)请写出 cn 的一个表达式,cn = ; (2)若数列{cn}的前 n 项和为 Mn,则 M10 = . (用数字作答) 15. (湖南省怀化市 2010 年高三第二次模拟考试统一检测理科)用 ?, ?, ? 三个 字母 组成一个长度为 n ? 1 (n ? N *) 个字母的字符串,要 求由 ? 开始, 相邻两个

?

? ?

?

? ?

? ? ? ?

字母不同. 例如 n ? 1时,排出的字符串可能是 ?? 或 ?? ; n ? 2 时排出的字符 串可能是 ???, ??? , ???,??? (如图 7). 若记这种 n ? 1 个字符串中,排在最后一个的字母仍是 ? 的所有 字符串的种数为 a n , 可知, a1 ? 0, a2 ? 2 ;则 a 4 ? ____;www.csxcedu.com 数列 ?a n ?的前 2n 项之和 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a 2 n ? . 6, ____

2 4n ?1 3

?

?

15. (湖南省怀化市 2010 年高三第二次模拟考试统一检测文科)已知数列 {an }, {bn }, {cn } 的通项满足

bn ? an?1 ? an , cn ? bn?1 ? bn (n ? N ?) ,若 {bn } 是一个非零常数列,则称数列 {an } 是一阶等差数列;若 {cn } 是一个非零常数列,则称数列 {an } 是二阶等差数列,写出满足条件 a1 ? 1, b1 ? 1, cn ? 1 的二阶等
差数列 {an } 的第 5 项即 a5 ? ______;数列 {an } 的通项公式 an ? ______. 9. (湖南省湘潭市 2010 届高三第三次模拟考试文科)等差数列的前 n 项和为 Sn , 若S2 ? 4, S4 ? 20 , 则该数列的公差 d= 。 公差 ? 是各项均为正整数的等差数列, d ? N* ,

15. (湖南省 2010 年高考适应性测试理科) 已知数列 ? an 且 ? an

? 中任意两项之和也是该数列中的一项.

(1)若 a1 ? 4 ,则 d 的取值集合为________; (2)若 a1 ? 2m ( m ? N? ) ,则 d 的所有可能取值的和为________. 13. (湖南省岳阳市 2010 届高三教学质量检测试题二理科)记等差数列{an}的前 n 项和 Sn, 利用倒序 求和的方法得:S n ?

n(a1 ? a n ) ; 类似的, 记等比数列{bn}的前 n 项的积为 Tn, bn>0 且 2

(n ? N ? ),

试类比等差数列求和的方法,
n 可将 Tn 表示成首项 b1,末项 bn 与项数 n 的一个关系式,即公式 Tn=_____________; (b1bn )

12. (湖南省长沙市一中 2010 届高三第九次月考理科)公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn} 的前 n 项积,则有
T20 T30 T40 仍成等比数列,且公比为 4100;类比上述结论,在公差为 3 的等差数 , , T10 T20 T30

列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和,则有_____________________________也成等差数列,该等差 数列的公差为 三、解答题 . S20 ? S10 , S30 ? S30 , S40 ? S30 300

21. (湖南省怀化市 2010 年高三第二次模拟考试统一检测理科) (本大题满分 13 分) 设函数 f ( x) 是定义域在 (0, ??) 上的单调函数,且对于任意正数 x, y 有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,已 知 f (2) ? 1. (1)求 f ( ) 的值;

1 2

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

(2)一个各项均为正数的数列 {an } 满足: f ( Sn ) ? f (an ) ? f (an ? 1) ? 1(n ? N *) ,其中 S n 是数 列 {an } 的前 n 项的和,求数列 {an } 的通项公式;

19. (湖南省怀化市 2010 年高三第二次模拟考试统一检测文科) (本小题满分 13 分)

[来源:学科网 ZXXK]

已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .且 a2 ,a5 ,a14 分别是等比数 {bn } 的 b2 ,b3 ,b4 . (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {cn } 对任意自然数 n 均有:

c1 c2 c ? ? ? ? n ? an ?1 成立.求 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? c2010 的值. b1 b2 bn

21. (湖南省湘潭市 2010 届高三第三次模拟考试理科) (本题满 分 13 分 )

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

已知数列 {an } 的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn , 满足( p ? 1) Sn ? p ? an ,其中 p 为正 常
2

数,且 p ? 1.设bn ?

