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信息竞赛复习资料5--动态规划(NOIP)

时间:2011-01-15


第一章 什么叫动态规划
1.1 多阶段决策过程的最优化问题 1、问题的提出 首先,例举一个典型的且很直观的多阶段决策问题: [例] 下图表示城市之间的交通路网,线段上的数字表示费用,单向通行由 A->E。求 A->E 的最 省费用。

如图从 A 到 E 共分为 4 个阶段,即第一阶段从 A 到 B,第二阶段从 B 到 C,第三阶段从 C

到 D, 第四阶段从 D 到 E。除起点 A 和终点 E 外,其它各点既是上一阶段的终点又是下一阶段的起点。 例如从 A 到 B 的第一阶段中,A 为起点,终点有 B1,B2,B3 三个,因而这时走的路线有三个选 择,一是走到 B1,一是走到 B2,一是走到 B3。若选择 B2 的决策,B2 就是第一阶段在我们决策 之下的结果,它既是第一阶段路线的终点,又是第二阶段路线的始点。在第二阶段,再从 B2 点 出发,对于 B2 点就有一个可供选择的终点集合(C1,C2,C3);若选择由 B2 走至 C2 为第二阶段 的决策,则 C2 就是第二阶段的终点,同时又是第三阶段的始点。同理递推下去,可看到各个阶 段的决策不同,线路就不同。很明显,当某阶段的起点给定时,它直接影响着后面各阶段的行进 路线和整个路线的长短, 而后面各阶段的路线的发展不受这点以前各阶段的影响。 故此问题的要 求是:在各个阶段选取一个恰当的决策,使由这些决策组成的一个决策序列所决定的一条路线, 其总路程最短。具体情况如下: (1)由目标状态 E 向前推,可以分成四个阶段,即四个子问题。如上图所示。 (2)策略:每个阶段到 E 的最省费用为本阶段的决策路径。 (3)D1,D2 是第一次输人的结点。他们到 E 都只有一种费用,在 D1 框上面标 5,D2 框上面标 2。 目前无法定下,那一个点将在全程最优策略的路径上。第二阶段计算中,5,2 都应分别参加计 算。 (4)C1,C2,C3 是第二次输入结点,他们到 D1,D2 各有两种费用。此时应计算 C1,C2,C3 分

别到 E 的最少费用。 C1 的决策路径是 min{(C1D1),(C1D2)}。计算结果是 C1+D1+E,在 C1 框上面标为 8。 同理 C2 的决策路径计算结果是 C2+D2+E,在 C2 框上面标为 7。 同理 C3 的决策路径计算结果是 C3+D2+E,在 C3 框上面标为 12。 此时也无法定下第一,二阶段的城市那二个将在整体的最优决策路径上。 (5)第三次输入结点为 B1,B2,B3,而决策输出结点可能为 C1,C2,C3。仿前计算可得 Bl, B2,B3 的决策路径为如下情况。 Bl:B1C1 费用 12+8=20, 路径:B1+C1+D1+E B2:B2C1 费用 6+8=14, 路径:B2+C1+D1+E B3:B2C2 费用 12+7=19, 路径:B3+C2+D2+E 此时也无法定下第一,二,三阶段的城市那三个将在整体的最优决策路径上。 (6)第四次输入结点为 A,决策输出结点可能为 B1,B2,B3。同理可得决策路径为 A:AB2,费用 5+14=19,路径 A+B2+C1+D1+E。 此时才正式确定每个子问题的结点中,那一个结点将在最优费用的路径上。19 将结果显然这种 计算方法,符合最优原理。子问题的决策中,只对同一城市(结点)比较优劣。而同一阶段的城 市(结点)的优劣要由下一个阶段去决定。 1.2 动态规划的概念 在上例的多阶段决策问题中,各个阶段采取的决策,一般来说是与时间有关的,决策依赖于当前 状态,又随即引起状态的转移,一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的,故有“动态”的 含义,称这种解决多阶段决策最优化问题的方法为动态规划方法。 与穷举法相比,动态规划的方法有两个明显的优点: (1)大大减少了计算量 (2)丰富了计算结果 从上例的求解结果中, 我们不仅得到由 A 点出发到终点 E 的最短路线及最短距离, 而且还得到了 从所有各中间点到终点的最短路线及最短距离,这对许多实际问题来讲是很有用的。 动态规划的最优化概念是在一定条件下, 我到一种途径, 在对各阶段的效益经过按问题具体性质 所确定的运算以后,使得全过程的总效益达到最优。 应用动态规划要注意阶段的划分是关键, 必须依据题意分析, 寻求合理的划分阶段(子问题)方法。 而每个子问题是一个比原问题简单得多的优化问题。 而且每个子问题的求解中, 均利用它的一个 后部子问题的最优化结果,直到最后一个子问题所得最优解,它就是原问题的最优解。 1.3 动态规划适合解决什么样的问题 准确地说,动态规划不是万能的,它只适于解决一定条件的最优策略问题。 或许,大家听到这个结论会很失望:其实,这个结论并没有削减动态规划的光辉,因为属于 上面范围内的问题极多,还有许多看似不是这个范围中的问题都可以转化成这类问题。 上面所说的“满足一定条件”主要指下面两点: (1)状态必须满足最优化原理; (2)状态必须满足无后效性。 动态规划的最优化原理是 动态规划的最优化原理是无论过去的状态和决策如何,对前面的决策所形成的当前状态而言, 余下的诸决策必须构成最优策略。 可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局 最优在上例中例题 1 最短路径问题中, 到 E 的最优路径上的任一点到终点 E 的路径也必然是该 A 点到终点 E 的一条最优路径,满足最优化原理。 动态规划的无后效性原则某阶段的状态一旦确定,则此后过程的演变不再受此前各状态及决策 动态规划的无后效性原则 的影响。也就是说,“未来与过去无关”,当前的状态是此前历史的一个完整总结,此前的历史 只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。具体地说,如果一个问题被划分各个阶段之后,阶

