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全国高中数学联赛模拟试题7

时间:2010-06-08


全国高中数学联赛模拟试题(七)
一.选择题 1,在等比数列 数列的公比为 A 2

{an }

a = 2 s4 + 3, 中,记 sn = a1 + a2 + + an , 已知 5
B 3 C 4 D 5

a6 = 2 s5 + 3 则此

2,设函数 y = f ( x

) 对一切实数 x 都满足 f (3 + x ) = f (3 x ) ,且方程 f ( x ) = 0 ,恰有 6 个不同的实根,则这 6 个实根的和为 A 0 B 9 C 12 D 18
2 2 3,已知点 A 为双曲线 x y = 1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右支上, △ ABC 是等

边三角形,则 △ ABC 的面积是

3 A. 3

3 3 B. 2

C. 3 3

D

6 3

x12 2 4.设 x1 , x2 是实系数一元二次方程 ax + bx + c = 0 的根,若 x1 是虚数, x2 是实数,则 x x x s = 1 + 1 + ( 1 ) 2 + + ( 1 )1995 x2 x2 x2 的值为
A 0 B -998 C 998 D 1 5.正方体棱长为 a ,与正方体一条对角线垂直的最大截面面积为

3 2 a A. 2

3 3 2 a B. 4

C. 2a 2

D.

3 2 2 a 4

6.函数 y = 1 sin x + 1 + sin x 的单调递增区间是

π A. kπ + , kπ + π , k ∈ z , 2 kπ kπ π C. , , k ∈ z. 2 2 4
二.填空题 7.已知

π B. kπ , kπ + , k ∈ z , 2 kπ π kπ D. , + ,k ∈ z 2 4 2

x + lg x = 10,

y + 10 y = 10. 则 x + y =

8. 函数 f ( x ) 对任意正实数 x, y . 都满足:

f ( xy ) = f ( x ) + f ( y )且f (2) = 1, 则f (

1 )的值是 64

9.

△ ABC 中,AB边为最长边,sinAsinB=

2- 3 则 cos A cos B 的最大值为 4

10.已知 a ∈ (0,1) 的常数, (abcd + ab + ad + cd + 1) = 379(bcd + b + d ), 11.已知 a, b, c, d ∈ N 且满足342

x + y ≤ 1,函数f ( x, y ) = ax + y 的最大值为

设M = a 103 + b 102 + c 10 + d 则 M 的值为 12 . 已 知 99 个 数 a1 , a2 , a99 每 个 都 只 能 取 a1a2 + a1a3 + + a1a99 + a2 a3 + + a98 a99 的最小值是
三.解答题

1

或 -1 , 则

13.已知

f ( x) = ( 2 + x ) 2

( x ≥ 0), 又数列 {an } ( an > 0)

中,a1 = 2 ,这数列的前 n 项

和 sn ( n ∈ N ) (1)求数列 {

对所有大于 1 的正整数 n 都有 sn = f ( sn 1 )

an } 的通项公式.
(n ∈ N + )
,求证:

(2)若

bn =

2 2 an +1 + an 2an +1an

lim(b + b
n →∞ 1

2

+ bn n) = 1

14.已知函数

f ( x) = (

x 1 2 ) x +1

( x > 1), 如果不等式(1 x ) f 1 ( x ) > m( m x )

对区间

1 1 16 , 4 上的每一个 x 值恒成立,求实数 m 的范围.

2 15.如果抛物线 x = 2 px 的轨迹

的切线交等轴双曲线 xy = 1

1 1 于 P , P2 两点,求 P P2

中点

全国高中数学联赛模拟试题(七)答案
选择题

a6 a5 = 2( s5 s4 ) = 2a5 ,
1, B. 2, D.

a6 = 3a5 ,

∴ 公比q =

q6 =3 q5

f ( x)关于x = 3对称,每一对根之和为6,6个实根和为6 × 3=18,
设点B在x轴上方,由已知得K AB = 3 , 3 直线AB方程为y= 3 3 x+ , 3 3

3, C. 4, D.

代入双曲线方程,得B(2,

3 ).同理, C (2, 3)故△ ABC的面积为3 3

由 已 知 x1与 x 2 共 轭 , 设 x1 = re iθ , x 2 = re i ( θ ) ,



2π 4π i i x12 π 2π x = rei 3θ ∈ R, 得θ = 或 , 所以 1 = e 3 或e 3 , 代入s中得s = 1 x2 3 3 x2

5,B. 当 A,B,C,D,E,F 均为所在棱的中点时,正六边形 ABCDEF,所在面与正 方 体 对 角 线 垂 直 , 且 面 积 最 大 , 正 方 形 边 长 为

2 3 2 2 3 3 2 a, 故面积为6 × ( a) = a . 2 4 2 4 因 y > 0, 易 证 : y与 y 2具 有 相 同 的 单 调 区 间 ,
6,A.

y 2 = 1 s in x + 1 + s in x + 2
而 | cos x | 的 周 期 为 π ,

1 sin

2

x = 2 + 2 cos x

故 只 需 研 究 y 2 在 [θ , π ]的 单 调 性 .

π 在 [θ , π ]内, y 2的单调增区间为 , π , 从而 y 2的单调增区间为 2 π π kπ + 2 , kπ + π (k ∈ z ), 故y的单调增区间为 kπ + 2 , kπ + π (k ∈ z )
一,填空题 7,10 .