1 (n ? N * ) , 2 ? log p an

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设数列 {bn bn ? 2 }的前n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m,使得 Tn ? 若存在,求出 m 的最小值,若不存在,说明理由;

1 * 对于 n ? N 恒成立, bm bm ?1

21. (湖南省湘潭市 2010 届高三第三次模拟考试文科) (本题满分 13 分) 已知数列 {an }中, a1 ? 2, a2 ? 4, x ? 值点。 (I)证明:数列 {an ?1 ? an } 是等比数列; (II)求数列 {an } 的通项公式; (III)设 bn ? an ? 1, S n ?
[来源:学科网]

2是函数f(x)=a n ?1 x3 ? 3[3an ? an ?1 ]x ? 1(n ? 2) 的一个极

a a1 a 2 ? 2 ? ? ? n , 求证 : S n ? . b1b2 b2 b3 bn bn ?1 3

21.解: (1) x ?

2是函数f ( x) 的极值点,
………………2 分

? f ( 2) ? 0, 即an ?1 ? 3an ? 2an ?1 (n ? 2)

?

an ?1 ? an ?2 an ? an ?1

? {an ?1 ? an }是等比数列???? 4分
(2)?{an ?1 ? an } 是等比数列,首项为 2

? an ?1 ? an ? 2n

………………6 分

? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? ? ? (an ? an?1 )

? 2 ? 21 ? ? ? 2n?1 ? 2n
(3)? an ? 2 ? bn ? 2
n n ?1

………………9 分

?

an 2n 1 1 ? n ? n ? n ?1 n ?1 bn bn ?1 (2 ? 1)(2 ? 2) 2 ? 1 2 ? 1
1

…… …………11 分

? Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? n ? n?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 2 ? 1 ? n?1 ? n越大, sn 越大,当n ? 1时, sn ? , 3 2 ?1 1 2 ………………13 分 ? sn ? 1 ? n?1 ? 2 ?1 3
1 2 4 9 10 11 5 12 3 6 7 13 14 15

19. (湖南省师大附中 2010 届高三第七次月考理科)(本题满分 13 分) 把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示 的数表,其中第 i 行共有 2
i ?1

个正整数.设 aij (i、j∈N*)表示

8

位于这个数表中从上往下数第 i 行,从左往右数第 j 个数. ………………………………………… (Ⅰ)若 aij =2010,求 i 和 j 的值; (Ⅱ)记 An ? a11 ? a 22 ? a33 ? ? ? a nn ( n ? N *),试比较 An 与 n ? n 的大小,并说明理由.
2

【解】 (Ⅰ) 因为数表中前 i-1 行共有 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

i ?2

i ?1 则第 i 行的第一个数是 2 , ? 2i ?1 ?1 个数,

所以 aij = 2 因为 2 令2
10

i ?1

? j ?1.

(2 分) (4 分) (5 分)

10

? 2010 ? 211 , aij =2 010,则 i-1=10,即 i=11.

? j ? 1 ? 2010 ,则 j ? 2010 ? 210 ? 1 ? 987 .

(Ⅱ)因为 aij ? 2

i ?1

? j ? 1 ,则 ann ? 2n?1 ? n ? 1 ( n ? N*).
n ?1

(6 分)

所以 An ? (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

) ? [0 ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? 2n ? 1 ?

n(n ? 1) . 2
(7 分)

所以 An ? (n ? n) ? 2 ? 1 ?
2 n

n(n ? 1) n 2 ? 3n ? 2 . ? ( n 2 ? n) ? 2 n ? 2 2
n

检验知,当 n ? 1,2,3 时, 2 ?

n 2 ? 3n ? 2 2 ,即 An ? n ? n . 2
(9 分)

(8 分)

n 2 ? 3n ? 2 猜想:当 n ? 4 时, 2 ? . 2
n

证法一:当 n ? 4 时, 2 ? (1 ? 1) ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 1 ? n ?
n n
0 1 2 3

n(n ? 1) n(n ? 1)(n ? 2) ? 2 6

? 1? n ?

n(n ? 1) n ? 3 ? 2 n 2 ? 3n ? 2 ? . ? 2 2 6
2

(12 分)

综上分析,当 n ? 1,2,3 时, An ? n ? n ;当 n ? 4 时, An ? n ? n .
2

(13 分)

n 2 ? 3n ? 2 42 ? 3 ? 4 ? 2 n 证法二:① 当 n ? 4 时, 2 ? 16 ? ,所以 2 ? 成立.(10 分) 2 2
4

② 假设当 n ? k (k ? 4) 时,不等式成立,即 2 ?
k

k 2 ? 3k ? 2 . 2

则2

k ?1

? 2 ? 2k ? 2 ?

k 2 ? 3k ? 2 ? k 2 ? 3k ? 2 . 2

[来源:学.科.网]

(k ? 1)2 ? 3(k ? 1) ? 2 2k 2 ? 6k ? 4 ? k 2 ? 5k ? 6 (k ? 2)(k ? 1) ? ? ?0, 因为 k ? 3k ? 2 ? 2 2 2
2

所以 2

k ?1

?

