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1.2 简易逻辑及充要条件

时间:2012-02-25


§1.2

简易逻辑及充要条件 简易逻辑及充要条件
(时间:45 分钟 满分:100 分)

一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 1.命题:“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 2.已知集合 M={x|0<x<1},集合 N={x|-2<x<1},那么“a∈N”是“a∈M”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) ( ) ( )
2

(

)

4.已知集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知命题 p:对于任意的 x∈[1,2],x2-a≥0,命题 q:存在 x∈R,x2+2ax+2-a=0, 若“p 且 q”为真命题,则实数 a 的取值范围是 A.a=1 或 a≤-2 C.a≥1 二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 6.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条相交直线,则 α 平行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; ④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号__________(写出所有真命题的序号). ... B.a≤-2 或 1≤a≤2 D.-2≤a≤1 ( )

1 7.已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q: >1,若綈 q 且 p 为真,则 x 的取值范围是 3-x ______________. 8.若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是________.
? ?x+2≥0 ? ? ? ? ? ,q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0},若 q 是 p 的必要非充分条件, 9.已知 p:?x|? ? ? ? ? ?x-10≤0?

则实数 m 的取值范围是____________. 三、解答题(共 41 分) 10.(13 分)写出由下列各组命题构成的“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的新命题,并 判断其真假. (1)p:2 是 4 的约数,q:2 是 6 的约数; (2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同,q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值 相等. 11.(14 分)已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈 p 是綈 q 的充分而不必要条 件,求实数 m 的取值范围. 12.(14 分)已知全集 U=R,非空集合 A=?x| 1 (1)当 a= 时,求(?UB)∩A; 2 (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 答案 1.D 2.B 3.A 4.B 5.A
? ? x-a2-2 ? x-2 <0?,B=?x| <0?. x-a ? x-(3a+1) ? ? ? ?

6.①②

7.(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞) 8.[1,2) 9.[9,+∞)

10.解 (1)p 或 q:2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数,真命题; p 且 q:2 是 4 的约数且 2 也是 6 的约数,真命题; 非 p:2 不是 4 的约数,假命题. (2)p 或 q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题; p 且 q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题; 非 p:矩形的对角线不相等,假命题. (3)p 或 q:方程 x2+x-1=0 的两个实数根符号相同或绝对值相等,假命题; p 且 q:方程 x2+x-1=0 的两个实数根符号相同且绝对值相等,假命题; 非 p:方程 x2+x-1=0 的两实数根符号不同,真命题. 11.解 由题意 p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴綈 p:x<1 或 x>5. q:m-1≤x≤m+1,∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1.

又∵綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,
? ?m-1≥1, ∴? ?m+1≤5. ?

∴2≤m≤4.

1 12.解 (1)当 a= 时, 2

? ? ?x|x-2<0? ? 5? 5 ?=?x|2<x< ?, A=? 2? ? x- ? 2 ? ? ?

? x-4 ? ? 1 9? B=?x| 1<0?=?x|2<x<4?, ? ? ? x-2 ?
1 9? ? ∴?UB=?x|x≤2或x≥4?. ? ? 5? ? 9 ∴(?UB)∩A=?x|4≤x<2?.
? ?

9

(2)∵a2+2>a,∴B={x|a<x<a2+2}. 1 ①当 3a+1>2,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}. 3 ∵p 是 q 的充分条件,∴A?B.
?a≤2 ? 3- 5 1 ∴? ,即 <a≤ . 2 3 2 ? ?3a+1≤a +2

1 ②当 3a+1=2,即 a= 时,A=?,符合题意; 3 1 ③当 3a+1<2,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}, 3
? ?a≤3a+1 1 1 由 A?B 得? 2 ,∴- ≤a< . 2 3 ? ?a +2≥2

? 1 3- 5?. 综上所述:a∈?- , ? 2 ? ? 2


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