段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态转移方程得来, 与其他状态没有关系, 特别是 与未发生的状态没有关系,这就是无后效性。

第二章 用动态规划法解题
2.1 为什么要用动态规划法解题 首先,看下面一个问题: 【例题 1】数字三角形问题。 7 3 8 8 1 0 2 7 7 4 5 5 2 6 5 示出了一个数字三角形宝塔。 数字三角形中的数字为不超过 100 的正整数。 现规定从最顶层走到 最底层,每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走。假设三角形行数≤100,编程求解从最顶层走 到最底层的一条路径,使得沿着该路径所经过的数字的总和最大,输出最大值。输人数据:由文 件输入数据,文件第一行是三角形的行数 N。以后的 N 行分别是从最顶层到最底层的每一层中的 数字。 如输入: 5 7 3 8 ??? 8 1 0 ??? 2 7 7 4 ??? 4 5 2 6 5 ??? 输出:30 【分析】对于这一问题,很容易想到用枚举的方法(深度搜索法)去解决,即列举出所有路径并 记录每一条路径所经过的数字总和。然后寻找最大的数字总和,这一想法很直观,很容易编程实 现其程序如下: program sjx; const maxn=10; var a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; max:longint; n,i,j:integer; fname:string; inputf:text; procedure try(x,y,dep:integer;sum:longint); begin if (dep=n) then begin if sum>max then exit end; try(x+1,y,dep+1,sum+a[x+1,y]); max:=sum;

try(x+1,y+1,dep+1,sum+a[x+1,y+1]); end; begin readln(fname); assign(inputf,fname); reset(inputf); readln(inputf,n); for i:=1 to n do for j:= 1 to i do read(inputf,a[i,j]); max:=0; try(1,1,1,a[1,1]); writeln(max); end. 但是当行数很大时,当三角形的行数等于 100 时,其枚举量之大是可想而知的,用枚举法肯定超 时,甚至根本不能得到计算结果,必须用动态规划法来解。 2.2 怎样用动态规划法解题 1.逆推法: 按三角形的行划分阶段,若行数为 n,则可把问题看做一个 n-1 个阶段的决策问题。先求出第 n-1 阶段(第 n-1 行上各点)到第 n 行的的最大和,再依次求出第 n-2 阶段、第 n-3 阶段……第 1 阶段(起始点)各决策点至第 n 行的最佳路径。 设:f[i,j]为从第 i 阶段中的点 j 至第 n 行的最大的数字和; 则: f[n,j]=a[n,j] f[1,1]即为所求。 程序如下: program datasjx; const maxn=100; var fname:string; inputf:text; n,i,j:integer; a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; f:array[1..maxn,1..maxn] of integer; begin readln(fname); assign(inputf,fname); reset(inputf); readln(inputf,n); for i:=1 to n do for j:=1 to i do read(inputf,a[i,j]); for i:=1 to n do f[n,i]:=a[n,i]; 1<=j<=n 1<=j<=i. f[i,j]=max{a[i,j]+f[i+1,j],a[i,j]+f[i+1,j+1]}

