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2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编4:平面向量


2014 届高三文科数学一轮复习之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 4:平面向量
一、选择题 1 . ( 【 解 析 】 山 东 省 青 岛 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 文 科 数 学 ) 若 两 个 非 零 向 量 a , b 满 足

?

?

? ? ? ? ? ? ?

? | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a 的夹角为
A.





?
6

【答案】 B

2? 5? D. 3 3 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 由 a ? b ? a ? b 得, a ? 2a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b ,即 a ? b ? 0 .由 a ? b ? 2 a ,得
B.

?

C.

? ? ? ? ? ?2 ? ? ? 2 ? ? ?2 ? ? ?2 ?2 ?2 ?2 a ? 2a ? b ? b ? 4a ,即 b ? 3a ,所以 b ? 3 a ,所以 (a ? b) ? a ? a ? a ? b ? a ,所以向量 a ? b
? ? ? ?2 ? ( a ? b) ? a a 1 ? 与 a 的夹角的余弦值为 cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ,选 3 a?b ? a 2 a ? a 2
B.

2 . ( 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 向 量

? ? ? ? ? ? a ? ( 3,1), b ? (0,1), c ? (k , 3),若a ? 2b与c垂直 ,则 k ?
A.—3 B.—2 C.l D.-l





? ? ? ? ? ?? ? ? ? )c c c 【 答 案 】 A 【 解 析 】 因 为 a ? 2b与c 垂 直 , 所 以 有(a ? 2b ? =0 , 即 a ? ? 2b? =0 , 所 以
3k ? 3 ? 2 3 ? 0 ,解得 k ? ?3 ,选 A.
3 . (【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)已知 O 是 ?ABC 所在平面内一点,D

为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,则有 A. AO ? 2OD

??? ??? ???? ? ? ????

?





????

????

B. AO ? OD

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2AO ? OD

????

????

【答案】 解:由 2OA ? OB ? OC B

??? ??? ???? ? ?

? ??? ???? ? ??? ? ???? ??? ???? ? ???? ???? ? 0 得 OB ? OC ? ?2OA ? 2 AO ,即 OB ? OC ? 2OD ? 2 AO ,所以
B.

???? ???? OD ? AO ,即 O 为 AD 的中点.选

4 . ( 【解析】 山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 (文) 试题) 已知点 A(?1,1), B (2, y ) ,向量 a=(1,2),

若 AB / / a ,则实数 y 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8

uur u

r





【答案】C【解析】 AB ? (3, y ? 1) ,因为 AB / / a ,所以 y ? 1 ? 2 ? 3 ? 0 ,即 y ? 7 ,选

??? ?

uur u

r

C.

5 .(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题) 如图,平行四边形 ABCD

中, AB ? 2, AD ? 1, ?A ? 60 ,点 M 在 AB 边上,且 AM ?
?

???? ??? ? ? 1 AB,则DM ? DB 等于 3

( A. ?




3 2
答 案 】

B. D

3 2

C. ?1

D.1 所 以

???? ??? ???? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? , DM ? DA ? AM ? DA ? AB, DB ? DA ? AB 3 ???? ??? ? ? ??? 1 ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 1 ??? 2 4 ??? ??? ? ? ? ? ? 4 4 ???? ??? DM ? DB ? ( DA ? AB) ? ( DA ? AB) ? DA ? AB ? DA ? AB ? 1 ? ? AD ? AB 3 3 3 3 3 ???? ??? ? 7 4 7 4 1 .选 D. ? ? AD ? AB cos 60? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 1 3 3 3 3 2
o

6 .(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 )在△ABC 中,G 是△ABC 的重心,AB.AC

的边长分别为 2、1, ? BAC=60 .则 AG ?BG = A. ?

???? ????





8 9

B. ?

10 9

C.

5? 3 9

D.-

5? 3 9

【答案】A【解析】由 AB ? 2, AC

? 1, ?BAC ? 60? ,所以 BC ? 3, ?ACB ? 90? ,将直角三角形放入

直角坐标系中,

, 则 A(0,1), B( ? 3, 0) , 所 以 重 心 G (?

3 1 , ) ,所以 3 3

???? ???? ??? ? 3 2 ???? 2 3 1 3 2 2 3 1 8 AG ? ( ? , ? ), BG ? ( , ) ,所以 AG ? BG ? (? ,? )?( , ) ? ? ,选 A. 3 3 3 3 3 3 3 3 9
7 .(【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学)若 a, b, c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 ,则

? ? ?

? ?

? ? ? a ? b ? c 的最小值为
A. 2 ? 1
【答案】A

( C. 2 ? 1 D. 2



B.1

? ? ? ? ? 2 ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c ? 3 ? 2(a ? b) ? c , 因 为 a ? b ? 0 , 且

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 1 ,所以 a ? c ? 2 ,所以 (a ? b) ? c ? a ? b c cos ? a ? b, c ?? 2 cos ? a ? b, c ? ,所

以 a ? b ? c ? 3 ? 2 2 cos ? ( a ? b), c ? , 所 以 当 cos ? (a ? b ), c ?? 1 时 , a ? b ? c

? ? ?2

? ? ?

