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新人教版高中数学必修四第二章


高二数学必修四 第二章 平面向量单元测试题

一、选择题:(5×10=50′) 1.给出下面四个命题:① AB ? BA ?   ;② AB ? BC ? AC ;③ AB 0  -AC ? BC ;④ 0 ? AB ? 0 。其中正确的 个数为 ( )(A)1 个 (B)2 个 ) (D) a 与 b 的夹角为 30° ) (C)3 个 (D)4 个

/>
2、对于向量 a ? (1,?2) , b ? (2,1) ,则 ( (A) a ∥ b (B) a ⊥ b

(C) a 与 b 的夹角为 60°

3、在下面给出的四个函数中,既是区间 (0, (A) y ? cos 2 x (B) y ? sin 2 x

?
2

) 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是 (
(C) y ?| cos x | (D) y ?| sin x | )

4、给出向量 a =(2,1), b =(3,4),则向量 a 在向量 b 方向上的投影为 ( (A) 2 5 (B)2 (C) 5

(D)10、

5、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如右所示,则此函数的解析式为( ) (A) y ? 2 sin( 2 x ? (C) y ? 2 sin(

2? ) 3

(B) y ? 2 sin( 2 x ? (D) y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) )
)

x ? ? ) 2 3

?
3

6.向量 a ? ? ? ,1? , b ? ?1, ?1? ,且 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围为 ( A. ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ? 1 ) D.相等

7、当| a |=| b |,且 a 与 b 不共线时, a + b 与 a - b 的关系为( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直

8、若平面向量 b 与向量 a =(1,-2)的夹角是 180o,且| b |=3 5 ,则 b =( ) A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)

9、已知 e1 、 e 2 是夹角为 60°的两个单位向量,则 a =2 e1 + e2 与 b =-3 e1 +2 e2 的夹角 是( ) A.30° B.60° C.120° D.150°

→ 2→ 1→ 10、如图,点 P 是△ABC 内一点,且AP= AB+ AC,则△ABP 的面积与△ABC 的面 5 5 积之比是( 二.填空题: 11、向量 a ? (2,3) 与 b ? (?4, y) 共线,则 y = 12、已知 tan ? ? ; ; ) A、 1:5 B、2:5 C 、1:2 D 、 2: 1

1 sin ? ? cos ? ,则 = 2 2 sin ? ? 3 cos ?

13、函数 y ? sin 2 x ? 2 sin x 的值域是 y ?



→ → 2 14、已知点 A(-2,0),点 B(3,0),动点 P(x,y)满足PA·PB=x ,则动点 P 的轨迹方程为____ 15、设 a , b , c 为任意非 0 向量,且相互不共线,则下列命题中是真命题的序号为_______ (1) (a ·b ) · c -( c · a )· b =0 (3)( b · c )· a -( c · a )· b 不与 c 垂直 三.解答题: 16、已知向量 a =(6,2), b =(-3,k),问当 k 为何值时,有:(1)、 a ∥ b ? (2)、 a ⊥ b ? (3、 a 与 b 所成角θ 是钝角 ? (2)| a |-| b |<| a - b |; (4 ) (3 a +2 b )(3 a -2 b )=9| a | -4| b |
2 2

17 题、如图,函数 y=2sin(π x+?),(x∈R)(其中 0≤?≤

? )的图象与 y 轴交 2

于点(0,1);①、求?的值;②、设 P 为图象上的最高点,M,N 是图象与 x 轴 → → 的交点,求PM与PN的夹角。

18.已知向量 m ? (1,1),向量 n 与向量 m 的夹角为

3? , 且m ? n ? ?1. 4

(1)求向量 n ;

(2)设向量 a ? (1,0),向量b ? (cosx, , sin x) ,其中 x ? R ,若 n ? a ? 0 ,试求 | n ? b | 的取值范围.

19、 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 为 (? ,2) 和 (4? , ?2) .