for i:=n-1 downto 1 do for j:=1 to i do if f[i+1,j]>f[i+1,j+1] then f[i,j]:=a[i,j]+f[i+1,j] else f[i,j]:=a[i,j]+f[i+1,j+1]; writeln(f[1,1]); end. 2. 顺推法 按三角形的行划分阶段,若行数为 n,则可把问题看做一个 n-1 个阶段的决策问题。先求第 2 行各元素到起点的最大和 ,再依次求出第 3,4,5,......,.n-1,n 到起点的最大和,最后找第 n 行的最大值 设 f[i,j]为 第 i 行第 j 列上点到起点的最大和 则 f[1,1]=a[1,1]; f[i,1]=a[i, 1]+f[i-1,1]; f[ i,j ]=max{ a[i,j]+f[i-1,j-1],a[i,j]+f[i-1,j]} max(f[n,1],f[n,2],.......,f[n,n]}即为所求。 程序如下: program datasjx; const maxn=100; var fname:string; inputf:text; n,i,j:integer; a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; f:array[1..maxn,1..maxn] of integer; maxsum:integer; begin readln(fname); assign(inputf,fname); reset(inputf); readln(inputf,n); for i:=1 to n do for j:=1 to i do read(inputf,a[i,j]); fillchar(f,sizeof(f),0); f[1,1]:=a[1,1]; for i:=2 to n do begin f[i,1]:=a[i,1]+f[i-1,1]; for j:=2 to i do if f[i-1,j-1]>f[i-1,j] then f[i,j]:=a[i,j]+f[i-1,j-1] else f[i,j]:=a[i,j]+f[i-1,j]; end; maxsum:=0; for i:=1 to n do 2<=j<=i

if f[n,i]>maxsum then maxsum:=f[n,i]; writeln(maxsum); end. 说明一下: 1.用动态规划解题主要思想是用空间换时间. 空间换时间. 空间换时间 2.本题如果 n 较大,用 2 维数组空间可能不够,可以使用 1 维数组. 程序如下: program datasjx; const maxn=100; var fname:string; inputf:text; n,i,j:integer; a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; f:array[1..maxn] of integer; maxsum:integer; begin readln(fname); assign(inputf,fname); reset(inputf); readln(inputf,n); for i:=1 to n do for j:=1 to i do read(inputf,a[i,j]); fillchar(f,sizeof(f),0); f[1]:=a[1,1]; for i:=2 to n do begin for j:=i downto 2 do if f[j-1]>f[j] then f[j]:=a[i,j]+f[j-1] else f[j]:=a[i,j]+f[j]; f[1]:=a[i,1]+f[1]; end; maxsum:=0; for i:=1 to n do if f[i]>maxsum then maxsum:=f[i]; writeln(maxsum); end. 练习:用一维数组和逆推法解本题. . 2.3 用动态规划法解题的一般模式 动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题, 一般由初始状态开始, 通过对中间阶段决策的选 择, 达到结束状态。 这些决策形成了一个决策序列, 同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通 常是求最优的活动路线)。如图所示。动态规划的设计都有着一定的模式,一般要经历以下几个 步骤。

???????????????????????? 初始状态→│决策1│→│决策2│→…→│决策n│→结束状态 ???????????????????????? (1)划分阶段:按照问题的时间或空间特征,把问题分为若干个阶段。在划分阶段时,注意划分 后的阶段一定要是有序的或者是可排序的,否则问题就无法求解。 (2)确定状态和状态变量:将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出 来。当然,状态的选择要满足无后效性。 (3)确定决策并写出状态转移方程:因为决策和状态转移有着天然的联系,状态转移就是根据上 一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果确定了决策,状态转移方程也就可写出。但 事实上常常是反过来做,根据相邻两段各状态之间的关系来确定决策。 (4)寻找边界条件:给出的状态转移方程是一个递推式,需要一个递推的终止条件或边界条件。 (5)程序设计实现:动态规划的主要难点在于理论上的设计,一旦设计完成,实现部分就会非常 简单。 根据上述动态规划设计的步骤,可得到大体解题框架如下: 1.初始化(边界条件) 2.for i:=2 to n (顺推法) 3.确定和输出结束状态的值. 或 for i:=n-1 to 1(逆推法) 对 i 阶段的每一个决策点求局部最优

