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高一数学空间几何体的表面积与体积2

时间:2011-02-24


空间几何体的表面积与体积
一、选择题: 1.过正三棱柱底面一边的截面是 A.三角形 B.三角形或梯形 C.不是梯形的四边形 D.梯形 2.若正棱锥底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 3.球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于 A. ( )

( D.六棱锥 ( D.3 (

) )

1 2

B.1

C.2

4.将一个边长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了 A. 6a
2



B.12a2

C.18a2

D.24a2

5.直三棱柱各侧棱和底面边长均为 a,点 D 是 CC′上任意一点,连结 A′B,BD,A′D,AD,则 三棱锥 A—A′BD 的体积 A. ( C. 3 a 3 )

D. 1 a 3 12 6 12 6.两个球体积之和为 12π,且这两个球大圆周长之和为 6π,那么这两球半径之差是( B. 3 a 3

1 3 a 6



1 A. 2

B.1

C.2

D.3

7.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比( ) A.2:3:5 B.2:3:4 C.3:5:8 D.4:6:9 8.直径为 10cm 的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为 2cm 的削球,如果不计损耗,可 铸成这样的小球的个数为 ( ) A.5 B.15 C.25 D.125 9.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体的表面积之比为 A. ( )

? 2

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3


10.中心角为 135°的扇形,其面积为 B,其围成的圆锥的全面积为 A,则 A:B 为( A.11:8 B.3:8 C.8:3 D.13:8

11.直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 Q1 ,Q2 ,直平行六面体的侧面积为 _____________. 12.正六棱锥的高为 4cm,最长的对角线为 4 3 cm,则它的侧面积为_________. 13.球的表面积扩大为原来的 4 倍,则它的体积扩大为原来的___________倍. 14.已知正三棱锥的侧面积为 18 3 cm ,高为 3cm. 求它的体积 三、解答题: 15.①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱. 已知:等边圆柱的底面半径为 r,求:全面积; ②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥.
2



已知:等边圆锥底面半径为 r,求:全面积. 16.四边形 ABCD,A(0,0) ,B(1,0) ,C(2,1) ,D(0,3) ,绕 y 轴旋转一周,求所得 旋转体的体积.

17.如图,圆锥形封闭容器,高为 h,圆锥内水面高为 h1 ,h1 ? 圆锥内水面高为 h2 ,求h2 .

h , 若将圆锥倒置后, 3

18.如图,三棱柱 ABC ? A? B ?C ?中,P为AA? 上一点,求 VP ? BB?C?C : V ABC ? A?B?C? .

20. (14 分)已知:一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其中有一个高为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大.

参考答案(三)
一、BDDBC BDDBA 12. 30 二、11. 2 Q1 2 ? Q2 2 ; 三、15.①解:? 母线l

3

cm ;

2

13.8;

14. 9

3 cm3.

? 2r

? S侧 ? c ? l ? 2?r ? 2r ? 4?r 2 ? S全 ? 4?r 2 ? 2?r 2 ? 6?r 2
②解:? 母线l

? 2r

? S侧 ? ?rl ? ?r ? 2r ? 2?r 2 ? S全 ? 2?r 2 ? ?r 2 ? 3?r 2
16.解: V 圆锥

1 1 8 ? ?r 2 h ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 3 3 3 1 1 7 V圆台 ? ?h(r 2 ? R 2 ? Rr ) ? ? ? 1 ? (2 2 ? 12 ? 2 ? 1) ? ? 3 3 3

?V ? V圆锥 ? V圆台 ? 5?
17.分析:圆锥正置与倒置时,水的体积不变,另外水面是平行于底面的平面,此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似 体,它们的体积之比为对应高的立方比.

2 h VS ? AB 8 解: ? ( 3 )3 ? VS ?CD h 27

?
小结:此题若用

V水 V锥

19 19 ? 19 ? 3 3 19 3 ? 倒置后:V水 :V锥 ? h2 :h 3 ? ? h2 ? ? h 3 ? ? h 27 27 3 ? 27 ?

1

1 V水 ? V台 计算是比较麻烦的,因为台体的上底面半径还需用 h1 ? h 导出来,我们用 3

V水 ? V锥 ? V空 ,而V空 与V锥 的体积之间有比例关系,可以直接求出.
18.解法一:设

S BB?C?C ? S , AA?到平面BB ?C ?C 的距离为 h,则V P ? BB ?C ?C ?

1 Sh 3

把三棱柱

ABC ? A?B ?C ?接补成以DD?C ?C和BB ?C ?C 为相邻侧面的平行六面体,此平行六面体体积
1 Sh 2 3 ? ? 1 3 Sh 2

为原三棱柱体积的两倍.

?V ABC ? A?B ?C ? ?

V 1 Sh ? P ? BB ?CC ? 2 V ABC ? A?B ?C ?

解法二: VP ? BB?C?C ? V ABC ? A?B?C? ? VP ? ABC ? VP ? A?B?C?

设S ?ABC ? m,棱柱的高为 ,则三棱柱的体积? m ? n n

1 2 V P ? BB?C ?C ? V ABC? A?B?C ? ? V P ? ABC ? V P ? A?B?C ? ? m n ? m ? n( P到两底距离之和为 ) ? m n n 3 3 2 ?V P ? AB?C ?C :V ABC? A?B?C ? ? 3
小结:把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法,平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底,有利于体积 变换.

20.解: (1)设内接圆柱底面半径为 r.
S 圆柱侧 ? 2?r ? x ①
②代入①

?

r H ?x ? R H

?r ?

R ( H ? x) ② H

S圆柱侧 ? 2?x ?

R 2?R ( H ? x) ? ? x 2 ? Hx (0 ? x ? H ) H H

?

?

(2) S 圆柱侧

2?R ? ? x 2 ? Hx H

?

?x ?

H 时 2

S圆柱侧最大

2 2?R ? ? H? H2? ? ?? ? x ? ? ? ? H ? ? 2? 4 ? ? ? ?RH ? 2

?


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