令 f (t ) = t + 10t , 则 f (t )是严格递增函数, 故存在唯一的实数y,使得y+10 y = 10,
又 lg x = 10 x,
8,—6 .

故1010 x = x, 即(10 x ) + 1010 x = 10,

所以10-x=y,即x+y=10

由f (1× 1) = f (1) + f (1), 得f (1) = 0, f (4) = f (2) + f (2) = 2, f (8) = f (2) + f (4) = 3 1 1 1 f (64) = f (8) + f (8) = 6, 0 = f (1) = f (64 × ) = f (64) + f ( ), 所以f ( ) = 6 64 64 64 2+ 3 9, 4
2 3 2+ 3 , 则cosAcosB的最大值为 4 4 由, AB是最长边知, ∠A, ∠B均为锐角,cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B) ≤ 1

△ ABC中, AB为最长边 , sin A sin B =

cos A cos B ≤ 1 sin A sin B =
10,1.

2+ 3 6 2 , 当∠A = ∠B, 即 sin A = sin B = 时等号成立 4 4

f ( x, y ) = ax + y ≤ ax + y ≤ a x + (1 x ) = (a 1) x + 1前一个等号成立, 应有x ≥ 0, y ≥ 0,

当0 ≤ x ≤ 1,

0 < a < 1时,

g ( x ) = ( a 1) x + 1为减函数,

x = 0时,

g ( x ) max = 1

x = 0 故 时, g ( x ) max = 1 y =1
11,1949

∵由已知得1+ 9+
12,11

1 1 1 4+ 9

=a+

1 b+ 1 c+ 1 a

, 连分数表示法唯一.

2 2 ∵ ( a1 + a2 + + a99 ) 2 = a12 + a2 + + an + 2

1∈i < j ≤ 99



ai a j ( a1 + + an ) 2 = 99 + 2∑
44 个 1, 且 S1 = 2, a1 = 2

使 99+2 ∑ 为 完 全 平 方 数 的 最 小 正 整 数 为 121, 即 当 取 55个1, 或
13,

5 5 个 1,

4 4个 1

可 使 a1 + + a 9 9 = 1 1 S n > 0,



∑ 的 最 小 值 为 1 1.

(1) 因为Sn = ( 2 + S n 1 ) 2 , 2 n,

所以有 S n = S n 1 + 2,

故得 Sn =

即 S n = 2 n 2 ( n ≥ 2),

即 a n = S n S n 1 = 4 n 2,

所 以 a n = 4 n 2 ( n ≥ 1) 由 (1) 可 知 b n = ( a n +1 a n ) 2 2 1 1 +1 = +1= + 1, 2 a n +1 a n (2 n + 1)(2 n 1) 2n 1 2n + 1 1 1 所 以 b1 + b 2 + + b n = 1 + n , b1 + b 2 + + b n n = 1 , 2n + 1 2n + 1 因 此 lim ( b1 + b 2 + + b n n ) = 1
n→ ∞

( x 1) 2 1+ x 由 f ( x) = f 1 ( x ) = , 2 ( x + 1) 1 x 14, 故 f ( x )的 值 域 为 ( 0 , 1 ) , 由 题 设 (1 x) 1+ 1 x

因 f ( x) = (
-1

x 1 2 2 2 ) = (1 ) x +1 x +1 1 + 1 x x

且x > 1

故 f

(x) =

(0 < x < 1) x +1 m2 > 0

x 1 1 对一切满足 ≤ x ≤ 的 x恒 成 立 , 显 然1 + m ≠ 0, 即 m ≠ 1 4 16 1 1 令 t = x , 则 ( t ) = (1 + m ) t + 1 m 2 ( ≤ t ≤ ), 故 ( t )是 一 个 一 次 函 数 , 4 2 1 1 且 ( t ) = (1 + m ) t + (1 m 2 ) > 0, 对 比 , 恒 成 立 ,由 一 次 函 数 的 单 调 性 4 2 1 5 1 (1)当m > 1时, 只要 ( ) > 0 1 < m < , (2)当m<-1时,只要( ) > 0 m ∈ . 4 4 2 5 综 上 , m的 范 围 为 1 < m < . 4 2 1 1 15, 设 p1 p 2 与 抛 物 线 x = 2 p y的 切 点 为 M ( x 0 , y 0 ), p 1 p 2的 中 点 为 p ( x , y ).

> m (m

x ),

故 (1 + m )

因p1 p2是抛物线x 2 = 2 py切于M ( x0 , y0 )的切线,则p1 p2方程为x0 x py py0 = 0 (1) 同理p1 p2是双曲线xy=1以p ( x1 , y1 )为中点的弦, 易求p1 p2方程为y1 x + x1 y 2 x1 y1 = 0 (2) (1) 与 ( 2 ) 是 同 一 条 直 线 , 所 以 有 y 1 : x 0 = x 1 : ( p ) = ( 2 x 1 y 1 ) : ( p y 0 ),

py1 x0 = 从而 x 1 (3), y = 2 y1 0

但 点 M ( x0 , y 0 )在 抛 物 线 上 , 所 以 有 x0 2 = 2 p y 0 , 即 ( x1)2 = 1 p y 1. 4

py1 2 将 (3)代 入 得 ( ) = 2 p ( 2 y 1 ), 1 x

以 ( x , y ) 代 换 动 点 p的 坐 标 有 所 求 方 程 为 x 2 =

1 p y ( x y ≥ 1) 4

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