第三章 典型例题与习题
3.1 最长不降子序列 (1)问题描述 设有由 n 个不相同的整数组成的数列,记为: a(1)、a(2)、……、a(n)且 a(i)<>a(j) (i<>j) 例如 3,18,7,14,10,12,23,41,16,24。 若存在 i1<i2<i3< … < ie 且有 a(i1)<a(i2)< … <a(ie)则称为长度为 e 的不下降序列。如上 例中 3,18,23,24 就是一个长度为 4 的不下降序列,同时也有 3,7,10,12,16,24 长度为 6 的不下降序列。程序要求,当原数列给出之后,求出最长的不下降序列。 (2)算法分析 根据动态规划的原理,由后往前进行搜索。 1· 对 a(n)来说,由于它是最后一个数,所以当从 a(n)开始查找时,只存在长度为 1 的不下降 序列; 2· 若从 a(n-1)开始查找,则存在下面的两种可能性: ①若 a(n-1)<a(n)则存在长度为 2 的不下降序列 a(n-1),a(n)。 ②若 a(n-1)>a(n)则存在长度为 1 的不下降序列 a(n-1)或 a(n)。 3· 一般若从 a(i)开始,此时最长不下降序列应该按下列方法求出: 在 a(i+1),a(i+2),…,a(n)中,找出一个比 a(i)大的且最长的不下降序列,作为它的后继。 4.用数组 b(i),c(i)分别记录点 i 到 n 的最长的不降子序列的长度和点 i 后继接点的编号 (3) 程序如下:(逆推法) program li1; const maxn=100; var a,b,c:array[1..maxn] of integer; fname:string;

f:text; n,i,j,max,p:integer; begin readln(fname); assign(f,fname); reset(f); readln(f,n);+ for i:=1 to n do begin read(f,a[i]); b[n]:=1; c[n]:=0; end; for i:= n-1 downto 1 do begin max:=0;p:=0; for j:=i+1 to n do if (a[i]<a[j]) and (b[j]>max) then end; max:=0;p:=0; for i:=1 to n do if b[i]>max then begin max:=b[i];p:=i end; writeln('maxlong=',max); write('result is:'); while p<>0 do begin write(a[p]:5);p:=c[p] end; end. 3.2 背包问题 背包问题有三种 1.部分背包问题 一个旅行者有一个最多能用 m 公斤的背包, 现在有 n 种物品, 它们的总重量分别是 W1, ...,Wn, W2, 它们的总价值分别为 C1,C2,...,Cn.求旅行者能获得最大总价值。 解决问题的方法是贪心算法:将 C1/W1,C2/W2,...Cn/Wn,从大到小排序,不停地选择价值与重量 比最大的放人背包直到放满为止. 2.0/1 背包 2. 一个旅行者有一个最多能用 m 公斤的背包, 现在有 n 件物品, 它们的重量分别是 W1, ...,Wn, W2, 它们的价值分别为 C1,C2,...,Cn.若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。 <1>分析说明: 显然这个题可用深度优先方法对每件物品进行枚举(选或不选用 0,1 控制). 程序简单,但是当 n 的值很大的时候不能满足时间要求,时间复杂度为 O(2 )。按递归的思想我 们可以把问题分解为子问题,使用递归函数 设 f(i,x)表示前 i 件物品,总重量不超过 x 的最优价值 则 f(i,x)=max(f(i-1,x-W[i])+C[i],f(i-1,x))
n

begin max:=b[j];p:=j end;

