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北京市西城区2014年高三二模数学(理)试卷


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2014 高考高频考点尽在易题库

北京市西城区 2014 年高三二模试卷



学(理科)
共 40 分)

2014.5

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 4

0 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.

1. 已知集合 A ? {x | x ? 2 ? 0} ,B ? {x | x ? a} , 若A (A) (??, ?2] (B) [?2, ??)

B ? A, 则实数 a 的取值范围是 (
(D) [2, ??)



(C) (??, 2] )

2.在复平面内,复数 z =(1 ? 2i)2 对应的点位于( (A)第一象限 (C)第三象限 3.直线 y ? 2 x 为双曲线 C: ( )

(B)第二象限 (D)第四象限

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线,则双曲线 C 的离心率是 a 2 b2

(A) 5

(B)

5 2

(C) 3

(D)

3 2


4.某四棱锥的三视图如图所示,记 A 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( (A) 2 ? A ,且 4 ? A (B) 2 ? A ,且 4 ? A (C) 2 ? A ,且 2 5 ? A (D) 2 ? A ,且 17 ? A 1 1 正(主)视图 4 4

1 1 侧(左)视图

俯视图

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5.设平面向量 a , b , c 均为非零向量,则“ a ? (b ? c) ? 0 ”是“ b ? c ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



6.如图,阴影区域是由函数 y ? cos x 的一段图象与 x 轴围成的封闭图形,那么这个阴影区域的面积是( ) O

y
π 2 3π x 2

(A) 1

(B ) 2

(C)

π 2

(D) π

? x≥0, ? 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ? y≥0, 所表示的平面区域是 ? ,不等式组 ? x ? y ? 8≤0 ?

?0≤x≤4, 所表示的平面区域是 ? . 从区域 ? 中随机取一点 P( x, y) ,则 P 为区域 ? 内的点的 ? ?0≤y≤10
概率是( (A) ) (B)

1 4

3 5

(C)

3 4

(D)

1 5

8. 设 ? 为平面直角坐标系 xOy 中的点集,从 ? 中的任意一点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分 别为 M , N ,记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x (?) ,点 N 的纵坐标的最大值与 最小值之差为 y (?) . 若 ? 是边长为 1 的正方形,给出下列三个结论: 1 ○ 2 ○ 3 ○

x (?) 的最大值为 2 ;
x(?) ? y(?) 的取值范围是 [2, 2 2] ;

x(?) ? y (?) 恒等于 0.


其中所有正确结论的序号是(

www.yitiku.cn (A)○ 1 (B)○ 2 ○ 3

2014 高考高频考点尽在易题库 (C)○ 1 ○ 2 共 110 分) (D)○ 1 ○ 2 ○ 3

第Ⅱ卷(非选择题
1 x

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
6 9. ( x ? ) 的二项展开式中,常数项为______.

10. 在△ ABC 中,若 a ? 4 , b ? 3 , cos A ?

1 ,则 sin A ? _____; B ? _____. 3

E D ? E 11. 如图, AB 和 CD 是圆 O 的两条弦,AB 与 CD 相交于点 E, 且C
则 AE ? ______;

?4, AE : BE ? 4 :1,
开始

AC ? ______. BD

a =3,i=1 A i>10
否 是

.O C E B D

a?

1? a 1? a

输出 a 结束

i=i+1

12.执行如图所示的程序框图,输出的 a 值为______.

y ? 4 x 的焦点为 F , M 为抛物线 C 上一点, 13. 设抛物线 C:
2

N (2, 2) ,则 | MF | ? | MN | 的取值范围是

.

14. 已知 f 是有序数对集合 M = {( x, y) | x 挝 N ,y

*

正整数数对 ( x, y ) 在 N*}上的一个映射,

映射 f 下的象为实数 z,记作 f ( x, y) = z . 对于任意的正整数 m, n (m > n) ,映射 f 由下表 给出:

( x, y ) f ( x, y)

( n, n )

(m, n)

(n, m)
m+ n

n

m- n

则 f (3,5) = __________,使不等式 f (2 , x) ≤ 4 成立的 x 的集合是_____________.

x

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(cos? , 2 sin ? ) , B(sin ? , 0) ,其中 ? ? R .

