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2015-2016高中数学 2.1.2演绎推理练习 新人教A版选修1-2

时间:2015-11-21


2.1.2

演 绎 推 理

1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的 基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. 2.通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

基 础 梳 理 1.演绎推理. 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.简言之,

演绎推理是由一般到特殊的推理. 2.演绎推理的一般模式——“三段论”,包括: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况; (3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 基 础 自 测 1. 推理: “①矩形是平行四边形; ②三角形不是平行四边形; ③所以三角形不是矩形. ” 中的小前提是(B) A.① B.② C.③ D.①② 解析:此推理的小前提是“三角形不是平行四边形”.故选 B. 2. “∵四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等.”补充以上推理的大前提是 (B) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 解析:易知此推理的大前提是矩形都是对角线相等的四边形.故选 B. 3.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是 假命题,推理错误的原因是(D) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段式”,但大前提错误 D.使用了“三段式”,但小前提错误 解析:此推理使用了“三段式” ,但小前提错误.故选 D. 4.在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高,求证:∠ACD>∠BCD.①证明:在△ABC 中, ∵CD⊥AB, AC>BC; ②∴AD>BD; ③∴∠ACD>∠BCD.则在上面证明过程中错误的是③(只 填序号).

1

解析:AD,BD 不在同一个三角形中,③错误.

(一)“三段论”的表示形式 (1)符号表示. 大前提:M 是 P. 小前提:S 是 M. 结论:S 是 P. (2)集合表示. 若集合 M 的所有元素都具有性质 P,集合 S 是集合 M 的一个子集,那么 S 中所有元素也 具有性质 P. 由此可见,应用“三段论”解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提.有时为 了叙述简洁,如果大前提或小前提是显然的,那么可以省略. (二)合情推理与演绎推理的区别与联系 区别:从推理形式和推理所得的结论上讲,二者有差异.

合情推理 推理形式 结论的正确性 归纳推理 由部分到整体或由个别到 一般的过程 合情推理 由特殊到特殊的推理

演绎推理 由一般到特殊的推理 在前提和推理形式都 正确的前提下,结论一 定正确

结论不一定正确,有待进一步证明

2

1.在推理证明中,证明命题的正确性采用演绎推理,而合情推理不能用作证明. 2.在证明中,演绎推理的基本规则是: (1)在证明过程中,论题应当始终同一,不得中途变更.违反这条规则的常见错误是偷 换论题. (2)论据不能靠论题来证明.论题的真实性是靠论据来证明的,如果论据的真实性又要 靠论题来证明,那么结果什么也没有证明.违反这条规则的逻辑错误叫做循环论证. (3)论据要真实,论据是确定论题真实性的理由.如果论据是假的,那就不能确定论题 的真实性.违反这条规则的逻辑错误叫做虚假论据. (4)论据必须能推出论题.证明是特殊的推理,因而证明过程应该合乎推理形式,遵守 推理规则.论据必须是推出论题的充足理由,否则,论据就推不出论题.违反这条规则的逻 辑错误,叫做不能推出. 3.应用“三段论”来证明问题时,首先应明确什么是大前提和小前提.若题干中没有, 则应先补出大前提,然后再利用“三段论”证明.

1.三段论“①已有船准时起航,才能准时到达目的港;②这艘船是准时到达目的港的; ③所以这艘船是准时起航的.”中“小前提”是(B) A.① B.② C.①② D.③ 2.下列三段可以组成一个“三段论”,则小前提是(D) x x x ①因为指数函数 y=a (a>1)是增函数; ②所以 y=2 是增函数; ③而 y=2 是指数函数. A.① B.② C.①② D.③ 解析:根据“三段论”的原理,可知选 D. 3.设 a=(x,4),b=(3,2),若 a∥b,则 x 的值是(D) 8 8 A.-6 B. C.- D.6 3 3 x 4 解析:∵a∥b,∴ = ,∴x=6. 3 2 4.因为中国的大学分布在全国各地,大前提 北京大学是中国的大学,小前提 所以北京大学分布在全国各地.结论 (1)上面的推理正确吗?为什么? (2)推理的结论正确吗?为什么? 解析:(1)推理形式错误. 大前提中的 M 是“中国的大学”它表示中国的所有大学, 而小前提中的 M 虽然也是“中 国的大学”,但它表示中国的一所大学,二者是两个不同的概念,故推理的结论错误.
3

(2)由于推理形式错误,故推理结论错误.