if p<>0 then begin b[i]:=b[p]+1;c[i]:=p end

f(n,m)即为最优解,边界条件为 f(0,x)=0 ,f(i,0)=0; 动态规划方法(顺推法)程序如下: 程序如下: program knapsack02; const maxm=200;maxn=30; type ar=array[1..maxn] of integer; var m,n,j,i:integer; c,w:ar; f:array[0..maxn,0..maxm] of integer; function max(x,y:integer):integer; begin if x>y then max:=x else max:=y; end; begin readln(m,n); for i:= 1 to n do readln(w[i],c[i]); for i:=1 to m do f(0,i):=0; for i:=1 to n do f(i,0):=0; for i:=1 to n do for j:=1 to m do begin if j>=w[i] end; writeln(f[n,m]); end. 使用二维数组存储各子问题时方便, 但当 maxm 较大时如 maxn=2000 时不能定义二维数组 f,怎么 办,其实可以用一维数组,但是上述中 j:=1 to m 要改为 j:=m downto 1,为什么?请大家自己解决。 3.完全背包问题 一个旅行者有一个最多能用 m 公斤的背包, 现在有 n 种物品, 每件的重量分别是 W1, ...,Wn, W2, 每件的价值分别为 C1,C2,...,Cn.若的每种物品的件数足够多. 求旅行者能获得的最大总价值。 本问题的数学模型如下: 设 f(x)表示重量不超过 x 公斤的最大价值, 则 f(x)=max{f(x-w[i])+c[i]} 程序如下:(顺推法) program knapsack04; const maxm=2000;maxn=30; type ar=array[0..maxn] of integer; var m,n,j,i,t:integer; c,w:ar; f:array[0..maxm] of integer; begin 当 x>=w[i] 1<=i<=n then f[i,j]:=max(f[i-1,j-w[i]]+c[i],f[i-1,j]) else f[i,j]:=f[i-1,j];

readln(m,n); for i:= 1 to n do readln(w[i],c[i]); f(0):=0; for i:=1 to m do for j:=1 to n do begin if i>=w[j] end; writeln(f[m]); end. 3.3 最短路径 then t:=f[i-w[j]]+c[j]; if t>f[i] then f[i]:=t

问题描述: 如图:求 v1 到 v10 的最短路径长度及最短路径。 图的邻接矩阵如下:

0 2 5 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 -1 12 14 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 6 10 4 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 13 12 11 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 -1 3 9 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 6 5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 10 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0
采用逆推法

设 f(x)表示点 x 到 v10 的最短路径长度 则 f(10)=0 f(x)=min{ f(i)+a[x,i] 当 a[x,i]>0 ,x<i<=n} 程序如下:(逆推法)

program lt3;
const n=10; var a:array[1..n,1..n] of integer; b,c:array[1..n] of integer; fname:string; f:text; i,j,x:integer; begin readln(fname); assign(f,fname); reset(f); for i:=1 to n do for j:=1 to n do read(f,a[i,j]); close(f); for i:=1 to n do b[i]:=maxint; b[n]:=0; for i:= n-1 downto 1 do for j:=n downto i+1 do if (a[i,j]>0) and (b[j]<>maxint) and (b[j]+a[i,j]<b[i]) then begin b[i]:=b[j]+a[i,j];c[i]:=j end; writeln('minlong=',b[1]); x:=1; while x<>0 do begin write(x:5); x:=c[x]; end; end. 3.4 习题 1.若城市路径示意图如下图所示:

图中,每条边上的数字是这段道路的长度。条件:从 A 地出发,只允许向右或向上走。试寻找一 条从 A 地到 B 地的最短路径和长度。 2.求一个数列中的连续若干个数和的最大值. 3.资源分配问题:n 个资源分配到 m 个项目上, 项目分配 j 个资源可获益 a[i,j],求最大总效益。 i 4. 装箱问题 问题描述:有一个箱子容量为 V(正整数,0<=V<=20000),同时有 n 个物品(0<n<=30, 每个物品有一个体积(正整数)。要求 n 个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为 最小。 样例 输入: 24 6 8 3 12 7 9 7 输出: 0 一个整数,表示箱子剩余空间。 一个整数,表示箱子容量 一个整数,表示有 n 个物品 接下来 n 行,分别表示这 n 个物品的各自体积