(k ? 1) 2 ? 3(k ? 1) ? 2 ,即当 n ? k ? 1 时,猜想也正确. 2
n

由①、②得当 n ? 4 时, 2 ?

n 2 ? 3n ? 2 成立. 2
2
2

综上分析,当 n ? 1,2,3 时, An ? n ? n ;当 n ? 4 时, An ? n ? n . 19. (湖南省师大附中 2010 届高三第七次月考文科)(本题满分 13 分)

(13 分)

某化工厂打算投入一条新的生产线生产某种化工产品,但需要经过环保部门审批同意后方可投入 生产.已知该生产线连续生产 n 个月的累积产量为 f (n) ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 吨,但如果月产量超过 96 2

吨,就会给周边环境造成污染,环保部门将责令停产一段时间,再进入下一个生产周期. (Ⅰ)请你代表环保部门给该生产线拟定一个最长的生产周期; (Ⅱ)按环保管理条例,该生产线每月需要缴纳 a 万元的环保费.已知这种化工产品每吨的售价为 0.6 万元,第 n 个月的生产成本为 g (n) ? 在最长的生产周期内每月都有盈利? 【解】 (Ⅰ)设第 n 个月的产量为 an 吨,则 a1 ? f (1) ? 1 . 当 n ? 2 时, an ? f (n) ? f (n ? 1) ? 3n ? 2n .
2

8 2 2 n ? n ? 1万元.当环保费用 a 在什么范围内时,该生产线 5 5

(1 分) (3 分) (4 分)

又 a1 ? 1 满足上式,所以 an ? 3n ? 2n(n ? N *) .
2

令 3n ? 2n ? 96 ? 0 ,得 ?
2

16 ? n ? 6 .又 n ? N ? ,则 n ? 1, 2,3, 4,5,6 . 3 2 1 4 n ? 1) ? a ? 0 ,得 a ? n 2 ? n ? 1 . 5 5 5

[来源:学科网 ZXXK]

故最长生产周期是 6 个月. (Ⅱ)由 (3n ? 2n) ? ( n ?
2 2
源:Z.xx.k.Com]

(6 分) (8 分)
[来源:Z。xx。k.Com][来

3 5

8 5

1 2 4 n ? n ? 1,据题意,当 n ? 1, 2,3, 4,5,6 时, a ? ? (n) 恒成立,则 a ? ? (n) min . 5 5 1 2 4 1 1 1 2 因为 ? (n) ? n ? n ? 1 ? (n ? 2) ? ,则当 n=2 时, ? (n) min ? . (12 分) 5 5 5 5 5 1 故当环保费用 a ? (0, ) 时,该生产线在最长的生产周期内每月都有盈利. (13 分) 5
设 ? ( n) ? 20. (湖南省长沙市四县 2010 届高三调研联考文科) (13 分)设数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,且

bn ? 2 ? 2S n ;数列 {a n } 为等差数列,且 a5=14,a7=20.
(1)求数列 {bn } 的通项公式;
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

(2)若 cn ? a n ? bn (n ? 1,2,3?), Tn 为数列 {c n } 的前 n 项和,求证: Tn ? 解: (1)由 bn ? 2 ? 2S n , 令n ? 1, 则b1 ? 2 ? 2S1 , 又S1 ? b1 ,所以 b1 ?
当n ? 2时,由bn ? 2 ? 2 S n , 可得bn ? bn ?1 ? ?2( S n ? S n ?1 ) ? ?2bn 即 bn 1 ? ???? 4分 bn ?1 3 2 1 为首项, 为公比的等比数列, 3 3

7 . 2
[来源:学科网 ZXXK]

2 …2 分 3

所以{bn }是以b1 ? 于是bn ? 2 ?

