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北京市东城区(南片)2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷(Word版)

时间:2017-10-11


北京市东城区(南片)2014-2015 学年下学期高一年级期末考试数学试卷
2015.7 一、 选择题共10 小题, 每小题3 分, 共30 分.在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一 . 1. 已知向量a ??(2, 4) ,b ??(?1,1) ,则2a ??b ?? A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9) 项

4. 执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为3,则输出的n 的值为

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

5. 若a ??b ??0, c ??d ??0 ,则一定有 A.

a d

c c d c d ? ? ? ? 3 3 6. 已知a 、b 均为单位向量,(2a ??b) ??(a ??2b) ???? ,则向量a ,b 的夹角为 2
A.

?? c

b

B.

a d

??

b

C.

a

??

b

D. a ?? b

5? 6

B.

3?? 4

C.

?
4

D.

??
6

7. 在等差数列?an ? 中,an ??0 ,且前10 项和S10 ??30 ,则a5a6 的最大值是

A. 3

B. 6

C. 9

D. 36

8. 下列选项中,使不等式x ?? ??x 成立的x 的取值范围是
2

1

x
A. (1,+∞) B. (0,1) C. (-1,0) D. (-∞,-1) 9. 设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ??FC ?? A.

AD

B.

1 ???? AD 2

C.

? 1 ??? BC 2

D. BC

二、填空题:本大题共6 小题,每小题4 分,共24 分. 11. 不等式? x ??2 x ??3 ??0 的解集是
2

.

12. 在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.若 A ?? , cos B ??

?

2 7

7

,b ??2 ,则

3 a?
13. 设 .

? ? a ??b ?

x, y ??R , 向 量 a ??(x,1) , b ??(1, y) , c ??(2, ?4) 且 a ??b
.

, b

∥ c

,则

14. 已知? an ? 为等差数列,Sn 为其前n 项和。若a3 ???6 ,S1 ??S5 ,则公差d ?



Sn 的最小值为

.

15. 某项研究表明: 在考虑行车安全的情况下, 某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数, 单 位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位: 米) 的值有关, 其公式为F ??

76000v v2 ?18v ??20l

. 如果l ??6.05 , 则最大车流量为

辆/小时.

16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10,第n 个三角形数 为

n(n ?1) 2

?

1

1 n2 ? n . 记第n 个k 边形数为N(n,k)(k ??3) ,以下列出了部分k 边形数中第 2 2 1 1 N (n, 3) ?? n2 ?? n 2 2

n 个数的表达式: 三角形数

四边形数 五边形数 六边形数 ……

N (n, 4) ??n2 3 1 N (n, 5) ?? n2 ?? n 2 2 N (n, 6) ??2n 2 ??n

可以推测N (n, k ) 的表达式,由此计算N (20,15) 的值为

.

三、解答题:本大题共5 个小题,共46 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 17.(本题满分10 分) 如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在直线AC 上,且AD=4DC. (I)求BD 的长; (II)求sin∠CBD的值.

18. (本题满分10 分) 某超市从2014 年甲、 乙两种酸奶的日销售量 (单位: 箱) 的数据中分别随机抽取100 个, 整理 到数据分组及频率分布表和频率分布直方图: 分组(日销售量) [0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] 频率(甲种酸奶) 0.10 0.20 0.30 0.25 0.15 得

(I)写出频率分布直方图中的

a

的值,并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图;

(II)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为S , S ,试比较S 与S 大小;(只需写出结论)

2

2

2

2



(III) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 试估计乙种酸奶在未来一个月 (按 30 天计算)的销售总量.

19. (本题满分9 分) 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品, 其中一等奖奖品3件, 二等奖奖品6件.制作 一 等奖和二等奖奖品所用原料完全相同, 但工艺不同, 故价格有所差异.现有甲、 乙两家工厂可以制 作 奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作 厂原料充足,但收费交贵,其具体收费情况如下表: 4 件奖品, 乙

求组委会定做该工艺品至少需要花费多少元钱. 20. (本题满分8 分)

在平行四边形ABCD 中,?A ?? ,边AB、AD 的长分别为2、1. 若M、N 分别是边BC、CD

?