第四章 动态规划的递归函数法
4.1 原始递归法 先看完全背包问题 一个旅行者有一个最多能用 m 公斤的背包, 现在有 n 种物品, 每件的重量分别是 W1, ...,Wn, W2, 每件的价值分别为 C1,C2,...,Cn.若的每种物品的件数足够多. 求旅行者能获得的最大总价值。 本问题的数学模型如下: 设 f(x)表示重量不超过 x 公斤的最大价值, 则 f(x)=max{f(x-i)+c[i]} program knapsack04; const maxm=200;maxn=30; type ar=array[0..maxn] of integer; var m,n,j,i,t:integer; 当 x>=w[i] 1<=i<=n 可使用递归法解决问题程序如下:

c,w:ar; function f(x:integer):integer; var i,t,m:integer; begin if x=0 then begin t:=-1; for i:=1 to n do begin if x>=w[i] then m:=f(x-i)+c[i]; if m>t then t:=m; end; f:=t; end; end; begin readln(m,n); for i:= 1 to n do readln(w[i],c[i]); writeln(f(m)); end. 说明:当 m 不大时,编程很简单,但当 m 较大时,容易超时. 4.2 改进的递归法 改进的的递归法的思想还是以空间换时间,这只要将递归函数计算过程中的各个子函数的值保存 起来,开辟一个 一维数组即可 程序如下: program knapsack04; const maxm=2000;maxn=30; type ar=array[0..maxn] of integer; var m,n,j,i,t:integer; c,w:ar; p:array[0..maxm] of integer; function f(x:integer):integer; var i,t,m:integer; begin if p[x]<>-1 then else begin if x=0 then begin t:=-1; for i:=1 to n do begin p[x]:=0 else f:=p[x] f:=0 else

if x>=w[i] then m:=f(i-w[i])+c[i]; if m>t then t:=m; end; p[x]:=t; end; f:=p[x]; end; end; begin readln(m,n); for i:= 1 to n do readln(w[i],c[i]); fillchar(p,sizeof(p),-1); writeln(f(m)); end. 4.3 习题 用改进的递归法解资源分配问题: n 个资源分配到 m 个项目上,i 项目分配 j 个资源可获益 a[i,j],求最大总效益。

第五章 动态规划分类 1
5.1 例 1 乘积最大问题 问题描述: 今年是国际数学联盟确定的"2000--世界数学年",又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰 90 周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛,组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动,你的一 个好朋友 XZ 也有幸得以参加。活动中,主持人给所有参加活动的选手除了这样一道题目: 设有一个长度为 N 的数字串,要求选手使用 K 个乘号将它分成 K+1 个部分,找出一种分法, 使得这 K+1 部分的乘积能够为最大。 同时,为了帮助选手能够正确理解题意,主持人还举了如下的一个例子: 有一个数字川:312,当 N=3,K=1 时会有一下两种分法: 1) 3*12=36 2) 31*2=62 这时,符合题目要求的结果是;31*2=62 现在,请你帮助你的好朋友 XZ 设计一个程序,求得正确的答案。 输入: 程序的输入共有两行: 第一行共有 2 个自然数 N,K(6≤N≤50,1≤K≤20) 第二行是一个长度为 N 的数字串。 输出: 结果显示在屏幕上,相对于输入,应输出所求得的最大乘积(一个自然数)。 样例: 输入

4 2 1231 输出 62 程序如下: program tg20002; const maxn=50;maxk=20 ; type num=record len:byte; s:array[1..maxn] of byte; end; type str=string[maxn]; var n,k,i,j,l:integer; st,temps:str; m,tempm:num; f:array[1..maxn] of num; s1:array[1..maxn] of str; procedure strtonum(str1:str;var num1:num); var i:integer; begin num1.len:=length(str1); for i:=1 to num1.len do num1.s[i]:=ord(str1[num1.len-i+1])-ord('0'); end; procedure mult(x,y:num;var z: num ); var i,j,len:integer; begin fillchar(z,sizeof(z),0); for i:= 1 to x.len do for j:=1 to y.len do begin inc(z.s[i+j-1], x.s[i]*y.s[j]); inc(z.s[i+j],z.s[i+j-1] div 10); z.s[i+j-1]:=z.s[i+j-1] mod 10; end; len:=x.len+y.len+1; while (len>1) and (z.s[len]=0) do len:=len-1; z.len:=len; end; procedure bigger(x,y:num;var z:num); var i:integer; begin if x.len>y.len then begin z.len:=x.len;z.s:=x.s end else if x.len<y.len then begin z.len:=y.len;z.s:=y.s end else

