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1.2.2导数运算法则 课件


1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则

我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式

4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即: ?

? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

例2.求函数y=x3-2x+3的导数.

2题再加两题 : 1 (5). y ? 4 ; (6). y ? x x. x

例4:求下列函数的导数:
1 2 (1) y ? ? 2 ; x x x (2) y ? ; 2 1? x (3) y ? tan x; (4) y ? (2 x 2 ? 3) 1 ? x 2 ;
1 4 答案: (1) y? ? ? 2 ? 3 ; x x

1 ? x2 ( 2) y ? ? ; 2 2 (1 ? x )

1 ?? ( 3) y ; 2 cos x

( 4) y ? ?

6x3 ? x 1? x
2

;

例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) ? s?(t ) ? t 3 ? 12t 2 ? 32t , 令s?(t ) ? 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.

1 4 t 4

例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.

解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y? ? 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y? ? ?2( x ? 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
?2 x1 ? ?2( x2 ? 2) ? x1 ? 0 ? x1 ? 2 ?? 或? . 因为两切线重合, ? ? 2 2 ? ? x1 ? x2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x2 ? 0

若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.

所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.

作业:
作业: P93 2、3、4、5

?


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