3 ???? ? ??? ? BM CN 上的点,且满足 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ,求AM ??AN 的取值范围. BC CD
21. (本题满分9 分) 已知数列?an ? 的前n 项和为Sn ,an?1 ??2an (n ??N ) ,且a2 是S2 与1 的等差中项. (I)求?an ? 的通项公式;

?

? ??1 ? * (II)若数列? ??的前n 项和为Tn ,且对任意n ??N ,Tn ???恒成立,求实数?的最小值. a ?? n ??

【参考答案】

一、选择题:本大题共10 小题,每小题3 分,共30 分. 题 号 答 案 A A C B B D C D A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:本大题共6 小题,每小题4 分,共24 分. 题号 答案 11 12 13 14 12 ; -54 三、解答题:本大题共5 个小题,共46 分. 17.(本小题满分10 分) (I)解:因为∠ABC=90° ,AB=4,BC=3, 所以cos C ?? , sin C ? 15 1900 16 2490

?x | x ???1或x ??3?

7

10

3

4 5

5

,AC=5,

又因为AD=4DC,所以AD=4,DC=1. 在△BCD 中,由余弦定理, 得BD
2

??BC 2 ??CD2 ??2BC ??CD cos C

3 32 ??32 ?12 ??2 ??3 ?1 ?? ?? , 5 5
所以BD ? 分

4 10 5

.……………………6

CD sin ?CBD

???

BD



(II)在△BCD 中,由正弦定理,得

sin C

4 10 所以 ? , 4 5 sin ?CBD 5 1
所以sin ?CDB ?

10 10

.……………………10 分

18. (本小题满分10 分) 解:(I)a=0.015; …………………………2 分

(II)S 1 ??S 2 .…………………………6 分
2 2

(III)乙种酸奶平均日销售量为:

x ??5 ??0.20 ? 15 ??0.10 ??25??0.30 ??35??0.15 ??45 ??0.25 ??26.5 (箱).
乙种酸奶未来一个月的销售总量为:26.5??30 ??795 (箱).………………10 分 19. (本题满分9 分) 解:设甲工厂制造一等奖奖品x 件,二等奖奖品y 件,总费用为z 元. 那么

?x ??y ??4, ? 0 ??x ??3, ?? ?0 ?? y ??6; ??
目标函数为

z ??500x ??400 y ??800(3 ??x) ??600(6 ??y) ???300x ??200 y ??6000 .
作出可行域(图略) 解方程组??

?x ??3,

?x ??y ??4. 解得x ??3, y ??1.
所以zmin ???300x ??200 y ??6000 ??4900 . 答:组委会定做该工艺品至少需要花费4900 元钱. 20. (本小题满分8 分) 解:以A 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系, 则B(2,0),C(

5 2



3 2

),D (

1

3 , ). 2 2

5 ?? 3 2 BM CN ?? 2) ??(M (?? 2? ) ?? ? ??2 5? ??? ?? 1)2 ??6 3??? 5??? 3 ? ),? N ?? (2 , ( ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ,则 ?? 2, 令 ) 2 2 2 2 BC CD
∴AM ??AN ??(

??
2 2 4

∵0 ?????1,∴ AM ??AN ?[2, 5] . 21.(本小题满分9 分) 解:(I)因为a
n ?1

??2a (n ??N * ) ,所以S ??a ??a ??a ??2a ??3a .
n 2 1 2 1 1 1

因为a2 是S2 与1 的等差中项,所以2a2 ??S2 ? 1 ,即2 ??2a1 ??3a1 ? 1 . 所以a1 ??1 . 所以 ?an ? 是以 1 位首项,2 位公比的等比数列. 所以an ??1??2n?1 ??2n?1 .………………………………5 分 (II)由(I)可得:

1 ??( )n?1 . 2 an 1 ?? 2 1 (n ??N * ) . an 1 2
为公比的等比数列. ?

所以

1 a1

??1 , 1 1 a?? n?1

所以

1 an

是以1 位首项,

??1 ?? 所以数列? ??的前n 项和Tn ?? ??an ??
因为

1 1 ?? 1 2n ??2(1?? ) . 1 2n 1 ?? 2 ) ??2 .

1 2
n

??0 , 所以Tn ??2(1? 2 2 ??b

1 2
n

若b ??2 ,当n ??log2 (
*

) 时,Tn ??b .

所以若对任意n ??N ,T ???恒成立,则???2 . 所以实数?的最小值为2.………………………………9 分

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