begin z.len:=x.len; i:=z.len; while (i>1) and (x.s[i]=y.s[i]) do i:=i-1; if x.s[i]>=y.s[i] then z.s:=x.s else z.s:=y.s; end; end; begin readln(n,k); readln(st); fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do begin s1[i]:=copy(st,1,i); strtonum(s1[i],f[i]); end; for i:=2 to k+1 do for j:=n downto i do begin fillchar(m,sizeof(m),0); for l:=i-1 to j-1 do begin temps:=copy(s1[j],l+1,j-l); strtonum(temps,tempm); mult(f[l],tempm, tempm); bigger(m,tempm,m); end; f[j]:=m; end; l:=f[n].len; while (l>1) and (f[n].s[l]=0) do l:=l-1; for i:=l downto 1 do write(f[n].s[i]); writeln; end. 5.2 例 2 统计单词个数 [问题描述] 给出一个长度不超过 200 的由小写英文字母组成的字符串(约定:该字串以每行 20 个字母 的方式输入,且保证每行一定为 20 个)。要求将此字串分成 k 份(1<k≤40),且每份中包含的 单词个数加起来总数最大(每份中包含的单词可以部分重叠。当选用一个单词之后,其第一个字 母不能再用。例如字符串 this 中可以包含 this 和 is,选用 this 之后就不能包含 th)。 单词在给出的一个不超过 6 个单词的字典中。 要求输出最大的个数。 [输入格式]

全部输入数据存放在文本文件 input3.dat 中,其格式如下: 第一行为一个正整数(0<n≤5)表示有 n 组测试数据 每组的第一行有二个正整数:(p,k) p 表示字串的行数; k 表示分为 k 个部分。 接下来的 p 行,每行均有 20 个字符。 再接下来有一个正整数 s,表示字典中单词个数。(1≤s≤6) 接下来的 s 行,每行均有一个单词。 [输出格式] 结果输出至屏幕,每行一个整数,分别对应每组测试数据的相应结果。 [样例] 输入:1 1 3 thisisabookyouareaoh 4 is a ok sab 输出: 7 //说明:(不必输出) // this/isabookyoua/reaoh sab program tg20013; const maxl=200; type chararr=string[maxl]; var n,p,k,s,l,i,max: integer; word:array[1..6] of chararr; s1:chararr; str:array[1..10] of string[20]; fi:text; f:array[1..maxl] of integer; len:array[1..maxl] of integer; g:array[1..maxl,1..maxl] of byte; function plus(str:chararr):integer; var l1,r,i,j,x:integer; b:array[1..200] of boolean; begin x:=0; l1:=length(str); fillchar(b,sizeof(b),true); for j:= 1 to s do begin r:=length(word[j]);

for i:= 1 to l1 do if (word[j]=copy(str,i,r)) and b[i] then begin b[i]:=false;x:=x+1 end end; plus:=x; end; procedure calclen; var i,j:integer; begin for i:=1 to l do len[i]:=200; for i:=1 to l do for j:=1 to s do if copy(s1,i,length(word[j]))=word[j] then if len[i]>length(word[j]) then len[i]:=length(word[j]); end; procedure calc_g; var i,j:integer; begin fillchar(g,sizeof(g),0); for i:=l downto 1 do begin if len[i]=1 then g[i,i]:=1 ; for j:=l-1 downto 1 do if len[j]<=i-j+1 then g[j,i]:=g[j+1,i]+1 else g[j,i]:=g[j+1,i]; end; end; procedure calc; var begin for i:=1 to l do f[i]:=plus(copy(s1,1,i)); for i:=2 to k do begin for j:=l downto 1 do begin maxt:=0; for m:=i-1 to j-1 do begin t:=f[m]+g[m+1,j]; if t>maxt then maxt:=t; end; f[j]:=maxt; end; end; end; i,j,m,maxt,t:integer;stri:string;

begin assign(fi,'input3.dat'); reset(fi); readln(fi,n); repeat dec(n); readln(fi,p,k); s1:=''; for i:=1 to p do begin readln(fi,str[i]); s1:=s1+str[i]; end; l:=length(s1); readln(fi,s); for i:=1 to s do readln(fi,word[i]); calclen; calc_g; calc; writeln(f[l]); until n=0; end. 5.3 例 3 2002 年第四题: 求:平面上的 n 个点用 k 个矩形覆盖的最小面积? 程序如下: program tg20024; const maxn=50; type pointset=array[1..maxn,1..2] of longint; var n,k,i,j,l:integer; a:pointset; f:array[1..maxn] of longint; maxs,min,t:longint; procedure init; var i:integer; filename:string[20]; f:text; begin readln(filename); assign(f,filename); reset(f); readln(n,k);