?

? ?

? ? ?2

最小为

? ? ?2 ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 ,所以 a ? b ? c ? 2 ? 1 ,即 a ? b ? c 的最小值为 2 ? 1 .选 A.
8 .(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)已知 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) ,则 a ? b ? (

?

? ?

? ?



A. 2

C. 4 D. 5 ? ? ? ? ? 【答案】 【答案】D 因为 a ? (1, 2), 2a ? b ? (3,1) ,所以 b ? 2a ? (3,1) ? 2(1, 2) ? (3,1) ? (?1,3) ,所以 B. 3

? ? a ? b ? (1, 2) ? (?1,3) ? ?1 ? 2 ? 3 ? 5 ,选

D.

9 .(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学) 如图,在边长为 2 的菱形 ABCD

中, ?BAD ? 60? ,E 为 BC 中点,则 AE ? BD ?

??? ??? ? ?

( A.-3 B.0 C.-1 D.1



??? ??? ??? ??? 1 ??? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? 1 ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? 【答案】C AE ? AB ? BE ? AB ? BC ,所以 AE ? BD ? ( AB ? BC ) ? BD ? AB ? BD ? BC ? BD 2 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 1 1 1 C. ? AB ? BD cos120? ? BC ? BD cos 60? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ?1 ,选 2 2 2 2
10.(【解析】山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学) ?ABC 中,设 AC ? AB ? 2 AM ? BC ,
??? 2 ??? 2 ??? ???

那么动点 M 的轨迹必通过 ?ABC 的 A.垂心 B.内心

( C.外心
??? 2 ??? 2



D.重心

???? ??? ???? ??? ? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ? AC ? AB ? ( AC ? AB)?( AC ? AB) ? 2 AO?BC ? 2 AM ?BC , 【答案】 解析】 【 C 假设 BC 的中点是 O.则 ???? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ???? ??? ? ? ( AO ? AM )?BC ? MO ?BC ? 0 ,所以 MO ? BC ,所以动点 M 在线段 BC 的中垂线上,所以动点 即
M 的轨迹必通过 ?ABC 的外心,选
C.

11.【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)如图, AB 是圆 O 的直径, P (

? 是圆弧 AB 上的点, M , N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB ? 6, MN ? 4 ,则 PM ? PN ?

???? ???? ?

( A.13
【 答 案 】 C



B.7 连 结

C.5

D.3

???? ??? ???? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ? AP,BP. 则 PM ? PA ? AM , PN ? PB ? BN ? PB ? AM , 所 以

???? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ???? ???? ??? ???? 2 ? ? ? ? ? ? ? PM ? PN ? ( PA ? AM ) ? ( PB ? AM ) ? PA ? PB ? PA ? AM ? AM ? PB ? AM
??? ???? ???? ??? ???? 2 ???? ??? ???? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? PA ? AM ? AM ? PB ? AM ? AM ? AB ? AM ? 1? 6 ? 1 ? 5 .

12.(【解析】山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(文)试题)已知点 O 为△ABC 内一点,且

??? ? ??? ? ???? ? OA ? 2OB ? 3OC ? 0, 则△AO

B.△AO

C.△BOC 的面积之比等于 (



A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3 【答案】 解析】 C 【 ,延长 OB 到 B ' ,使 OB ' ? 2OB ,延长 OC 到 C ' ,使 OC ' ? 3OC ,连结 B ' C ' ,取 B ' C ' 的中点 A ' ,则 2OB ? 3OC ? 2OA ' ? ?OA, 所以 A, O, A ' 三点共线且 O 为三角形 AB ' C ' 的重心,则可 以证明 S ?AOB ' ? S ?AOC ' =S ?B 'OC ' .在△AOB’中,B 为 OB‘边中点,所以 S ?AOB ? 为 OC‘边近 O 端三等分点,所以 S ?AOC ?

??? ?

????

????

??? ?

1 S ?AOB ' ,在△AOC’中,C 2

1 S ?AOC ' .在△B'OC'中,连 BC',B 为 OB‘边中点,所以 3 1 1 1 S ?BOC ' ? S ?B ' OC ' ,在△BOC'中,C 为 OC‘边近 O 端三等分点,所以 S ?BOC ? S ?BOC ' ? S ?B 'OC ' ,因为 2 3 6 1 1 1 C. S ?AOB ' ? S ?AOC ' =S ?B 'OC ' ,所以△AOB: △AOC: △BOC 面积之比为 :: =3 : 2 :1 ,选 2 3 6

13. 【解析】 ( 山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学 (文) 试题) 已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2

?

?

?

?

?

则向量 a与b 的夹角为 A.

?





?
2

B.

?
3

C.

?
4

D.