1 ???? 6分 3n

[来源:学科网 ZXXK]

18. (湖南省岳阳市 2010 届高三教学质量检测试题二理科) (本小题满分 12 分)如右图所示的程序框 开 始 图,将输出 的 x,y 值依次分别记为 x1 , x2 ,?, xn ,? x2010 ; x=1, y=2 ,n=1

y1 , y2 ,?, yn ,?, y2010 ;
输出 x,y (1) 求数列{ xn }的通项公式 (2)写出 y1 , y2 , y3 , y4 ,由此猜想出数列{ y n }的 一个通项公式 y n ,并证明你的结论; (3) 求 Z n ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? xn yn
[来源:学科网 ZXXK]

n=n+1 x=x+2 y=3y+2

(n ? 2010 , n ? N ? )

n ? 2010 ?

[来源:Zxxk.Com]



结 束 18.解: (1) x1 ? 1, xn ?1 ? xn ? 2

?

xn ? 2 n ? 1

(n ? 2010 )
y3=26
n

………………………………………… (4 分)

(2)y1=2 y2=8

y4=80

由此猜想: y n ? 3 ? 1 证:? yn ?1 ? 3 yn ? 2

(n ? 2010 )
? yn ?1 ? 1 ? 3( yn ? 1)

?

yn ?1 ? 1 ?3 yn ? 1

y1 ? 1 ? 3

[来源:Zxxk.Com]

数列{yn+1}构成以 3 为首项,3 为公比的等比数列

? y ? 3n ? 1

………………………………………………………………(8 分)
2 n

3) Z n ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? xn yn ? 1? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? 3 ? [1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1)]

? (n ? 1) ? 3n?1 ? 3 ? n 2

(n ? 2010 )

………………………………(12 分)

19. (湖南省长沙一中、雅礼中学 2010 届高三 3 月联考理科) (本小题满分 13 分)某市电信宽带网用 户收费标准如下表: (假定每月初均可以和电信部门约定上网方案) 方案 甲 乙 丙 类别 包月制 有限包月 制(限 60 小时) 有限包月制 (限 30 小时) 基本费用 70 元 50 元
[来源:学科网 ZXXK]

超时费用 0.05 元/分钟(无上限) 0.05 元/分钟(无上限)
源:学科网] [来

30 元

(1)若某用户某月上网时间为 T 小时,当 T 在什么范围内时,选择甲方案最合算?并说明理由 (2)王先生因工作需要需在家上网,他一年内每月的上网时间 T(小时)与月份 n 的函数关系为 T = f (n) =
3n ? 237 (1 ? n ? 12, n ? N) .若公司能报销王先生全年的上网费用,问公司最少会为此花多 4

少元? 【解析】 1)当 T≤30 时,选择丙方案合算; (
[来源:Zxxk.Com]

当 T>30 时,由 30 + 3 (T – 30)≤50,得 30<T≤ 36 ,此时选择丙方案合算; 分) (2 当 36 ≤T≤60 时,选择乙方案合算;
2 3 2 3

2 3

(4 分)

当 T>60 时,由 50 + 3 (T – 60)≤70,得 60<T≤ 66 ,此时选 择乙方案合算; 当 T≥ 66 ,选择甲方案合算. 综上可得,当 T ? (66 , ??) 时,选择甲 方案合算.
2 3 2 3

(6 分) (7 分)

3 3 (2)因为 f (n ? 1) ? f (n) ? , 所以{f (n)}为首项 f (1) = 60,公差 d = 的等差数列,且每月上网时间 4 4

逐月递增.令 T ? 网花费最少.

3n ? 237 2 8 ? 66 , 得n ? 9 ,可知前 9 个月选择乙方案,最后 3 个月选择甲方案上 4 3 9
9

(9 分) 9 3n ? 237 9 ? 60)] ? 3 ? 70 ? 450 ? ? (n ? 1) ? 此时,一年的上网总费用为 ?[50 ? 3( 4 n ?1 n ?1 4
210 ? 450 ? 81 ? 210 ? 741(元)

即一年内公司最少会为王先生 花费上网费 741 元
[来源:Z&xx&k.Com]

(13 分)

课后记

本节课教学计划完成情况:照常完成□ 学生的接受程度:完全能接受□

提前完成□

延后完成□

部分能接受□ 不能接受□

学生的课堂表现:很积极□ 比较积极□ 一般积极□ 不积极□ 学生上次作业完成情况:数量____% 配合需求:家 完成质量____分 存在问题 _____________________________

长________________________________________________________________________

学管师________________________________________________________________________ 注 备

学生签字___________

家长签字____________


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