2π 时,求向量 AB 的坐标; 3 π (Ⅱ )当 ? ? [0, ] 时,求 | AB | 的最大值. 2
(Ⅰ )当 ? ?

16. (本小题满分 13 分) 为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的 A,B 两班中各抽 5 名学 生进行视力检测.检测的数据如下: A 班 5 名学生的视力检测结果:4.3,5.1,4.6,4.1,4.9. B 班 5 名学生的视力检测结果:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5. (Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好? (Ⅱ)由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大?(结论不要求证明) (Ⅲ) 现从 A 班的上述 5 名学生中随机选取 3 名学生,用 X 表示其中视力大于 4.6 的 人数,求 X 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , H 为 PC 的中点, M 为 AH 的中点, PA ? AC ? 2 , BC ? 1 . (Ⅰ)求证: AH ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求 PM 与平面 AHB 成角的正弦值; P

PN (Ⅲ) 设点 N 在线段 PB 上, 且 ? ? ,MN // PB

H M A B C

www.yitiku.cn 平面 ABC ,求实数 ? 的值.

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18. (本小题满分 13 分)

e x ?1 已知函数 f ( x) ? 2 ,其中 a ? R . ax ? 4 x ? 4
(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,试确定函数 f ( x) 的单调区间.

19. (本小题满分 14 分) 设 A, B 是椭圆 W :

x2 y 2 ? ? 1 上不关于坐标轴对称的两个点, 直线 AB 交 x 轴于点 M 4 3

(与点 A, B 不重合) ,O 为坐标原点. (Ⅰ)如果点 M 是椭圆 W 的右焦点,线段 MB 的中点在 y 轴上,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)设 N 为 x 轴上一点,且 OM ? ON ? 4 ,直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为 C, 证明:点 B 与点 C 关于 x 轴对称.

20. (本小题满分 13 分) 在无穷数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N ,都有 an ? N* ,an ? an?1 . 设 m ? N ,
* *

记使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm . (Ⅰ)设数列 {an } 为 1,3,5,7, ,写出 b1 , b2 , b3 的值;

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(Ⅱ)若 {bn } 为等差数列,求出所有可能的数列 {an } ; (Ⅲ)设 a p ? q , a1 ? a2 ?

? ap ? A ,求 b1 ? b2 ?

? bq 的值.(用 p, q, A 表示)

北京市西城区 2014 年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D 5.B 2.B 6.B 3.A 7.C 4.D 8.D

2014.5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 20 11. 8 13. [3, +?) 10.

2 2 3
1 3

π 4

2

12. ? 14. 8

{1 , 2 }

注:第 10,11,14 题第一问 2 分,第二问 3 分.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:由题意,得 AB ? (sin ? ? cos? , ? 2 sin ? ) , 当 ? ? 分 ?????? 2 分

2π 2π 2π 1 ? 3 时, sin ? ? cos ? ? sin , ? cos ? 3 3 3 2

?????? 4

? 2 sin ? ? ? 2 sin
1? 3 6 ,? ). 2 2

2π 6 , ?? 3 2
?????? 6

所以 AB ? ( 分

(Ⅱ )解:因为 AB ? (sin ? ? cos? , ? 2 sin ? ) , 所以 | AB |2 ? (sin ? ? cos? )2 ? (? 2 sin ? )2 分 ?????? 7

? 1 ? sin 2? ? 2sin 2 ?


?????? 8

? 1 ? sin 2? ? 1 ? cos 2?