?
6

【答案】B

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? a ?b 3 1 ? ,所以 a ? (b ? a ) ? a ? b ? a ? 2 , 所 以 a ? b ? 3 , 所 以 cos ? a, b ?? ? ? ? a b 1? 6 2
B.

? ? ? ? a, b ?? ,选 3

14. 【解析】 ( 山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习 (一) 文科数学) 已知平面向量 a=(-2,m),b=(1,

3 ),


且 (a ? b) ? b ,则实数 m 的值为

? ?

?



A. ?2 3

B. 2 3

C. 4 3

D. 6 3

【答案】 解析】 B 【 因为 (a ? b) ? b ,所以 (a ? b) ? b ? a ? b ? b

? ?

?

? ? ?

? ? ?2

? 0 .即 ?2 ? 3m ? 4 ? 0 ,解得 m ? 2 3 ,



B.

15. 【解析】 ( 山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学) 若函数 f ( x) ? 2 sin(

?
6

x?

?
3

)(?2 ? x ? 10)

的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 ( ) B.-16

B . C 两 点 , 则 (OB ? OC ) ? OA ?

A.-32

C.16

D.32 B.C 两点,

【答案】D 由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 4 ,即 A(4, 0) ,过点 A 的直线 l 与函数的图象交于

根 据 对 称 性 可 知 ,

??? ???? ? ??? ? A 是 B, C 的 中 点 , 所 以 OB ? OC ? 2 OA , 所 以
D.

??? ???? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???2 ? (OB ? OC) ? OA ? 2 OA? OA ? 2 OA ? 2 ? 42 ? 32 ,选

二、填空题 16.(【解析】山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)若 a

?

? ? ? ? ?1, ?2 ? , b ? ? x,1? ,且 a ? b ,则

x =__________.
【答案】2 解:因为 a

?

? ? ? ? b ,所以 a ? ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 . b
??? ?

17.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学) 如图,在△ABC 中,O 为 BC 中点,若

AB=I, AC ? 3 , AB, AC ? 60 ,则 OA ? ______________.
?

??? ???? ?

【 答 案 】

??? ???? ? ??? ???? ??? ???? ? ? 13 1 3 ? 因 为 AB, AC ? 60 , 所 以 AB ? AC ? AB ? AC cos 60? ? 3 ? ? , 又 2 2 2 ???? 1 ??? ???? ? ???? 2 1 ??? ???? ? ? ??? ???? ???? 2 ? 1 ??? 2 AO ? ( AB ? AC ) , 所 以 AO ? ( AB ? AC ) 2 ? ( AB ? 2 AB ? AC ? AC ) , 即 2 4 4
??? ? ???? 2 1 13 13 . AO ? (1 ? 3 ? 9) ? ,所以 OA ? 2 4 4

18 . ( 【 解 析 】 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 文 ) 已 知 向 量 a, b 满 足

? ?

? a ? 2b ? ? ? a ? b? ? ?6, 且 a ? 1, b ? 2 ,则 a与b 的夹角为_________
【 答 案 】

?

?

? ?

?

?

? ?
?

?
3

【 解 析 】 由

? a ? 2b? ? ? a ? b? ? ?6,

?

?

?



? 2 ? ? ?2 a ? a ? ? 2b ? ?6 , 即 b

? ? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? a? b 1 1 ? ? , 所 以 ? a, b ?? , 即 a ? ? ?a ? 2b ? 6 ? ?1 ? 8 ? 6 ? 1 , 所 以 cos ? a, b ?? ? ? ? b 3 a b 1? 2 2

? ? ? a与b 的夹角为 . 3
19.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文(a))已知向量 a ? (1,1), b ? ( 2,0) ,则向量

a, b 的夹角为______________.
【 答 案 】

?

4 ? ? ? ? ? ? a? b 2 2 ? ,所以 ? a, b ?? . cos ? a, b ?? ? ? ? ? 4 2 a b 2 2

【 解 析 】 因 为 a ? (1,1), b ? (2,0) , 所 以

? ? a ? 2, b ? 2 , 所 以

20.(【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文))若 e1 , e2 是平面内夹角为 60 的两

?? ?? ?

?

个单位向量,则向量 a = 2e1 + e2 , b = - 3e1 + 2e2 的夹角为__________.
【 答 案 】

?

??

?? ?

??

120?



?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 1 7 , , e1 ?e2 ? e1 e2 cos 60? ? a ? ? (2e1 ? e2 )?(?3e1 ? 2e2 ) ? ? b 2 2 ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ??? ? ?? ?? ? ? ? a ? (2e1 ? e2 ) 2 ? 4 ? 4e1 ?e2 ? 1 ? 7 , b ? (?3e1 ? 2e2 ) 2 ? 9 ? 12e1 ?e2 ? 4 ? 7 , 所 以 a, b
:

7 ? ? ? ? ? ? ? a? b 2 ? ? 1 ,所以 ? a, b ?? 120? . 的夹角的余弦值为 cos ? a, b ?? ? ? ? 2 7? 7 a b


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