1.下面说法正确的有(C) ①演绎推理是由一般推理到特殊推理; ②演绎推理得到的结论一定是正确的; ③演绎推 理的一般模式是“三段论”形式;④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形 式有关. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:①③④正确,②错误的原因是:演绎推理的结论要为真,必须前提和推理形式都 为真. 2.△ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点,则有 EF∥BC,这个问题的大前提为(A) A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半 C.EF 为中位线 D.EF∥CB 解析:易知该推理是一个正确的三段论,所以选 C. 3. “由于所有能被 6 整除的数都能被 3 整除,18 是能被 6 整除的数,所以 18 能被 3 整 除.”这个推理是(C) A.大前提错误 B.结论错误 C.正确的 D.小前提错误 解析:易知该推理是一个正确的三段论,所以选 C. 4.下列推理是演绎推理的是(A) A.M,N 是平面内两定点,动点 P 满足|PM|+|PN|=2a>|MN|,得点 P 的轨迹是椭圆 B.由 a1=1,an=2n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积为π r ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积为π ab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析:B 是归纳推理,C、D 是类似推理,只有 A 是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推 理. 5.在不等边三角形中,a 边最大,要想的到∠A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满足的 条件是(C) 2 2 2 2 2 2 A.a <b +c B.a =b +c 2 2 2 2 2 2 C.a >b +c D.a ≤b +c 6. (2014·吉安二模)对于任意实数 a, b, c, 定义 Γ (a, b, c)满足 Γ (a, b, c)=Γ (b, c,a)=Γ (c,a,b)关系式,则称 Γ (a,b,c)具有轮换对称关系.给出如下四个式子: 2 2 2 2 2 ①Γ (a,b,c)=a+b+c;②Γ (a,b,c)=a -b +c ;③Γ (x,y,z)=x (y-z)+y (z 2 -x)+z (x-y);④Γ (A,B,C)=2sin Ccos(A-B)+sin 2C(A,B,C 是△ABC 的内角). 其中具有轮换对称关系的个数是(C) A.1 B.2 C.3 D.4 2 2 2 解析:C 因为 a+b+c=b+c+a=c+a+b,故①具有轮换对称关系;因为 a -b +c 2 2 2 2 2 2 2 =b -c +a 未必成立, 故②不具有轮换对称关系; 因为 x (y-z)+y (z-x)+z (x-y)=y (z
4
2 2 2 2

x2 y2 a b

-x)+z (x-y)+x (y-z)=z (x-y)+x (y-z)+y (z-x),故③具有轮换对称关系;因为 2sin Ccos(A-B)+sin 2C=2sin C[cos(A-B)-cos(A+B)]=4sin Asin Bsin C,故④具 有轮换对称关系,故选 C. 7. “ 一切奇数都不能被 2 整除,35 不能被 2 整除,所以 35 奇数.”把此演绎推理写 成“三段论”的形式. 大前提:________________________, 小前提:________________________, 结论:__________________________. 答案:不能被 2 整除的整数是奇数 35 不能被 2 整除 35 是奇数 8.已知 a= 5- 1 x ,函数 f(x)=a ,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关 2

2

2

2

2

2

系是________. x 解析:当 0<a<1 时,函数 f(x)=a 为减函数, 5-1 ∵a= ∈(0,1), 2 ∴函数 f(x)=?

? 5-1?x ? 为减函数. ? 2 ?