for i:= 1 to n do readln(a[i,1],a[i,2]); close(f); end; procedure sort(var x:pointset); var i,j,m:integer; t1,t2,t3:integer; begin for i:=1 to n-1 do begin t1:=x[i,1];t2:=x[i,2];t3:=t2;m:=i; for j:= i+1 to n do if t3>x[j,2] then begin m:=j; t3:=x[j,2];end; if m<>i then begin x[i,1]:=x[m,1];x[i,2]:=x[m,2];x[m,1]:=t1;x[m,2]:=t2 end; end; end; function maxy(x0,xn:integer):integer; var i,max:integer; begin max:=0; for i:=x0 to xn do if max<a[i,1] then max:=a[i,1]; maxy:=max; end; function miny(x0,xn:integer):integer; var i,min:integer; begin min:=32767; for i:=x0 to xn do if min>a[i,1] then min:=a[i,1]; miny:=min; end; begin init; sort(a); fillchar(f,sizeof(f),0); maxs:=(a[n,2]-a[1,2])*(maxy(1,n)-miny(1,n)); for i:= 1 to n do f[i]:=(a[i,2]-a[1,2])*(maxy(1,i)-miny(1,i)); for i:=2 to k do for j:= n downto 1 do begin min:=maxs;

for l:=i-1 to j-1 do begin t:=f[l]+(a[j,2]-a[l+1,2])*(maxy(l+1,j)-miny(l+1,j)); if (t<min) and (a[l,2]<>a[l+1,2]) then min:=t; end; f[j]:=min; end; writeln(f[n]); end. 练习: Barn Repair It was a dark and stormy night that ripped the roof and gates off the stalls that hold Farmer John's cows. Happily, many of the cows were on vacation, so the barn was not completely full. The cows spend the night in stalls that are arranged adjacent to each other in a long line. Some stalls have cows in them; some do not. All stalls are the same width. Farmer John must quickly erect new boards in front of the stalls, since the doors were lost. His new lumber supplier will supply him boards of any length he wishes, but the supplier can only deliver a small number of total boards. Farmer John wishes to minimize the total length of the boards he must purchase. Given M (1 <= M <= 50), the maximum number of boards that can be purchased; S (1 <= S <= 200), the total number of stalls; C (1 <= C <= S) the number of cows in the stalls, and the C occupied stall numbers (1 <= stall_number <= S), calculate the minimum number of stalls that must be blocked in order to block all the stalls that have cows in them. Print your answer as the total number of stalls blocked. PROGRAM NAME: barn1 INPUT FORMAT Line 1: M, S, and C (space separated)

Lines 2-C+1: Each line contains one integer, the number of an occupied stall. SAMPLE INPUT (file barn1.in) 4 50 18 3 4 6 8 14 15 16 17 21 25 26 27 30

31 40 41 42 43 OUTPUT FORMAT A single line with one integer that represents the total number of stalls blocked. SAMPLE OUTPUT (file barn1.out) 25 [One minimum arrangement is one board covering stalls 3-8, one covering 14-21, one covering 25-31, and one covering 40-43.] 程序如下: program barn1; const maxm=50;maxs=200; var m,s,c,i,n:integer; a:array[1..maxs,1..maxs] of byte; b:array[1..maxs] of boolean; f:array[1..maxs] of integer; f1,f2:text; function minl(x,y:integer):integer; var i,j:integer; begin i:=x;j:=y; while not(b[i]) and (i<=y) do inc(i); while not(b[j]) and (j>=x) do dec(j); if i<=j then minl:=j-i+1 else minl:=0; end; procedure calac_a; var i,j:integer; begin for i:=1 to s do for j:=1 to s do a[i,j]:=minl(i,j); end; procedure main; var i,j,k,min:integer; begin fillchar(f,sizeof(f),0); calac_a; for i:=1 to s do f[i]:=a[1,i]; for i:= 2 to m do for j:=s downto i begin do

min:=200; for k:=i-1 to j-1 do if f[k]+a[k+1,j]<min then min:=f[k]+a[k+1,j]; f[j]:=min; end; end; begin assign(f1,'barn1.in'); reset(f1); readln(f1,m,s,c); fillchar(b,sizeof(b),false); for i:=1 to c do begin readln(f1,n); b[n]:=true; end; close(f1); assign(f2,'barn1.out'); main; rewrite(f2); writeln(f2,f[s]); close(f2); end.


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