?????? 9

π ? 2 ? 2 sin(2? ? ) . 4


?????? 10

π , 2 π π 5π ≤ 2? ? ≤ 所以 . 4 4 4
因为 0 ≤ ? ≤ 分 所以当 2? ? 分 即当 ? ? 分 16. (本小题满分 13 分)

?????? 11

π 5π 2 ? 时, | AB |2 取到最大值 | AB |2 ? 2 ? 2 ? (? ) ? 3 ,?? 12 4 4 2

π 时, | AB | 取到最大值 3 . 2

?????? 13

www.yitiku.cn (Ⅰ)解:A 班 5 名学生的视力平均数为 xA = 分

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4.3+5.1+4.6+4.1 ? 4.9 =4.6 ,???? 2 5

B 班 5 名学生的视力平均数为 xB =


5.1+4.9+4.0+4.0 ? 4.5 =4.5 . ?????? 3 5

从数据结果来看 A 班学生的视力较好. 分 (Ⅱ)解:B 班 5 名学生视力的方差较大. 分 (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知,A 班的 5 名学生中有 2 名学生视力大于 4.6 . 则 X 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 . 分

?????? 4

?????? 7

?????? 8

C3 1 3 所以 P( X ? 0) ? 3 ? ; C5 10


?????? 9

P( X ? 1) ?


2 1 C3 C2 3 ? ; C3 5 5

?????? 10

P( X ? 2) ?


2 C1 3 3C 2 ? . 3 C5 10

?????? 11

所以随机变量 X 的分布列如下:

X

0

1

2

P

1 10

3 5

3 10
?????? 12 分

1 3 3 6 ? 1? ? 2 ? ? . 故 E( X ) ? 0 ? 10 5 10 5
分 17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 PA ? 底面 ABC , BC ? 底面 ABC ,

?????? 13

www.yitiku.cn 所以 PA ? BC , 又因为 AC ? BC , PA 所以 BC ? 平面 PAC , 又因为 AH ? 平面 PAC , 所以 BC ? AH . 分 因为 PA ? AC , H 是 PC 中点, 所以 AH ? PC , 又因为 PC

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AC ? A ,
?????? 2 分

?????? 3

BC ? C ,
?????? 5

所以 AH ? 平面 PBC . 分 (Ⅱ)解:在平面 ABC 中,过点 A 作 AD // BC, 因为 BC ? 平面 PAC , 所以 AD ? 平面 PAC , 由 PA ? 底面 ABC ,得 PA , AC , AD 两两垂直,

所以以 A 为原点, AD , AC , AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴如图建立空间 直角坐标系, 则 A(0, 0, 0) , P(0, 0, 2) , B(1, 2, 0) , C (0, 2,0) , H (0,1,1) , M (0,

1 1 , ). 2 2

?????? 6 分 设平面 AHB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , z 因为 AH ? (0,1,1) , AB ? (1, 2,0) , 由 ? P

? ?n ? AH ? 0, ? ?n ? AB ? 0,

得 ?

? y ? z ? 0, ? x ? 2 y ? 0,
?????? 8 分 D x A M

H

令 z ? 1 ,得 n ? (2, ?1,1) . 设 PM 与平面 AHB 成角为 ? ,

N C B

y

1 3 因为 PM ? (0, ,? ) , 2 2

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1 3 2 ? 0 ? (?1) ? ? 1? (? ) 2 2 , ? 所以 sin ? ? cos ? PM , n ? ? 5 PM ? n ? 6 2 PM ? n
即 sin ? ? 分 (Ⅲ)解:因为 PB ? (1, 2, ?2) , PN ? ? PB , 所以 PN ? (?, 2?, ?2? ) , 又因为 PM ? (0, , ? ) , 所以 MN ? PN ? PM ? (? , 2? ? 分 因为 MN // 平面 ABC ,平面 ABC 的法向量 AP ? (0,0, 2) , 所以 MN ? AP ? 3 ? 4? ? 0 , 解得 ? ? 分

2 15 . 15

?????? 10

1 2

3 2

1 3 , ? 2? ) . 2 2

?????? 12

3 . 4

?????? 14

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:函数 f ( x) ? 分

e x ?1 的定义域为 {x | x ? R ,且 x ? ?1} . 4x ? 4

?????? 1

f ?( x) ?


e x ?1 (4 x ? 4) ? 4e x ?1 4 xe x ?1 ? . (4 x ? 4)2 (4 x ? 4) 2

?????? 3

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 , 当 x 变化时, f ( x ) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

x

(??, ? 1)

(?1, 0)

0

(0, ? ?)

