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斐波那契数列


斐波那契数列
斐波那契数列是美术, 建筑, 自然环境里面,一个很常见的规则之 一。 下面讲一些自然环境里面的斐波那契数列的实例。 斐波那契数与植物花瓣 3………………………百合和蝴蝶花 5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 8………………………翠雀花 13………………………金盏 21………………………紫宛 34、55、89……………雏菊

斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如,在树木 的枝干上选一片叶子,记其为数 0,然后依序点数叶子(假定没有折

损) ,直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波 那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子 在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。 在一个循回中叶子数与叶 子旋转圈数的比称为叶序比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。 斐波那契数列与黄金比 1/1=1 , 2/1=2 , 3/2=1.5 , 5/3=1.6… ,

8/5=1.6 , …………89/55=1.61818… , …………233/144=1.618 055…

斐波那契数列别名

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引 入,故又称为“兔子数列”。 一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能 生出一对小兔子来。如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少 对兔子? 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下: 第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对; 两个月后,生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以 一共是三对; ------

次类推可以列出下表: 经 过 月 数 :

---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11--12 兔 子 对 数 :

---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--14 4 表中数字 1,1,2,3,5,8---构成了一个数列。这个数列有关 十分明显的特点,那是:前面相邻两项之和,构成了后一项。

斐波那契弧线 斐波那契弧线,第一,此趋势线以二个端点为准而画出,例如,最低 点反向到最高点线上的两个点。三条弧线均以第二个点为中心画出, 并在趋势线的斐波纳契水平:38.2%, 50%和 61.8%交叉。 斐波纳契弧线,是潜在的支持点和阻力点水平价格。斐波纳契弧线和 斐波纳契扇形线常常在图表里同时绘画出。 支持点和阻力点就是由这 些线的交汇点得出。 要注意的是弧线的交叉点和价格曲线会根据图表数值范围而改变因 为弧线是圆周的一部分,它的形成总是一样的。 斐波那契扇形线 斐波那契扇形线,例如,以最低点反向到最高点线上的两个端点画出 的趋势线。然后通过第二点画出一条“无形的(看不见的)”垂直线。

然后,从第一个点画出第三条趋势线:38.2%, 50%和 61.8%的无 形垂直线交叉。 这些线代表了支撑点和阻力点的价格水平。 为了能得到一个更为精确 的预报,建议和其他斐波纳契工具一起使用。 斐波那契数列的应用 数学游戏 一位魔术师拿着一块边长为 8 英尺的正方形地毯, 对他的地毯匠朋友 说:“请您把这块地毯分成四小块,再把它们缝成一块长 13 英尺, 宽 5 英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异,因 为两者之间面积相差达一平方英尺呢!可是魔术师竟让匠师用图 2 和图 3 的办法达到了他的目的!

这真是不可思议的事!亲爱的读者,你猜得到那神奇的一平方英尺究 竟跑到哪儿去呢? 实际上后来缝成的地毯有条细缝,面积刚好就是一平方英尺。 斐波那契数列在自然科学的其他分支,也有许多应用。例如,树木的 生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而 后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出 一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息” 过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木 各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列。这个规律,就是生物学上

著名的“鲁德维格定律”。 另外,观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗 菜、 百合花、 蝴蝶花的花瓣, 可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数: 3、5、8、13、21、……

斐波那契螺旋 具有 13 条顺时针旋转和 21 条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部

这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此, 它们只是按照自 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能 使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当, 不至于在圆心处挤了太 多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此,对于 许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中 一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 来,而不是一下子同时出现的) ,每片叶子和前一片叶子之间的角度 应该是 222.5 度, 这个角度称为“黄金角度”, 因为它和整个圆周 360 度之比是黄金分割数 0.618033989……的倒数,而这种生长方式就

决定了斐波那契螺旋的产生。 向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋 有时能达到 89,甚至 144 条。 三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系 现有长为 144cm 的铁丝,要截成 n 小段(n>2) ,每段的长度不小于 1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则 n 的最大值为多 少? 分析:由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边,因此 不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。 截成的铁丝最 小为 1,因此可以放 2 个 1,第三条线段就是 2(为了使得 n 最大, 因此要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线段总是前面的相邻 2 段之和) ,依次为:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各 数之和为 143,与 144 相差 1,因此可以取最后一段为 56,这时 n 达到最大为 10。 我们看到,“每段的长度不小于 1”这个条件起了控制全局的作用,正 是这个最小数 1 产生了斐波那契数列,如果把 1 换成其他数,递推 关系保留了,但这个数列消失了。这里,三角形的三边关系定理和斐 波那契数列发生了一个联系。 在这个问题中,144>143,这个 143 是斐波那契数列的前 n 项和, 我们是把 144 超出 143 的部分加到最后的一个数上去,如果加到其 他数上,就有 3 条线段可以构成三角形了。 影视作品中的斐波那契数列 斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知, 于是在电影这种通俗艺术中也

时常出现,比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的 符号和情节线索出现,在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随 口问的问题。 可见此数列就像黄金分割一样流行。 可是虽说叫得上名, 多数人也就背过前几个数,并没有深入理解研究。 斐波那契螺旋 具有 13 条顺时针旋转和 21 条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此, 它们只是按照自然的 规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所 有种子具有差不多的大小却又疏密得当, 不至于在圆心处挤了太多的 种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此,对于许多 植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直 都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而 不是一下子同时出现的) ,每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是 222.5 度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周 360 度之 比是黄金分割数 0.618033989……的倒数,而这种生长方式就决定 了斐波那契螺旋的产生。 向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 能达到 89,甚至 144 条。 这些实例里面, 可以看到斐波那契数列是在各个方面常用的比例规 则。 如果建筑学里面用这个比例的话, 可以更加强大建筑物的美观和动 态感。 我们将来要好好把握斐波那契数列的基本原理, 建筑设计里面好好

表现出来的话, 我们的设计也能达到更高的水平。


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