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2016高考数学专题复习导练测 第五章 平面向量章末检测 理 新人教A版

时间:2015-12-26


2016 高考数学专题复习导练测 第五章 平面向量章末检测 理 新人 教A版
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如图,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则

(

)

→ → → A.AD+BE+CF=0 → → → B.BD-CF+DF=0 → → → C.AD+CE-CF=0 → → → D.BD-BE-FC=0 2.(2011·金华月考)已知 a=(cos 40°,sin 40°),b=(sin 20°,cos 20°),则 a·b 等于 ( ) 3 1 2 A.1 B. C. D. 2 2 2 → → 3.已知△ABC 中, AB=a, AC=b, 若 a·b<0, 则△ABC 是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.任意三角形 4.(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b= (p , q) , 令 a ⊙ b = mq - np , 下 面 说 法 错 误 的 是 ( ) A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的 λ ∈R,有(λ a)⊙b=λ (a⊙b) 2 2 2 2 D.(a⊙b) +(a·b) =|a| |b| 5.一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1, F2 成 60°角, 且 F1, F2 的大小分别为 2 和 4, 则 F3 的大小为 ( ) A.6 B.2 C.2 5 D.2 7 6.(2010·广东)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30, 则 x 等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 → → 7.(2010·辽宁)平面上 O,A,B 三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB 的面积等于 ( ) 2 2 2 2 2 2 A. |a| |b| -?a·b? B. |a| |b| +?a·b? 1 1 2 2 2 2 2 2 C. |a| |b| -?a·b? D. |a| |b| +?a·b? 2 2 → → 8.O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点,一动点 P 满足:OP=OA+ → → λ (AB+AC), λ ∈(0, +∞), 则直线 AP 一定通过△ABC 的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 3π ? ? 9.已知 a=(sin θ , 1+cos θ ),b=(1, 1-cos θ ),其中 θ ∈?π , ?,则 2 ? ?
1

一定有 ( ) A.a∥b B.a⊥b C.a 与 b 的夹角为 45° D.|a|=|b| 10.(2010·湖南师大附中月考)若|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),则向量 a,b 的 夹角为( ) A.45° B.60° C.120° D.135° 11.(2011·广州模拟)已知向量 a=(sin x,cos x),向量 b=(1, 3),则|a+b|的 最大值( ) A.1 B. 3 C.3 D.9 12. 已知向量 a=(1,2), b=(2, -3). 若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥(a+b), 则 c=( ) 7? ?7 7? ? 7 A.? , ? B.?- ,- ? 9? ?9 3? ? 3 7? ?7 7? ? 7 C.? , ? D.?- ,- ? 3? ?3 9? ? 9 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2010·江西)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则|a- b|=________. 14.(2010·舟山调研)甲船在 A 处观察乙船,乙船在它的北偏东 60°的方向,两船相 距 a 海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的 3倍,则甲船应取方向__________才能 追上乙船;追上时甲船行驶了________海里. → → → → → 15.(2010·天津)如图所示,在△ABC 中,AD⊥AB,BC= 3BD,|AD|=1,则AC·AD= ________.

→ → 16.(2011·济南模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c,若AB·AC= → → BA·BC=1,那么 c=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)(2010·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2, -1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)·OC=0,求 t 的值.

18.(12 分)已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0),B(0,4),C(3cos α ,3sin α ). → → ( -? , 0) (1)若α ∈ ,且|AB|=|BC|,求角 α 的大小; 2 2sin α +sin 2α → → (2)若AC⊥BC,求 的值. 1+tan α

2

19.(12 分)(2010·辽宁)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A =(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.

→ ? ?π ? ? → ? ?π ? ? 20(12 分)已知向量OP=?2cos? +x?,-1?,OQ=?-sin? -x?,cos 2x?,定义函 ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? → → 数 f(x)=OP·OQ. (1)求函数 f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(A)=1,bc=8,求△ABC 的面积 S.

21.(12 分)(2011·衡阳月考)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 处( 3-1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°的方向,距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉 命以 10 3n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

22. (12 分)(2010·天津一中高三第四次月考)设 A, B, C 为△ABC 的三个内角, m=(sin B+sin C,0),n=(0,sin A)且|m|2-|n|2=sin Bsin C. (1)求角 A 的大小; (2)求 sin B+sin C 的取值范围.

2.B [由数量积的坐标表示知 a·b=cos 40°sin 20°+sin 40°cos 20° 3 =sin 60°= .] 2

4.B [∵a⊙b=mq-np,b⊙a=np-mq, ∴a⊙b≠b⊙a.] 2 2 2 5.D [因为 F3=F1+F2-2|F1||F2|cos(180°-60°)=28,所以|F3|=2 7.]
3

6.C [∵(8a-b)=(8,8)-(2,5)=(6,3), ∴(8a-b)·c=6×3+3x=30,∴x=4.] 1 7.C [S△OAB= |a||b|sin〈a,b〉 2 1 2 = |a||b| 1-cos 〈a,b〉 2 1 ?a·b? = |a||b| 1- 2 |a|2|b|2 1 2 2 2 = |a| |b| -?a·b? .] 2
2