?
2

) 的图象在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别
1 3

(1)试求 f ( x ) 的解析式; (2)将 y ? f ( x ) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的

(纵坐标不变),然后再将新的图象向 x 轴正方向平移

? 个单位,得到函数 y ? g( x ) 的图象.写出函数 y ? g( x ) 3

的解析式,(3)、写出函数 y ? g( x ) 的一个单调递增区间,同时写出它的对称轴方程和对称中心坐标。

20、.如图,表示电流强度 I 与时间 t 的关系式

I ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0), 在一个周期内的图象
写出 I

:⑴、试根据图象

? Asin(?t ? ? ) 的解析式;⑵、为了使 I ? Asin(?t ? ? ) 中 t 在

任意一段

1 秒的时内 I 能同时取最大值|A|和最小值-|A|,那么正整数 ? 的最小值为多少? 100

21、如图在长方体 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, N 是 CD 的中点, M 是线段 AB 上的点, a ? 2, b ? 1 , (1)若 M 是 AB 的中点,求证: AN 与 CM 共线;(2)在线段 AB 上是否存在 点 M ,使得 BD 与 CM 垂直?若不存在请说明理由,若存在请求出 M 点的位置; (3)若动点 P 在长方体 ABCD 上运动,试求 AP ? AB 的最大值及取得最大值时 P 点的位置。

参考答案: 题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D 11、 y = -6 ;12、 -3/4 16 题解:(1),k=-1; 17 题解:(1)、?= B A D B A C A 2 ;13、 y ? [-1,3] ;14、y =x+6 15、((2)(4)) (3), k<9, k≠-1;

(2), k=9;

? 15 ;(2)、夹角的余弦值为 17 6

? x ? y ? ?1 ? x ? ?1 ? x ? 0 ? 18.解:(1)令 n ? ( x, y ) 则? ? 或? ? 3 ? 2 ? x 2 ? y 2 cos ? ?1 ? y ? 0 ? y ? ?1 ? 4 ?

? n ? (?1,0) 或 n ? (0,?1) ; ( 2 ) ? a ? (1,0), n ? a ? 0

?n ? (0,?1)

; n ? b ? (cosx, , sin x ? 1)

n ? b = cos 2 x ? (sin 2 x ? 1) 2 = 2 ? 2 sin x = 2(1 ? sin x) ;∵ ―1≤sinx≤1, ∴0≤ n ? b ≤2
19、 ( 1) 由题意可得: ∵ T ? 6? , A ? 2 , ∴ f ( x) ? 2sin( x ? ? ) ; (? , 2) , ? sin( ? 函数图像过

1 3

?
3

? ?) ? 1,

?? ?

?
2

,?? ?

?
6

,? f ( x ) ? 2 s i n ( ?

x ? ? ) ;(2)依题意得 g ( x) ? 2 sin( x ? ) ; 3 6 6

20、(1)、图象的解析式为: I

? 300 sin(100?t ? ) ;(2)、要使 3 ?

?

t 在任意一段

1 秒能取得最大值和最小值, 100

必须使得周期 T ?

1 ; 100



2?

?

1 ? ? ? 200? ? ? ? 628.3 ;由于 ? 为正整数,故 ? 的最小值为 629 100
1 a ; 2

21、解: (1)证明:∵ AN ? AD ? DN ? b ?

1 C M? C B ? BM ? ? b ? 2

a∴ A N ? ? C M

∴ AN 与 CM 共线; (2)解:在线段 AB 上存在点 M ,满足条件。设 BM ? ? a, BD ? AD ? AB ? b ? a ;

CM ? CB ? BM ? ?b ? ? a

∵ BD 与 CM 垂 直

? CM ?0 ∴BD

; 即 b ? a ? ?b ? ? a ? 0

?

??

?



1 3 a ? 2 , b ? 1 ,a ? b ? 0 ∴ ? ? ? ;∴存在满足条件的点 M ,即 AM ? ,使得 BD 与 CM 垂直。 (3)解: 4 2
①当 P 在线段 AB 上时,设 AP ? ka, ? 0 ? k ? 1? ;则: AP ? AB ? ka ? a ? 4k ;∴ AP ? AB 的最大值为 4 在线段 BC 上(不含端点)时,设 B P? k ,b ? 0 ? k? 1 ? ;∵ A P? a? k b ∴ A P? A B? 线段 CD 上时, 设 C P? ? k ,a ? 0 ? k ?1 ? 当 P 在线段 AD 上时, AP ? AB ? 0 ②当 P

?

a ? k b? a 4 ?③当 P 在

?

AP ? AB ? a ? b ? ka ? a ? 4 ?1 ? k ? ; ∴ A P? A B 的最大值为 4 ; ④

?

?

综上得: A P? A B 的最大值是 4 。


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