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f ?( x)

?

?

0

?

f ( x)





↗ ?????? 5

分 故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? 1) , (?1,0) ;单调增区间为 (0, ? ? ) . 所以当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 有极小值 f (0) ? 分 (Ⅱ)解:因为 a ? 1 ,
2 2 2 所以 ax ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) ? (a ? 1) x ? 0 ,

e . 4

?????? 6

所以函数 f ( x) 的定义域为 R , 分 求导,得 f ?( x) ? 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 2 ? 当 1 ? a ? 2 时, x2 ? x1 , 当 x 变化时, f ( x ) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

?????? 7

x? 1 ?1 e x ?1 (ax 2 ? 4x ? 4)? e (2 ax ? 4) xe x ax (? ? 4 a2 ) ? ,?? 8 2 2 2 (ax ? 4 x ? 4) (ax ? 4 x ? 4) 2

4 , a

?????? 9 分

x
f ?( x)

4 (??, 2 ? ) a

2?

4 a

4 ( 2 ? ,0) a

0

(0, ? ?)

?

0

?

0

?

f ( x)







www.yitiku.cn 故函数 f ( x ) 的单调减区间为 ( 2 ?

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4 4 ,0) ,单调增区间为 (??, 2 ? ) , (0, ? ? ) . a a
? ? ? ? ? ? 11

分 当 a ? 2 时, x2 ? x1 ? 0 , 因为 f ?( x) ?

2e x ?1 x 2 ≥0 , (当且仅当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ) (2 x 2 ? 4 x ? 4)2
?????? 12

所以函数 f ( x ) 在 R 单调递增. 分 当 a ? 2 时, x2 ? x1 , 当 x 变化时, f ( x ) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

x

(??, 0)

0

4 (0, 2 ? ) a

2?

4 a

4 (2 ? , ? ?) a

f ?( x)

?

0

?

0

?

f ( x)







故函数 f ( x ) 的单调减区间为 ( 0, 2 ? ) ,单调增区间为 (??, 0) , (2 ? 综上, 当 1 ? a ? 2 时,f ( x ) 的单调减区间为 ( 2 ?

4 a

4 , ? ?) . a

4 4 ,0) , 单调增区间为 (??, 2 ? ) , a a

(0, ? ?) ;当 a ? 2 时,函数 f ( x) 在 R 单调递增;当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调减区间
为 ( 0, 2 ? ) ;单调增区间为 (??, 0) , (2 ? 分

4 a

4 , ? ?) . a

?????? 13

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:椭圆 W 的右焦点为 M (1,0) , ?????? 1 分

www.yitiku.cn 因为线段 MB 的中点在 y 轴上, 所以点 B 的横坐标为 ?1 , 因为点 B 在椭圆 W 上,

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将 x ? ?1 代入椭圆 W 的方程,得点 B 的坐标为 ( ?1, ? ) . 分

3 2

?????? 3

所以直线 AB (即 MB )的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 .????? 5 分 (Ⅱ)证明:设点 B 关于 x 轴的对称点为 B1 (在椭圆 W 上) , 要证点 B 与点 C 关于 x 轴对称, 只要证点 B1 与点 C 重合,. 又因为直线 AN 与椭圆 W 的交点为 C(与点 A 不重合) , 所以只要证明点 A , N , B1 三点共线. 分 以下给出证明: 由 题 意 , 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ? k x? m ( k?0 ), A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 . B1 ( x2 ,? y2 ) ?????? 7

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12, 由 ? ? y ? kx ? m,
得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 ,
2 2 2

?????? 9

分 所以 ? ? (8km) ? 4(3 ? 4k )(4m ?12) ? 0 ,
2 2 2

x1 ? x2 ? ?