3π ? ? 9.B [a·b=sin θ +|sin θ |,∵θ ∈?π , ?, 2 ? ? ∴|sin θ |=-sin θ ,∴a·b=0,∴a⊥b.] 2 10.A [由 a⊥(a-b),得 a -a·b=0, 2 2 即 a =a·b,所以|a| =|a||b|cos θ . 2 因为|a|=1,|b|= 2,所以 cos θ = , 2 又 θ ∈[0°,180°],所以 θ =45°.] 11.C [由 a+b=(sin x+1,cos x+ 3), 得|a+b|= ?sin x+1? +?cos x+ 3? = 2sin x+2 3cos x+5 3 ?1 ? 4? sin x+ cos x?+5 2 ?2 ? ? π? = 4sin?x+ ?+5≤ 4+5=3.] 3? ? 12.D [设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b, ∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又 c⊥(a+b), ∴(x,y)·(3,-1)=3x-y=0.② 7 7 由①②解得 x=- ,y=- .] 9 3 = 13. 3 → → → → → 解析 如图,a=OA,b=OB,a-b=OA-OB=BA,由余弦定理得,|a-b|= 3.
2 2

14.北偏东 30° 解析 如图所示,

3a

4

设到 C 点甲船追上乙船,乙到 C 地用的时间为 t,乙船速度为 v, 则 BC=tv,AC= 3tv,B=120°, 由正弦定理知 = , sin∠CAB sin B 3tv = , sin∠CAB sin 120° 1 ∴sin∠CAB= ,∴∠CAB=30°, 2 ∴∠ACB=30°,∴BC=AB=a, 2 2 2 ∴AC =AB +BC -2AB·BCcos 120° ? 1? 2 2 2 2 =a +a -2a ·?- ?=3a , ? 2? ∴ ∴AC= 3a. 15. 3

BC

AC

tv

. 16. 2 解析 设 AB=c,AC=b,BC=a, → → → → 由AB·AC=BA·BC 得:cbcos A=cacos B. 由正弦定理得:sin Bcos A=cos Bsin A, 即 sin(B-A)=0,因为-π <B-A<π 所以 B=A,从而 b=a. → → 由已知BA·BC]=1 得:accos B=1, a2+c2-b2 由余弦定理得:ac =1, 2ac 即 a +c -b =2,所以 c= 2. → 17.方法一 由题意知AB=(3,5), → AC=(-1,1), → → → → 则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).????????????????????(3 分) 所以 AB ? AC ? 2 10 , AB ? AC =4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 2 10、4 2.????????????????(6 分) 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则 E 为 B、C 的中 点,E(0,1),又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4).
5
2 2 2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2 ,AD=2 10.??????????????????????????(6 分) → (2)由题设知:OC=(-2,-1), → → AB- tOC =(3+ 2t,5+t).???????????????????????? (8 分) → → → 由(AB-tOC)·OC=0,得: (3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11,所以 t=- .??????????????????????(10 5 分)

19.解 (1)由已知,根据正弦定理得 2 2a =(2b+c)b+(2c+b)c, 2 2 2 即 a =b +c +bc.???????????????????????????(4 分) 2 2 2 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 1 故 cos A=- ,∵A∈(0°,180°) 2 ∴ A=120°.?????????????????????????????? (6 分) (2)由(1)得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C. 1 又 sin B+sin C=1,得 sin B=sin C= .??????????????????(9 2 分) 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C=30°. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. ????????????????????(12 分) → → 20.解 (1)f(x) =OP·OQ=(-2sin x,-1)·(-cos x,cos 2x)=sin 2x-cos 2x π? ? = 2sin?2x- ?,????????????????????????????(4 4? ? 分) ∴f(x)的最大值和最小值分别是 2和- 2.????????????????? (6 分) π? 2 ? (2)∵f(A)=1,∴sin?2A- ?= . 4 2 ? ?
6
2 2 2

π π π 3π ∴2A- = 或 2A- = . 4 4 4 4 π π ∴A= 或 A= .????????????????????????????(9 4 2 分) π 又∵△ABC 为锐角三角形,∴A= .∵bc=8, 4 1 1 2 ∴△ABC 的面积 S= bcsin A= ×8× =2 2.??????????????(12 2 2 2 分) 21.解 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,画出示意图(如图所示),

则有 CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC 中, ∵AB= 3-1,AC=2, ∠BAC=120°, ∴由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC 2 2 =( 3-1) +2 -2×( 3-1)×2×cos 120°=6,??????????????(4 分) ∴BC= 6,且 sin∠ABC= sin∠BAC 3 2 × = , 2 2 6 ∴∠ABC=45°,∴BC 与正北方向垂直.?????????????????? (8 = 分) ∵∠CBD=90°+30°=120°, 在△BCD 中,由正弦定理,得 BDsin∠CBD sin∠BCD= 2

AC BC

CD

= 分)

10tsin 120° 1 = , 2 10 3t

∴∠BCD=30°,即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船.???????(12 22.解 (1)∵|m| -|n| =(sin B+sin C) -sin A 2 2 2 =sin B+sin C-sin A+2sin Bsin C????????????????????(3 分) 依题意有, 2 2 2 sin B+sin C-sin A+2sin Bsin C=sin Bsin C, 2 2 2 ∴sin B+sin C-sin A=-sin Bsin C,???????????????????(6 分) 由正弦定理得:b +c -a =-bc, b2+c2-a2 -bc 1 ∴cos A= = =- ,∵A∈(0,π ) 2bc 2bc 2 2π 所以 A= .??????????????????????????????(8 3
7
2 2 2 2 2 2 2

分) 2π π (2)由(1)知,A= ,∴B+C= , 3 3 ?π ? ∴sin B+sin C=sin B+sin? -B? ?3 ? 1 3 ? π? = sin B+ cos B=sin?B+ ?.?????????????????????(10 3? 2 2 ? 分) π π ∵B+C= ,∴0<B< , 3 3 则 π π 2π 3 ? π? <B+ < ,则 <sin?B+ ?≤1, 3? 3 3 3 2 ?

即 sin B+sin C 的取值范围为?

? 3 ? ,1?.?????????????????(12 分) ?2 ?

8


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