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【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(七)函数的奇偶性与周期性 理 新人教A版


限时集训(七)

函数的奇偶性与周期性

(限时:45 分钟 满分:81 分)

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y= B.y=-x
3

)

x<

br />
D.y=x|x| )

2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ,且满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)=( A.0 C.2 B.1 D.3

3.设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 的解集为( )

f? x? +f? -x? >0 x

A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
?1-2 ,x≥0, ? 4.已知函数 f(x)=? x ? ?2 -1,x<0,
-x

B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2) 则该函数是( )

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减

5.(2013·广州模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间 [0,2]上是增函数,则( ) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f (11)<f(80)<f(-25)

6.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3]上的解集为( A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) ) B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.若函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,b =________. 8.若偶函数 y=f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数,且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(- 3 ≤x≤3),则 f(-6)等于________.
2

1

9 .(2013·徐州模拟)设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,若 f(1)<1,f(2) 2a-1 = ,则 a 的取值范围是________. a+1 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不

? 1? 等式 fx?x- ?<0 的解集. ? 2?
11.已知函数 f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R). (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 12.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤ 1 时,f(x)=x. (1) 求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图 象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间.
2

a x





限时集训(七) 函数的奇偶性与周期性 1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C 7. 1 0 8.-1 3

9.(-∞,-1)∪(0,+∞) 10.解:∵y=f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=0. 又∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上 是增函数,

?x?x-1?>0, ? ? 2? ? ? ? 1? 若 fx?x- ?<0=f(1),∴? ? 2? 1 ?x?x-2?<1, ?? ? ? ?
1 1+ 17 1- 17 ? 1? 即 0<x?x- ?<1,解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4 ? 2?

?x?x-1? <0, ? ? ?x-1?<0=f(-1),∴? ? 2? fx? ? ? ? 1? ? 2? ?? ? ?x?x-2? <-1.
2

? 1? ∴x?x- ?<-1,解得 x∈?. ? 2?
1 1+ 17 1- 17 ∴原不等式的解集是 x <x< 或 <x<0. 2 4 4 11.解:(1)当 a=0 时,f(x)=x 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x) =x =f(x). 故 f(x)为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R), 取 x=±1,得 f(-1)+f(1)=2≠0;
2 2 2 2

a x

f(-1)-f(1)=-2a≠0,
即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)设 2≤x1<x2,

a a f(x1)-f(x2)=x2+ -x2- 1 2 x1 x2
= ?

x1-x2? x1x2

[x1x2(x1+x2)-a],

要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞) 上为增函数,必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立, ∵x1-x2<0,∴x1x2(x1+x2)-a>0, 即 x1x2(x1+x2)>a 恒成立. 又∵x1+x2>4,x1x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16. ∴a 的取值范围是(-∞,16]. 12.解:(1)由 f(x+2)=-f(x)得,

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f(π )=f(π -4)=-f(4-π )=-(4-π )=π -4. (2)由 f(x)是 奇函数与 f(x+2)=-f(x), f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 得 即 f(1+x)=f(1-x).

故知函数 y=f(x)的图象关于直 线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则-1≤x≤0 时 f(x)=

3

x,则 f(x)的图象如图所示.

?1 ? 当-4≤x≤4 时, f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, S=4S△OAB=4×? ×2×1? 设 则 ?2 ?
=4. (3)函数 f(x)的单调递 增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).

4


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