4m 2 ? 12 8km x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
m , 0) , k

?????? 10

在 y ? kx ? m 中,令 y ? 0 ,得点 M 的坐标为 ( ? 由 OM ? ON ? 4 ,得点 N 的坐标为 ( ?

4k , 0) , m

?????? 11

www.yitiku.cn 分 设直线 NA , NB1 的斜率分别为 k NA , k NB1 ,

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4k 4k x2 y1 ? y1 ? ? x1 y2 ? y2 ? y1 ? y2 m m , 则 k NA ? k NB1 ? ???12 分 ? ? 4k 4k 4k 4k x1 ? x2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) m m m m 4k 4k ? x y1 ?2 y ? 2 因为 x2 y 1? y ? 1 m m 4k 4k ? x2 (kx1 ? m) ? (kx1 ? m) ? ? x1 (kx2 ? m) ? (kx2 ? m) ? m m
4k 2 ? 2k x x ? ( m ? ) ( 1x ? 2 x)? 8 k 1 2 m ? 2k ? ( 4m2 ? 12 4k 2 8km ) ? ( m ? )(? ) ? 8k 2 3 ? 4k m 3 ? 4k 2

?

8m2 k ? 24k ? 8m2 k ? 32k 3 ? 24k ? 32k 3 3 ? 4k 2
?????? 13

? 0,
分 所以 kNA ? kNB1 ? 0 , 所以点 A , N , B1 三点共线, 即点 B 与点 C 关于 x 轴对称. 分

?????? 14

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: b1 ? 1 , b2 ? 1, b3 ? 2 . 分 (Ⅱ)解:由题意,得 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? 结合条件 an ? N* ,得 an≥n . 分 又因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm , 使得 an ≤m ? 1 成立的 n 的最大值为 bm?1 , ?????? 3

? an ?

, ?????? 4

www.yitiku.cn 所以 b1 ? 1 , bm≤bm?1 (m ? N* ) . 分 设 a2 ? k ,则 k≥2 . 假设 k ? 2 ,即 a2 ? k >2 , 则当 n≥2 时, an ? 2 ;当 n≥3 时, an≥k ? 1 . 所以 b2 ? 1, bk ? 2 . 因为 {bn } 为等差数列, 所以公差 d ? b2 ? b1 ? 0 , 所以 bn ? 1,其中 n ? N* . 这与 bk ? 2(k ? 2) 矛盾, 所以 a2 ? 2 . 分 又因为 a1 ? a2 ? a3 ? 所以 b2 ? 2 , 由 {bn } 为等差数列,得 bn ? n ,其中 n ? N .
*

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?????? 6

? an ?



?????? 7

分 因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 an ≤n , 由 an≥n ,得 an ? n . 分 (Ⅲ)解:设 a2 ? k (k ? 1) , 因为 a1 ? a2 ? a3 ? 所以 b1 ? b2 ? ?????? 8

? an ?



? bk ?1 ? 1 ,且 bk ? 2 ,

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所以数列 {bn } 中等于 1 的项有 k ? 1 个,即 a2 ? a1 个; 分 设 a3 ? l (l ? k ) , 则 bk ? bk ?1 ?

? bl ?1 ? 2 , 且 bl ? 3 ,
?????? 10

所以数列 {bn } 中等于 2 的项有 l ? k 个,即 a3 ? a2 个; 分 ?? 以此类推,数列 {bn } 中等于 p ? 1 的项有 a p ? a p ?1 个. 分 所以 b1 ? b2 ?

?????? 11

? bq ? (a2 ? a1 ) ? 2(a3 ? a2 ) ? ? ?a1 ? a2 ?

? ( p ?1)(ap ? ap?1 ) ? p

? ap?1 ? ( p ?1)a p ? p ? ap?1 ? ap )

? pap ? p ? (a1 ? a2 ?
? p(q ? 1) ? A .
即 b1 ? b2 ? 分

? bq ? p(q ?1) ? A .

?????? 13


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