故由 f(m)>f(n),得 m<n. 答案:m<n

x2+1 =(x≠0),有下列命题: |x| ①其图像关于 y 轴对称;②当 x>0 时,f(x)为增函数;③f(x)的最小值是 lg 2;④当 -1<x<0,或 x>1 时,f(x)是增函数;⑤f(x)无最大值,也无最小值.
9.关于函数 f(x)=lg 其中正确结论的序号是________. 解析:易知 f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称,①正确.当 x>0 x2+1 1 ? 1? 时,f(x)=lg =lg?x+ ?.∵g(x)=x+ 在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函 |x| x ? x? 数,故②不正确,而 f(x)有最小值 lg 2,∴③正确,④也正确,⑤不正确. 答案:①③④ 10.将下列演绎推理写成“三段论”的形式. (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海 王星以椭圆形轨道绕太阳运行; (2)菱形对角线互相平分; 2 (3)函数 f(x)=x -cos x 是偶函数. 解析:(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,大前提 海王星是太阳系中的大行星,小前提 海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.结论 (2)平行四边形对角线互相平分,大前提 菱形是平行四边形,小前提 菱形对角线互相平分.结论 (3)若对函数 f(x)定义域中的 x,都有 f(-x)=f(x),则 f(x)是偶函数,大前提 2 对于函数 f(x)=x -cos x,当 x∈R 时,有 f(-x)=f(x),小前提 2 所以函数 f(x)=x -cos x 是偶函数.结论 11. 已知 a, b, c 是实数, 函数 f(x)=ax +bx+c, 当|x|≤1 时, |f(x)|≤1, 证明|c|≤1, 并分析证明过程中的三段论.
5
2

证明:∵|x|≤1 时,|f(x)|≤1. x=0 满足|x|≤1, ∴|f(0)|≤1,又 f(0)=c,∴|c|≤1. 证明过程中的三段论分析如下: 大前提是|x|≤1,|f(x)|≤1; 小前提是|0|≤1; 结论是|f(0)|≤1. ?品味高考 1. (2014·山东高考)对于函数 f(x), 若存在常数 a≠0, 使得 x 取定义域内的每一个值, 都有 f(x)=f(2a-x),则 f(x)为准偶数函数.下列函数中是准偶数函数的是(D) 2 A.f(x)= x B.f(x)=x C.f(x)=tan x D.f(x)=cos(x+1) 解析:由 f(x)=f(2a-x)知 f(x)的图像关于 x=a 对称,且 a≠0,A,C 中两函数无对 称轴, B 中函数图像的对称轴只有 x=0, 而 D 中当 a=kπ -1(k∈Z)时, x=a 都是 y=cos(x +1)的图像的对称轴.故选 D. 2 .下列四类函数中,具有性质“对任意的 x> 0, y>0,函数 f(x)满足 f(x+ y) =

f(x)·f(y)”的是(C)
A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数 x x+y x y 解析:对于指数函数 f(x)=a (a>0,a≠1), 则有 f(x+y)=a =a ·a =f(x)·f(y). 3.对于 n∈N ,将 n 表示为 n=ak×2 +ak-1×2 +?+a1×2 +a0×2 ,当 i=k 时,ai =1,当 0≤i≤k-1 时,ai 为 0 或 1.定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0,a1,a2,?, ak 中等于 1 的个数为奇数时,bn=1;否则 bn=0. (1)b2+b4+b6+b8=________; (2)记 cn 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数, 则 cm 的最大值 是________________________________________________________________________. 1 0 解析:(1)2=1×2 +0×2 ,∴b2=1; 2 1 0 4=1×2 +0×2 +0×2 ,∴b4=1; 2 1 0 6=1×2 +1×2 +0×2 ,∴b6=0; 3 2 1 0 8=1×2 +0×2 +0×2 +0×2 ,∴b8=1. ∴b2+b4+b6+b8=3. * (2)设{bn}中第 m 个为 0 的项为 bt(t∈N ), 即 bt=0, 将 t 写成二进制数, 则有两种情形:
*

k

k-1

1

0

①t 的二进制数表达式为: 变化数可能为奇数,也可能为偶数.

,则 t+1 的二进制数表达式中“1”的个数的

若变化数为奇数,则 bt+1=1,且 t+1 用二进制数表示为: 进制数表示为:

,于是 t+2 用二

,即 bt+2=0;若变化数为偶数,则 bt+1=0.这时 cm 的最大值为 1.

②t 的二进制数表达式为 , 则 t+1 用二进制数表示为 , 即 bt+1=1, 则 t+2 的二进制数形式中“1”的变化数为奇数或偶数.若变化数为奇数,则 t+2 用二进

制数表示为:

,即 bt + 2 = 0 ;若变化数为偶数,则 t + 2 用二进制数表示为

6

,即 bt+2=1,于是 t+3 用二进制数表示为: 的最大值为 2. 综合①②,cm 的最大值为 2. 答案:(1)3 (2)2

,即 bt+3=0.这时 cm

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